構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

彭妍鑫 劉君

【摘要】構(gòu)造法是一種常見的解題方法，區(qū)別于一般的邏輯方法，需要一步一步求解數(shù)學(xué)條件，最終推導(dǎo)出結(jié)論，是一種具備試探性的解題思維.若能合理巧用構(gòu)造法，可以簡馭繁、變難為易，簡捷高效.本文主要對高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用構(gòu)造法解題進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);構(gòu)造法;解題

所謂構(gòu)造法簡而言之是指根據(jù)題目中條件的特征進(jìn)行類比聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件及結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，在解題的過程中主要是將“未知”量轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙阎绷浚瑤椭覀儗ふ业絾栴}間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，進(jìn)而幫助學(xué)生快速解決問題.歷史上不少數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)采用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題，發(fā)展至今，構(gòu)造法可成為高中數(shù)學(xué)解題的重要方法之一.在高中數(shù)學(xué)解題中最為常用的構(gòu)造法有：構(gòu)造函數(shù)、圖形、數(shù)列、代數(shù)式、向量等，下面對其中五種應(yīng)用進(jìn)行介紹.

一、構(gòu)造函數(shù)

理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個(gè)認(rèn)識上的飛躍.很多數(shù)學(xué)命題煩冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，能使解答別具一格.

例1 已知定義在〖R 上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x<0時(shí)，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）

A.1? ? B.3? ? C.5? ? D.1或3

解析 可構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2f（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，即可得出結(jié)論.

解 令g（x）=x2f（x），則g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，

∵當(dāng)x<0時(shí)，f（x）滿足：2f（x）+xf′（x）

∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]>x2>0，

∴當(dāng)x<0時(shí)，g（x）為增函數(shù)，則g（x）

∴f（x）<0.

又∵函數(shù)f（x）是定義在R 上的奇函數(shù)，

∴當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，∴f（x）在R 上只有一個(gè)零點(diǎn)為x=0，故選A.

二、構(gòu)造圖形

一般來講，代數(shù)問題較為抽象，若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法，往往可增強(qiáng)問題的直觀性，使解答事半功倍.

例2 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB∥DC，BC=1，AB=AC=AD=2，求BD的長.

解析 求線段的長一般是把線段放到比例式或直角三角形中，根據(jù)題意構(gòu)造⊙A，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到Rt△BDF.

解 如圖2所示，以A為圓心，AB為半徑構(gòu)造⊙A，由于AB=AC=AD=2，則C，D在⊙A上，延長BA交⊙A于F，連接DF，得Rt△BDF.由于AB∥DC，BC=1，所以FD=BC=1，又FB=2AB=4，所以BD=BF2-DF2=15.

三、構(gòu)造數(shù)列

在高中數(shù)列習(xí)題中，我們常見的是給出已知數(shù)列的首項(xiàng)、公差或公比，來求通項(xiàng)公式，但實(shí)際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列，給出數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，要求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.而這些題目往往可以用構(gòu)造法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3 正數(shù)數(shù)列{an}中，若a1=5，a2n+1=a2n-4（n∈N ），求an.

解 設(shè)bn=a2n，則bn+1-bn=-4，

數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，公差是-4，b1=a21=25，

∴bn=25+（n-1）·（-4）=29-4n，

即a2n=29-4n，

∴an=29-4n（1≤n≤7，n∈N ）.

四、構(gòu)造代數(shù)式

代數(shù)式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分之一，代數(shù)式的許多性質(zhì)和應(yīng)用可以幫助我們快速解決問題.

例4 當(dāng)x=3+1時(shí)，求y=1 2x3-x2-x+1的值.

解 由題意得x=3+1，所以x-1=3，

構(gòu)造x-1的因式y(tǒng)=1 2x3-x2-x+1

=1 2（x3-2x2-2x+2）=1 2[x（x-1）2-3x+2]

=1 2（3x-3x+2）=1.

五、構(gòu)造向量

向量的引入對解決代數(shù)、三角、幾何中的很多數(shù)學(xué)問題都有幫助.

例5 已知a，b，c是正數(shù)，求函數(shù)y=x2+a2+（c-x）2+b2的最小值.

解 構(gòu)造向量a =（x，a），b =（c-x，b），

則原函數(shù)可化為y=|a |+|b |≥|a +b |

=（x+c-x）2+（a+b）2=c2+（a+b）2，

∴ymin=c2+（a+b）2.

綜上，構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維特點(diǎn)，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，不是憑空“臆造”，而是要以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎(chǔ)，以觀察為先導(dǎo)，以分析為武器，去發(fā)現(xiàn)問題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件.此外構(gòu)造法也并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對同一道題既能用幾種構(gòu)造法來解，也可以用其他方法來解，因此，我們需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注重此方法的應(yīng)用，自主總結(jié)學(xué)習(xí)問題，從而不斷提升學(xué)習(xí)成績.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張潔.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何巧用構(gòu)造法[J]考試周刊，2014（29）：66.

[2]羅文靜.探析高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用構(gòu)造法的措施[J]中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（7）：61-62.