老曲新唱味更濃

葛鐵雷

[摘 ?要] 初三中考數學專題復習歷來是每年中考沖刺的關鍵一環，以專題的形式注重培養學生的數學思想和數學思維方法，此時學生已經過一輪復習，各知識點已基本了然于心，故怎樣抓住學生的好奇心和求知欲，是每位初三教師須直面的問題.文章以“共頂點正方形中的線段關系”為例，探究初三數學專題復習課如何高效進行.

[關鍵詞] 共頂點;自主編題;核心素養

初三中考數學專題復習歷來是每年中考沖刺的關鍵一環，以專題的形式注重培養學生的數學思想和數學思維方法，此時學生已經過一輪復習，各知識點已基本了然于心，故怎樣抓住學生的好奇心和求知欲，是每位初三教師須直面的問題.筆者2019年上半年應邀執教了一堂區復習研討課，課題為“再探正方形——共頂點正方形中的線段關系”，現將教學過程整理成文，請各位同行指正.

自主先學

本環節安排在課前一天，以自主學習單的形式發放，當天不再布置其他數學作業，設置兩個活動：

活動1：現有一張矩形紙片，你能通過折疊的方式，得到一個正方形嗎？剩余的部分還能折疊得到正方形嗎？請說明理由，畫出圖形，并建構正方形知識框架圖. （圖1由學生自主構圖得到）

活動2：自主編題：將正方形GCEF繞點C旋轉，請設計一道關于線段關系的解答題.比一比，誰的設計最精彩.

“自主先學”是高效課堂的前提，傳統的課堂以教師為主，教師牽著學生走，學生圍著教師轉，不僅教學效果差，也不利于學生健全人格形成和發展.“自主先學”，以學生為主體，設計了兩個活動：活動1讓學生自主建構知識體系;活動2自主設計題目，“自己創題，考驗同伴”，激發學生的探究欲和進取心.上課當天早上，及時收回自主學習單，批閱學生的自主編題成果，選擇典型問題在課堂展示.

課堂展示

本環節當堂進行，學生展示前一天“自主先學”的學習成果，并與同伴分享.下面是大多數學生設計出的一道題：

學生編題成果1：如圖2、圖3，在正方形ABCD和GCEF中，線段BG，DE有什么關系？并證明你的結論.

第一道學生編題，應該來說其實是學生回憶出的在初二正方形知識新授時的一道題，思維水平和層次是比較低的，兩幅圖都可由三角形BCG和三角形DCE全等，得到BG=DE，再由“8字形”模型得到BG⊥DE.顯然對于初三后期思維水平訓練是不夠的，所以此處可以適時引導.

拋出新的問題：既然BG和DE互相垂直，你能否通過這一特殊位置關系，找找其他線段的數量或位置關系，請獨立思考后小組合作，設計一個新的問題.此時學生獨立思考一段時間后，小組合作學習氣氛濃郁，考慮到BG⊥DE，如果連接D，B，E，G四點，就可以得到一個對角線互相垂直的四邊形，并最終形成了編題成果2：

學生編題成果2：如圖4，已知正方形ABCD和GCEF的邊長分別是5，2，連接BE，DG，求BE2+DG2.

成果2的難度明顯有了提升，連接BD，EG，可用勾股定理證明出BE2+DG2=BD2+EG2，得出對角線互相垂直的四邊形的性質：對角線互相垂直的四邊形，對邊的平方和相等.此時教師再拋出問題：成果2要求的問題，形式不夠簡約，老師想把它這樣改，請嘗試解決. （學生編題成果2改編）如圖5，已知正方形ABCD和GCEF的邊長分別是5，2，連接BE，DG，正方形GCEF繞著點C旋轉，當D，G，F三點共線時，求BE的長.

這道題的改編，教師直接給出，此時讓課堂靜了下來，學生靜靜地思考，并很快得到了問題的答案.教師繼續引導：BG⊥DE始終成立，那么你能找到DE，BG交點的軌跡嗎？能否就此點編制一道動態類題目？

學生編題成果3：如圖6，已知正方形ABCD和GCEF的邊長分別是5，2，BG，DE相交于點O，當正方形GCEF繞著點C旋轉時，求AO的最大值（最小值，或取值范圍）.

教師總結：剛才同學們的編題成果1、成果2、成果3，都是圍繞共頂點正方形中的線段關系展開的，都利用旋轉型全等的結論，三個成果組合在一起，都可以變成一道中考壓軸題27題了，你們的能量超乎了老師的想象，真的是太棒了.適時表揚，積極評價，學生的干勁十足.

評價完這組題后由另一學生展示出另一種類型的編題成果（上課前批閱學生自主學習單時已挑選好）.

學生編題成果4：如圖7，在正方形ABCD和GCEF中，連接BE，DG，過點C畫CM⊥BE交DG于點N，求證DN=GN.

學生獨立思考后，進入小組合作學習，仍然不會解答的學生，由同伴來指導解決.采用“兵教兵”的方式——1號生講給6號生聽，2號生講給5號生聽，3號生講給4號生聽. 小組內已解決的，舉手示意，并挑選一組學生上講臺展示，最先由最“差”的6號生講，講不下去后，再由5號生補充，積分遞減.

成果4，很好地建構了“K字形全等”，與前例的“旋轉型全等”交相呼應.成果4畫垂直可證平分，畫平分可證垂直，示意圖如圖8.

學生編題成果5：如圖9，在正方形ABCD，GCEF中，連接AF，則=_______.

這道成果題，另辟蹊徑，又連接了另一種線段AF，從問題入手，學生很自然想到構造相似形去完成，從全等到相似，思維品質又上了新的臺階. 連接AC，利用“SAS”證明三角形ACF和三角形DEC相似，從而得出等于定值. 示意圖如圖10.

總結提升

如圖11，總結提升，讓學生的思維得以升華.

課后反思

1. 良好的學材是成功的一半

美國著名數學教育家波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”本堂課從學生一個耳熟能詳的引子出發，得出了一系列的學習成果，學生的思維能力、團隊協作意識均得到了較好的提升. 所以我們在二輪復習時，教師一定要挑選好合適的專題、好的學材，讓學生深入研究，時間緊，任務重，讓學生把時間用在刀刃上.

2. 要舍得花時間讓學生自主創造

著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾任務數學的唯一正確方法是實行“再創造”，“立德樹人”的根本任務需要我們去培養學生的數學核心素養，數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，這些核心素養如何培養，“學生自主創造”就是一條有效的途徑.不要擔心學生創造不出什么好題來，學生的能量是不可估量的. 通過“自主創造”“同伴互考”等方式充分調動學生的求知欲，激發學生的興趣——本例中都能編制壓軸題了. 學生想學了，愛學了，自然會親近數學，親近數學老師，還愁學生學不好數學，拿不到高分嗎？

讓我們潛心研究，“老曲新唱”打好二輪復習專題關，走向中考的成功！