素養導向下一道中考試題的解法探究

朱紹永

[摘 ?要] 中考試題是命題組成員集體智慧的結晶，既要考慮到對數學人才的選拔，也要考慮到讓絕大多數學生能順利通過畢業考試，所以每道試題都是精心打造的，值得一線教師深入研究、審視和評價，一題多解就是在實現從能力立意向素養導向轉變的一個方面的體現. 文章基于2019年安徽中考數學第20題第（1）問為例，在對全等三角形每種解法進行探索的基礎上，就如何培養核心素養，發展學生多角度思維做一些理性的思考.

[關鍵詞] 三線八角;建模;全等三角形;核心素養

試題及出處

（2019年安徽中考第20題）如圖1，點E在平行四邊形ABCD內部，AF∥BE，DF∥CE.

（1）求證：△BCE≌△ADF.

（2）設平行四邊形ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值.

試題評價

本題圖形簡潔，背景熟悉，設計巧妙，難易適中，面向全體學生，屬于中檔題.

所含基本知識點：三角形內角和定理的推論，平行線的性質，三線八角，全等三角形ASA或AAS定理，平行四邊形的性質.

所含思維方法：建模，轉化.

總體解題思路：由平行四邊形ABCD一組對邊AD與BC相等，再通過ASA或AAS來證明兩個三角形全等.

試題解法探究

（略去標準答案之外的解法，僅對第（1）問解法做探討）

四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD =BC，以下各種證法都用到此結論，不再一一證明.

方法一：延長BE交AD于點G，如圖2.

因為AD∥BC，所以∠GBC =∠AGB，因為AF∥BG，所以∠FAD =∠AGB，所以∠FAG =∠GBC，同理可得∠FDA =∠ECB. 又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題的思路來源于一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角必然相等或互補.

由于∠FAD與∠EBC沒有截線，所以必須通過第三個角作為“紅媒”牽線搭橋，這樣延長BE與AD相交這種輔助線的作法也就自然而然地形成了.

方法二：連接FE并延長交AD于點G，交BC于點H，如圖3.

因為AF∥BE，所以∠AFG =∠BEH，因為AD∥BC，所以∠AGE =∠EHC，所以∠AGE -∠AFG =∠EHC -∠BEH，即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB，又AD=BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于FA∥EB，AD∥BC，能否通過平移的方法來比較兩角的大小，于是想到作射線FH，利用平行線的性質和三角形內角和定理的推論來證明.

方法三：延長BA，如圖4.

因為AD∥BC，所以∠GAD =∠ABC，因為AF∥BE，所以∠GAF =∠ABE，所以∠GAD -∠GAF =∠ABC -∠ABE，即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于∠FDA =∠EBC，缺少截線證明同位角相等，于是作射線BA，構造出三線八角，利用同位角相等及等式性質證明之.

方法四：如圖1，因為AF∥BE，所以∠FAB +∠ABE =180°，因為AD∥BC，所以∠DAB +∠ABC =180°，所以∠FAB +∠ABE =∠DAB +∠ABC，所以∠FAB -∠DAB =∠ABC -∠ABE，即∠FAD =∠EBC. 同理可證∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于不少同學一遇到作輔助線就有恐懼感，盡管是一些常規的輔助線，鑒于此，思考能否不通過作輔助線證明∠FAD =∠EBC呢？所以利用兩直線平行，同旁內角互補的性質證之.

方法五：過點E作直線GH∥BC，交AB于點G，交CD于點H，則AD∥GH，如圖5.

因為AF∥BE，所以∠FAE =∠AEB，因為AD∥GH，所以∠DAE =∠AEG，所以∠FAE -∠DAE =∠AEB -∠AEG，即∠FAD =∠BEG. 因為GH∥BC，所以∠EBC =∠BEG，所以∠FAD =∠EBC，同理可證∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于構造一組平行線，通過內錯角相等、等量代換來證明∠FAD =∠EBC.

方法六：延長BE交AD于點G，交DF于點H，如圖6.

因為CE∥DF，所以∠BEC =∠EHD. 因為BE∥AF，所以∠AFD =∠EHD. 所以∠BEC =∠AFD. 因為AD∥BC，所以∠EBC =∠AGB. 因為AF∥BE，所以∠FAD =∠AGB. 所以∠EBC =∠FAD. 又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法源于AF∥BE，CE∥DF，能否通過一條截線引用平行線性質證明兩個角相等來個一箭雙雕呢？之后通過AAS證之.

教學導向

1. 注重模型的講解

每一個數學知識和方法的教學都可以是一種基本的“數學模型”的教學，但在具體教學中教師還需要加強學生對“析模”能力的培養.

本題中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補就是一種“模型”套用的成功案例，但是圖中沒有明顯的截線，那么可以通過添加適當的輔助線來“牽線搭橋”，起著“紅媒月老”成人之美的作用. 否則，機械地“套模”會造成學生強記硬背，食而不化，造成思維僵化就得不償失了. 在本題中除第四種解法沒有添加輔助線外，其余各種解法的前提都是構造第二個模型“三線八角”，將∠FAD與∠EBC聯系起來.

2. 加強建模訓練 ，培養建立數學模型的能力

建立適當的數學模型是利用數學解決實際問題的前提，建立數學模型是運用數學能力的關鍵一步.解應用題，特別是解綜合性較強的應用題的過程，實際上就是構造一個數學模型的過程.在教學中，我們可根據教學內容選編一些學生熟知的問題對學生進行建模訓練，也可結合學生熟悉的生活、生產、科技和當前商品經濟中的一些實際問題，引導學生觀察、 分析、抽象、概括為數學模型來培養學生的建模能力. 并盡可能地創造條件，讓學生運用數學解決實際問題. 在教學中可根據教學內容，組織學生參加社會實踐活動，為學生營造運用數學的環境，引導學生親手操作，如測量、市場調查和分析、企業成本和利潤的核算、春運客流量統計購票問題等，把學數學和用數學結合起來，使學生在實踐中體驗用數學的快樂，學會用數學解決問題. 所以，在以后的教學中，要以基礎知識和基本方法為重點，以理解為核心，以知識生長為目的，使學生思維得到發展，智慧得以生成，綜合素質得以提升，數學素養得以培養.

3. 注重數學思想，凸顯核心素養

數學思想是數學學習中最核心的內容，是數學學習中最有生命力的存在，是當我們把其他數學知識或方法遺忘之后還依然保留的數學思維方式. 數學思想方法是數學的靈魂，需要教師在教學中不斷滲透，加強對數學思想方法的培養，將其深入到學生的靈魂深處，這樣才能讓學生學好數學，用好數學，從而提升其數學核心素養. 本題的第（1）問，在多種解法的前提下，不外乎三線八角、一題多解、多解歸一. 所以，我們作為一線教師在平時的教學中就要養成研究中考試題、學教解題的習慣，要讓學生明白為什么這樣去思考，在做這道題時怎樣想的，有沒有走岔了、想歪了，在“走投無路”的情況下是否知道改變思路.

中考結束后就有學生問：能否連接EF，證四邊形ABEF為平行四邊形？當然證不出來，好在他及時改變思維方法用全等證明. 這就不僅僅是要求畢業班教師要注重從不同方向培養學生的數學解題能力，每個年級的教師在平時的教學時都要做到這一點. 就好比有人總抱怨小學教不好怪學前班老師，初中教不好責怪小學底子沒打好，高中老師抱怨初中老師沒有輸送好生源. 其實，若每個階段在教學數學知識的同時，側重對學生解題能力的培養，何愁沒有好生源，何愁學生的素養得不到提高？