小學數(shù)學“給平面圖形作高”中的常見錯誤與應對策略

【摘 要】在日常教學中，學生在“給平面圖形作高”中會出現(xiàn)各種錯誤，如畫的高與底不垂直、畫的高與底不對應等。筆者結合實際情況在教學相關內(nèi)容時做了一些探索：研究教材，調(diào)整“高”的教學路徑;聯(lián)系生活，構建“高”的概念模型;動態(tài)演示，理解“高”的概念本質(zhì);夯實基礎，重視“高”的上位知識;提煉方法，鞏固“高”的作圖技巧。實踐證明，教學中運用上述策略有助于學生理解“高”和正確“作高”。

【關鍵詞】小學數(shù)學;平面圖形;教學策略

“給平面圖形作高”是小學數(shù)學“圖形和幾何”中的重要內(nèi)容。教師一般通過講解、演示、示范操作的基本步驟進行教學，再由學生模仿操作并強化練習。這樣的教學過程看似完整、扎實，然而最終的結果卻是學生“作高”的錯誤率很高，看似簡單的知識和技能變成了教學的難點。通過研究，筆者試圖破解“給平面圖形作高”這個難題，探索有效的教學策略，最終走出“作高”的困境。

1? ?洞悉錯因

在小學階段，“給平面圖形作高”主要是給平行四邊形、梯形、三角形這三種圖形作高。在人教版數(shù)學教材中，“給平行四邊形和梯形作高”是安排在四年級上冊第五單元“平行四邊形和梯形”中。“給三角形作高”是安排在四年級下冊第五單元“三角形”的教學內(nèi)容中。“給平面圖形作高”是在學生理解了直線、射線、線段的相關知識，掌握了垂直、平行等位置關系后開展的作圖活動，它是今后學習平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形面積的基礎。

為了讓學生學會“給平面圖形作高”，教師在教學上沒少花時間和精力，但學生在“作高”中還是會出現(xiàn)很多的錯誤。問題究竟出在哪兒？筆者通過錯題收集、整理，從教師的教學方法和學生的認知心理做了成因分析。

1.1? 畫的高與底不垂直

由于三角板的擺放不規(guī)范而出現(xiàn)高與底不垂直的錯誤。（如圖1）

錯因分析：“垂線段”知識是“給平面圖形作高”中的“種子概念”，在教學中如果不重視該部分內(nèi)容，操作訓練不夠，學生在“作高”時就會碰到困難。還有一種情況是底邊不是水平的，由于受生活經(jīng)驗中“高”的意義的干擾，學生在“給平面圖形作高”時總是試圖將高與水平線保持垂直關系，而不是與底邊保持垂直關系。

1.2? 畫的高與底不對應

在畫指定底邊上的高時，部分學生畫的卻是其他底邊上的高，沒有搞清楚高與底相對應。（如圖2）

錯因分析：除了上面所說生活經(jīng)驗中“高”的意義的干擾這個原因，還有一個原因是“平面圖形的高”的定義對于小學生來說比較抽象，難于理解。他們錯把“鄰邊”當“對邊”，找不到與底相對的對邊或頂點，最終導致高與底邊不對應。

1.3? 畫高的起點不明確

畫平行四邊形（或梯形）的高時，沒有從一條邊上的一點出發(fā)向它的對邊作垂線段。畫三角形的高時，沒有從一個頂點出發(fā)向它的對邊作垂線段。（如圖3）

錯因分析：平行四邊形的高和三角形的高，在概念上既有相同點又有不同點。平行四邊形在“作高”時，可以從對邊上的任意一點到底邊作垂線段，三角形的高則是從頂點出發(fā)向對邊所作的垂線段。學會作平行四邊形的高，有利于學生學習作三角形的高，但同時也會帶來負遷移。

1.4? 圖中現(xiàn)有高不會找

在直角三角形中，兩條直角邊互為底和高，學生不會直接找高，非要畫一條錯誤的高。（如圖4）

錯因分析：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，學生可能會產(chǎn)生這樣的思維定式——三角形的高和邊是兩回事，不可能是同一條。

