立足背景材料 培養思維概括

許瑩

[摘 ?要] 數學概念教學要立足背景材料，關注學生學習新知識的原有認知結構中的認知基礎、活動經驗、認識能力，對有利與困難等方面給出分析和聯結. 概念教學要注意問題引領，科學設置數學問題（核心問題與思維性問題）. 讓概括者——學生參與大量實例的本質特征的分析過程，在觀察、思考、比較的基礎上，揭示出感性經驗背后的理性、抽象的數學經驗，獲取有概括性、普遍性的數學概念.

[關鍵詞] 初中數學;概念教學;問題引領;思維概括

背景介紹

學術解讀：函數的出現，是數學史上的一個轉折點，標志著數學開始進入一個嶄新的時期——變量數學時期. 函數概念經歷了“解析式——變量說——對應說——關系說”的發展過程. 初中階段的函數學習屬于變量對應說階段.

教材分析：《義務教育數學課程標準（2011版）》有關函數教學的要求是：探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義;結合實例，了解函數概念和三種表示法，能舉出函數的實例. 本節是八年級下冊（人教版）第十四章第一節;教材將常量與變量、函數各安排了一個課時.

筆者認為，第一課時僅學習常量與變量略顯單薄，函數本質是從運動變化的角度研究變量間的對應關系，不妨將常量、變量與函數概念放在一起學習. 將“兩個變量之間的運動變化是怎樣具體對應的”作為本節學習的主線，在概括對應關系中，獲得常量和變量的認知. 因此，獲得函數的本質特征是本節課的重點.

學情分析：小學階段的“變化的量”，七年級的“整式的加減”“從算式到方程”“二元一次方程組”，這些知識開闊了學生的視野，轉變了只從算術的視角解決問題的思維模式，能夠解決一定實際問題（物品配套、工作效率、銷售盈虧等）. 這些學習經歷提高了他們的數量關系表達能力，豐富了對量的依賴關系的感受，積累了很多案例背景. 這是本節的學習基礎.

本節學生的理解和接受比較困難.根據以往的教學經驗，容易出現這樣幾種情況：①函數概念說不清，認為只有解析式形式描述的才是函數;②圖像形式的對應法則理解不夠深刻，“數形”轉化出現障礙.所以，本節難點是“將具體實例進行數學化，概括對應法則”.

筆者在認真研讀“課標”和教材的基礎上對本節部分片段與思考整理成文，現與大家交流.

教學過程設計

片段一 ?明確研究問題.

師：我們學了數的分類、數的運算、用字母表示數、方程（組）——不等式（組）等知識，在解決問題過程中遇到了很多量，今天我們就繼續研究量與量之間的關系.

師：舉出你熟悉的一些量.

生：時間，售價，重量，面積.

師：有些量之間是相互聯系的，請舉出一些具體例子并表述他們的關系.

生：路程等于速度乘以時間，總金額等于單價乘以數量.

師：結合以往的經驗，有些量是發生變化的，甚至它還會隨著另一個量的變化而變化. 那么，“運動變化的量之間，這種依賴關系有沒有什么共同特征”便是本節課我們需要深入研究的內容.

（板書問題：探究一個量隨另一個量變化依賴關系的共同特征）

設計意圖 ?知識的鋪墊，要降低到學生能聽懂的地方. 教學實踐表明，多數教師選擇直接使用教材給出的4個事例，通過分析問題中數值的變與不變，引出變量和常量的概念，而后再探究變量之間的對應關系. 感受這種導入方法，沒有很好地利用學生的學習起點，略顯得“唐突”. 學生已經接觸到了很多量，對變化的量的依賴關系有一定的經驗基礎. 所以，筆者從學生熟知的生活中的量入手，通過對相互關聯的量自主舉例，引出本課研究主題，意在用比較概括的思想展開本節課的探究學習.

片段二 ?描述變量對應關系.

（學生給出實例，豐富問題背景，引導學生描述對應關系）

師：補充“銷售總額等于單價乘以數量”的問題背景，說出已知條件和結論.

生1：賣電影票，票25元一張，售票總價隨賣出的票數變化.

師：觀察哪些量在變？哪些量沒變？（觀察的角度）

生2：票的單價（售價）不變，票數與銷售額都在變.

師：總銷售額是怎么變的？與票數有什么關系？

生3：隨著票數的不斷增加，銷售額也在不斷增加.

師：你能否用符號表示出他們之間的關系？

生4：用x表示票數，y表示總銷售額，那么有y=25x.

