試論引導學生建立完整的數的知識框架

秦舒緯

摘 要：數學學習離不開數字，數字是數學學習的基礎，也是數學學習的根本所在。同一個數字，出現在不同的情境中蘊含的意義不盡相同，只有理解區分好題目中每一個數字所蘊含的意義，才能準確分析出數量關系，更好地解決問題，為學生的數學學習打下堅實的基礎。文章結合教學實踐，對引導學生建立完整的數的知識框架進行論述。

關鍵詞：小學數學;完整;知識框架;數形結合;構建模型

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2020）14-0084-02

從自然數到小數再到分數，在教學過程中我們發現低年級的學生對整數的認識并不存在多大的困難，而到了中高年級涉及分數的意義時，相當一部分學生發生混淆。如何幫助學生在腦海中建立完整的數字模型，對不同類型的數的含義進行分析，建立完整的數的知識框架，值得數學教師認真思考。

一、百分數教學中的“易”與“難”

1.教材對百分數的教學安排

在蘇教版教材中，“百分數”的教學被安排在六年級上冊第六單元，這是小學階段數字的最后一種呈現形式。從教材教學內容的安排上看，主要分為百分數的意義及讀寫、與小數分數之間的轉化，以及相關的實際問題。本文不對實際問題進行討論，主要探究對百分數的認識及理解。

2.百分數教學中的“易”

之所以說“百分數”教學易，是因為學生對百分數的認識絕不僅僅局限于課本上的內容，對百分數的內容接觸也絕不僅僅開始于六年級上學期，生活中或多或少地已經接觸過百分數。例如，布料所包含的各種成分，升學率、成活率，等等。在課堂教學中，教師需要做的就是給出一個明確的百分數的定義，即“表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫作百分數”，并幫助學生進行理解。該定義明確了百分數只表示關系，不表示數量，不帶有單位名稱。如：可以說1米是5米的20%，不可以說一段繩子長20%米。

3.百分數教學中的“難”

“百分數”教學的難從表面上看是難于計算，如25%×4%有相當一部分學生的計算結果是100%，而涉及百分數的除法，學生計算起來更困難，經常出現不是把結果擴大就是縮小的現象。以上現象的出現，表面上看是計算問題，實則是學生對百分數的實質沒有理解。

4.準確理解百分數

要理解百分數，就要理解它的兩層含義：一是表示兩種量之間的關系，或是部分與整體之間的占比關系。二是當百分數單獨出現時，則具備數值屬性，這也是教師在教學過程中需要進行拓展的內容。要理解百分數的兩種屬性，教師就要引導學生對分數、小數、整數的意義有一個準確的理解，對小學階段所學的數字進行完整的模型建構。

二、自然數、小數、分數知識框架的構建

1.自然數的認識

自然數源于兩種理論體系：基數理論與序數理論。這兩種理論分別對應自然數的兩種不同意義與作用：一是自然數表示一些具體事物的個數;二是自然數表示一個順序，如第一個、第二個、第三個……例如，在認識“=”“>”“<”這節課中，認識4=4時，例題將4只小兔與4只小猴一一對應;認識5>3、3<5時，將5只松鼠和3只小熊一一對應，從而發現數字之間的大小關系。那么，為什么要將動物的只數對應后再進行比較呢？很多教師都會忽視這一問題。史寧中教授認為：數是對數量的抽象，數的關系是對數量關系的抽象。數量關系的本質是“多少”，比較數量的方法是“對應”。

2.小數的認識

蘇教版小學數學教材將“分數的初步認識”安排在三年級上冊，而“小數的初步認識”被安排在三年級下冊。筆者先討論小數，是從學生的認識基礎考慮，小數更易于學生理解。例如5÷2的計算結果，學生仍然習慣于用小數表示，而不是分數。小數，在絕大部分的情況下它只表示某些物體的具體的量，一般不具有序數的功能。但小數拓展了數的運用范圍。在教學過程中，教師可借助數軸來幫助學生理解（圖略）：0、1、2、3……這些自然數在認識小數之前，在數軸上只是一個個離散的點。小數可以和數軸上的任意點建立一一對應關系，讓學生感受到可以無限地細分這些小數，有助于學生更好地認識事物，培養學生數形結合意識。

3.分數的認識

學生認識分數可以從分數所表達的關系入手，如把一個蘋果平均分給4個人，每人分得蘋果的1/4。在這里，分數指向部分與整體之間的比，當然也可以是兩個部分之間的比，如男生人數占女生人數的幾分之幾。分數還可以是一個數，如兩個數相除，當商是一個無限小數，而又需要用一個精確值表示時，就可以用分數表示。分數還可以表示數量。很多情況下即便商的計算結果復雜，但學生仍然喜歡計算出一個數值，而很少用分數表示。例如，在完成“把4米長的繩子平均分成5段，每段長幾分之幾米，占全長的幾分之幾，是一米的幾分之幾”這道題時，學生的錯誤率一直居高不下。之所以會出現這種現象，是因為學生受先入為主的概念影響。學生一開始認識分數時，理解分數表示的是兩個量之間的占比關系，而對于分數可以表示具體數量認識不足。要解決這樣的問題，教師可以引導學生先從等分和商的角度認識分數。例如，一個蛋糕平均分給2個人，每人可以分得多少塊？如果平均分給4個人，每人可以分得多少塊？在這個情境中引出分數，通過人數的變化，能讓學生感受到隨著人數的增加每人分得的蛋糕數量在逐漸減少，從而認識到等分的結果可以用分數表示，進而建立起除法與分數之間的聯系。

三、融會貫通，構建模型，解決問題

構建模型是數學學習的有效途徑，能夠提升學生分析問題和解決問題的能力。數學來源于生活，將生活實際問題轉化成數學問題并加以解決是數學模型的建構與求解過程。例如，一根鋼筋長7.2米，已經用去了全長的2/9，再用去多少米，正好剩下全長的一半？題目中一共出現了三個數據：7.2米表示鋼筋的具體長度，2/9表示已經用去的部分占全長的2/9，一半表示全長的1/2。要想正確地解決這個問題，除了要理解再用去的米數=全長的一半-用去的米數外，還必須準確地理解這三個數據的具體含義，尤其是2/9。可以說，理解數據的含義是解決問題的基礎。

總之，數學學習離不開數字，數字是數學學習的基礎，也是數學學習的根本所在。同一個數字，出現在不同的情境中所蘊含的意義不盡相同。在數學教學中，教師要引導學生理解區分好題目中每一個數字所蘊含的意義，準確分析出數量關系，提升學生分析問題和解決問題的能力，為學生的數學學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]章飛，凌曉牧，陳蓓，魏光明.小學數學研究與教學指引[M].南京：南京大學出版社，2016.

[2]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]劉偉.小學數學概念教學現狀分析及其優化策略[J].內蒙古教育，2019（18）.

[4]高繼.小學數學概念教學的策略研究[J].數學學習與研究，2019（12）.