淺談在“題后反思”中發展思維品質

魏新

[摘 ?要] 經過多年從事教育事業的摸索與實踐，筆者深深體會到：學生解題后反思習慣的養成，可以成為解題的一種指導思想，可以有效提高解題效率，可以提升學習效果，也可以發展思維品質. 在解題教學中，通過題后反思培養和發展學生的思維品質，需要教師引導學生反思易錯之處，追根溯源解決學生的困惑;反思解題方法規律，實現在原有經驗中的生長;反思思維能力，實現發展性思維的拓展.

[關鍵詞] 數學教學;解題;題后反思;思維品質

孔子云：“學而不思則罔”，此處的“罔”就是迷惑而無所得，將此名言進行推廣和引申，則不難體會出解題后反思的意義所在了. 事實上，數學解題的根本價值并不在于學生做題的數量，而在于通過解題活動促進知識的整合、規律的探究及思維的提升，這才是教學的價值取向. 以思維為主線的題后反思是對知識和方法的鞏固提煉，是對分析和解決問題策略的抽象概括，是對所蘊含的思想方法的不斷總結. 因此，解題教學中教師需從思維的視角播種反思，重構解題的過程，實現解題的價值，關注數學本質，不斷形成新方法，不斷生長新經驗，不斷擴展新思維.

反思易錯之處，追根溯源解決學生的困惑

學生對問題理解的最佳狀態就是“悟”，而悟的過程就是感悟的過程，也是反思的過程，是在不斷反思中尋求錯因的過程，也是在追根溯源中解除困惑的過程. 這就需要教師在易錯之處為學生創造更多的反思機會，在教師的有效提問指引下，在生生互動的相互補充下，找尋錯誤的根源，助力學生的數學思考，促進學生思維的發展和數學素養的提升.

案例1 ?在講解完“負負得正”這一規則后，教師呈現以下例題：

計算：（-3）×（-4）=______.

生1：我得出的答案是9.

師：不對，有沒有其他結果？

生2：我算出的答案是12.

師：很好，可否給大家講解一下計算過程？

……

教學分析 ?此案例是早年筆者聽過的一節公開課中的一個片段. 在下課后，筆者對生1進行了訪談，問及答案的緣由時，生1說：“我是將此題放在數軸上進行思考的，也就是位于（-3）上的一點，需乘以（-4），則可以理解為沿著數軸相反方向移動4次，每次移動3格，因此可以得出答案9. ”筆者不禁為該生的思路拍手稱好，盡管他得出了一個錯誤答案，但他的思維方向真是創意無限. 那么，他錯誤的根源是什么呢？此想法的依據又是什么呢？該如何糾正呢？綜合以上分析，筆者認為，從思維方向進行思考，上述案例中的“錯誤”資源是一個很有價值的教學資源. 若是在教學過程中，執教者可以把握如此鮮活的錯誤資源，通過以上三問來延展學生的反思和探究，則可以使學生的數學思考既具有橫向的寬度，又富有縱向的深度. 然而，執教者忽略式應對，使得原本可以引發“火熱思考”的思維之火被冷水澆滅，甚是可惜！

在七年級代數的教學中，計算問題無疑是學生的“一道坎”，如何突破這一教學難點是廣大數學教師潛心探究的核心問題. 一些教師在例題教學中巧借反思這一路徑，消除了學生的困頓，實現了學生能力的提升.

案例2 ?在執教“單項式、多項式的乘除法”時，教師設計以下例題：

（1）請分別指出以下各式的意義：①（-2）2;②-2×2;③-2-2;④2-2.

（2）試辨析以下各式是否正確：①a2+a2=a4;②a4÷a2=a4÷2=a2;③-a3·（-a）2=（-a）3+2 =-a5;④（-a）0÷a3=0;⑤（a-2）3·a=a-2+3+1=a2.

在解題完成后，以如下問題為載體實施反思小結：

（1）哪些方面的錯誤是計算中時常出現的？

（2）這些錯誤產生的根本原因是什么？

（3）如何“根除”這些錯誤？

教學分析 ?這樣引導學生，既有助于學生走出錯誤的窠臼，獲得計算能力上的提升，同時也為學生提供了基本套路上的指引. 在討論和反思中，學生充分剖析錯誤根源，并且有針對性地給出了解決策略，這樣一來，不僅使學生明確了“病因”，明晰了修正方法，還避免了類似錯誤的“復發”，從而為學生計算正確率和速度的提升奠定了良好的基礎.