師：得出兩者之間的數量關系式，有沒有更直觀的方法顯示出銷售額與票數的變化過程？

生5：代入數值.

追問：你是怎么想到的？為什么這樣做？

生6：數字比字母更直觀，容易看出總金額與票數的具體變化.

學生展示變量之間的對應關系：

師：還能用什么方式顯示銷售額與票數的變化與對應關系？

沉悶……

師：班級成績單，是采用什么形式將姓名與成績對應起來的？

生齊答：表格.

師：各小組用表格方式呈現出總銷售額與票數的變化過程.

學生展示表格結果：

追問：若題目最初用表格形式描述總銷售額與票數的變化，由票數的值怎么找出對應的總金額？

生齊答：看票數正下方與它相對應的那個數.

追問：觀察上下兩組數據，你能發現總金額與票數的數量關系嗎？

生齊答：總金額是票數的25倍.

師：除了數量關系式、表格，還能用什么形式表示總金額與票數的變化？

生7：圖. （小組內討論圖像的樣子）

小組匯報：圖的具體長相不太準確，但錢數是隨著票數的增加而增大的，所以猜測圖像應該是往上的.

師：（多媒體出示函數y=25x，x≥0的圖像）利用圖像舉例說明，總金額與票數是怎樣對應的.

學生在網格圖像中畫出票數取 4，7時對應的金額數.

追問：我們用數量關系式、圖像、表格三種方式描述了銷售金額與票數的變化過程和對應關系，比較三者各自有哪些特點？

生8：式子從數量關系的角度顯示了量之間的關系，容易求值.

生9：表格清楚地列出了一些對應值.

生10：圖像比較形象直觀，容易看出升、降.

設計意圖 ?學生是學習的體驗者、知識的獲得者. 學生自主舉例，符號表示數量關系，描述對應關系，這些活動，體現了具體實例數學化的過程. 三種描述方式，目的是讓學生體驗如何由自變量的值去找出所對應的函數值（對應法則），蘊含對應法則這個核心的教學. 雖然，此刻未提出自變量、函數值、對應法則等概念，但他們已能夠感受到對應關系的存在.

片段三 ?概括共同特征，形成函數概念.

課上學生選取恰當的方式描述自己列舉實例中的變化量的對應關系（一日氣溫與時間，長方形的周長一定時長與寬的關系，人口統計中人口數與年份的變化）.

師：這些具體問題，他們雖背景不同，但內里卻有著共同的特征，大家把共同特征找出來. （小組討論）

小組代表：我們從變化的角度思考，有的量數值發生變化，有的量不變. 當一個變化量取值確定后，利用他們之間的對應關系，可以找出另一變化量的值.

師：他們小組研究問題從“是否變”“怎樣變”兩個方面入手，比較全. 除了從數值角度發現了兩個變量的對應關系，還有什么補充嗎？

生舉手：兩個變化量變的順序不一樣. 一個先變，另一個隨著改變. 從對應數值的個數上思考，第二個變化的量只能找到一個值與第一變化量對應.

教師概括結果：

師：將實例中涉及的量分類，你想怎樣分？說出分的依據并給每一類命名.

學生討論，得出常量和變量的概念.

師：把具有這種共同特征的變量間的對應關系稱為函數. 這是本節課主要學習的內容. ?（板書課題，出示函數的概念）

設計意圖 ?概念的核心是概括，概括需要大量實例. 實例來自于概括者——學生. 讓概括者——學生參與大量實例的本質特征的分析過程，在引導學生觀察、思考、比較的基礎上，揭示出感性經驗背后的理性、抽象的數學經驗，讓學生獲取有概括性、普遍性的數學概念. 這樣，學生才能學以致用，靈活地運用概念解決問題.

一點思考

教學要立足背景材料，關注學生已有的經驗，科學設置數學問題. 教師備課中，除了關注學生數學客觀性知識和技能的掌握情況，還要從教學角度對學生學習新知識的原有認知結構中的數學活動經驗、認識能力，以及有利與困難等方面給出分析和聯結. 以已有經驗設置思維的起點，由具體內容提煉出相應的核心問題，圍繞核心問題設置思維性問題——“怎樣開展問題探究？從哪些角度分析觀察？中間遇到了哪些困難？你怎樣想到這樣做？涉及學過的哪些數學知識和方法？”等等. 概念教學要注意問題引領，多關注“如何走向深刻”，讓學生更好地理解數學知識的本質.