反思解題方法規律，實現在原有經驗中的生長

在解題教學中，教師可以引導學生反思多種解題的方法，在猜測、揣摩、總結、歸納和提煉中，探求最優解法，培養思維的靈活性. 教師還可充分挖掘例題的延展性，有意識地設計遞進式變式題，體現層次性特征，激發深度思考，拉長思維鏈，增長解題方法策略，拓展思維品質.

案例3 ?一等腰三角形的腰長為4，底長6，試求該等腰三角形的周長.

本題的難度較小，學生很快形成解題策略，完善解題步驟，得出結論. 筆者以變式題組訓練來生長學生的思維：

變式1 ?一等腰三角形的腰長為4，周長為14，試求該等腰三角形的底長.

變式2 ?一等腰三角形的一條邊長為4，另一邊長為6，試求出該等腰三角形的周長.

變式3 ?一等腰三角形的一條邊長為3，另一邊長為6，試求出該等腰三角形的周長. （此題通過“三角形的三邊關系”，可以得出長為3的邊是底邊）

變式4 ?一等腰三角形的一腰長是x，試求出該等腰三角形的底邊長y的取值范圍.

變式5 ?一等腰三角形的一腰長是x，底邊長為y，周長為14，請寫出x與y的函數關系式，并在平面直角坐標系內畫出圖像. （相較于變式4，此變式又有了新的生長，尤其是需要深入理解并合理運用好“0

教學分析 ?上述例題中，由“三角形的三邊關系”出發，生長層次性較強的問題鏈，促進思維場的形成. 在變式的過程中，引領學生從解決此類問題的基本支架出發，從不同視角和不同路徑進行探究，從而完善解題思路，有利于培養學生思維的靈活性. 然后，由特殊到一般變式，有助于學生思維變通性的培養，同時讓學生感悟到解題策略本質的不變性.

反思思維能力，實現發展性思維的拓展

眾所周知，好奇是源于人們對某些問題的關注，疑問主要是興趣所致. 在數學教學中，學生對數學問題的好奇以及探求問題、尋求方法的疑問是學好數學、學會數學的前提. 低階的教師一味地為學生排難解惑，而真正高明的教師則是巧妙地、不著痕跡地為學生創設只有深入思考才能突破的思維障礙，引發學生的好奇與疑問，讓學生時時產生思維沖突，而與此同時又獲得思考的快樂，從而實現發展性思維的拓展.

案例4 ?在執教完“一次函數”之后，教師可設計以下例題：

一物流公司需將A、B兩種貨品運送至某地，其中A種貨品1240噸，B種貨品880噸，現以一列貨車運輸. 已知該貨車掛有甲和乙兩種規格的貨車車廂40節，使用每節甲型車廂的費用是6000元，使用每節乙型車廂的費用是8000元.

（1）設運送A、B兩種貨品的總費用是y萬元，該貨車掛甲型車廂x節，試寫出y與x之間的函數關系式;

（2）若一節甲型車廂最多可裝A種貨品15噸和B種貨品15噸，一節乙型車廂最多可裝A種貨品25噸和B種貨品35噸，那么按以上要求裝載這批貨物時，有幾種安排車廂的方案？

（3）以上幾種方案中，哪一種方案最省運費？最少運費是多少萬元？

教學分析 ?在探究問題（1）時，不少學生可以很快獲得解題思路，并得出答案y=-0.2x+32. 而問題（2）中涉及的知識為“不等式組的整數解”，在親歷思考、探究、討論、計算等過程中，學生得出以下方案：①甲型24節，乙型16節;②甲型25節，乙型15節;③甲型26節，乙型14節. 通過問題（2）的結論來解決問題（3）就輕而易舉了.

在解題過程中，學生深入認識、透徹理解及學會反思是學好數學、享受數學的保障. 反思與分析促進學生的數學發展性思維.

總之，在以思維活動為載體，引導學生展開題后反思的過程中，教師需充分發揮學生的主體性，讓學生積極主動地參與到反思活動中去，這樣的過程可以讓學生更加全面地經歷數學知識的生長、數學思想的體驗，從而對數學產生更加充分的認識和理解，并且獲得各方面能力的提升.