2? ?探索對策

面對錯誤，倘若只是機械地糾錯，重復地訓練，往往收效甚微。如何讓學生理解“高”的定義，并能正確“作高”？筆者在教學中做了如下一些探索。

2.1? 研究教材，調(diào)整“高”的教學路徑

將人教版、蘇教版、浙教版三個版本的教材進行對比研究，如表1，蘇教版、浙教版將“給平面圖形作高”的相關知識全部安排在四年級下冊，知識之間的聯(lián)系比較緊密，教學起來也更加連貫。“垂線段”是“作高”的基礎知識，所以從邏輯順序來說，在“作高”教學中應先讓學生學習“給三角形作高”，再接著學習“給平行四邊形和梯形作高”，這樣的教學路徑更符合學生認識發(fā)展的規(guī)律。

2.2? 聯(lián)系生活，構建“高”的概念模型

書本上給出的“平面圖形的高”的概念都比較抽象，而小學生的認知規(guī)律是從具體到抽象。因此，平面圖形中高的定義對于小學生來說比較抽象，在教學中教師應聯(lián)系生活，重視學生的經(jīng)驗和認知。

（1）聯(lián)系生活，合理利用“前概念”。在小學生的生活經(jīng)驗中，高是指人或物體距離地面的垂直高度，如“身高”“樓高”等。這與“三角形的高”有共同之處，因此，教師可以嘗試著把生活中的“高”作為“前概念”來理解“平面圖形的高”，這有助于提高教學效率。

（2）借用常識，努力排除“負遷移”。生活中，測量物體的高，需要與水平地面保持垂直。然而，在底邊不是水平的情況下，學生容易受到生活經(jīng)驗的負遷移，畫出的高與底邊不垂直。怎么辦？

a.引入“地心引力”，力排干擾。

小學四年級的學生已經(jīng)有這樣的常識，地球類似一個球體，地球上的萬物被地心引力吸著，如果一個人從外太空用望遠鏡看地球，地球上的高樓看上去就是斜的，地面也是斜著的。但房子與房子所處的地面垂直。借用這個現(xiàn)象，教師可以引導學生把三角形想象成一幢房子，拿出地球，擺在三角形的一條邊旁，此時三角形的底就是地面。在教學中，滲透“底就是地平面”的思想能幫助學生排除生活經(jīng)驗的負遷移。

b.通過旋轉變化，化“斜”為“正”。

既然“底就是地平面”，那么學生在作圖中也可以旋轉圖形，讓斜著擺的底邊變成正著擺，那“作高”就變得容易多了。

2.3? 動態(tài)演示，理解“高”的概念本質(zhì)

張奠宙教授曾經(jīng)說過：“理解是技能訓練獲得高效率的潛在條件。”因此，在教學中要重視讓學生理解高的概念本質(zhì)。

（1）對比過程中理解高的本質(zhì)屬性。動態(tài)演示平行四邊形、梯形和三角形的高，讓學生分辨它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。除了讓學生感受平行四邊形、梯形一條邊上“一點”和三角形的“頂點”的不同，也讓學生去發(fā)現(xiàn)它們的共同點都是“一點到對邊所作的垂線段”。通過對比，巧妙地將畫高與畫垂線相聯(lián)系，以舊知理解新知，抓住高的概念本質(zhì)。

（2）變化演示中點破高的特殊位置。為了讓學生更直觀形象地理解直角三角形直角邊互為底和高，筆者嘗試用微視頻動態(tài)演示三角形形狀的變化及高的位置的變化過程。用三根小棒和線砣，水平邊為底，高線是線砣，如圖5。在逐漸變成直角三角形的過程中，高逐漸與右邊的直角邊重合。這樣的動態(tài)演示能讓學生理解直角三角形的兩條直角邊互為底和高。

2.4? 夯實基礎，重視“高”的上位知識

數(shù)學教學應順應知識的內(nèi)在邏輯關系，重視并預備“作高”的上位基礎知識——垂線段。“給平面圖形作高”的本質(zhì)是“一點到對邊所作的垂線段”。因此，在學習“給平面圖形作高”前，教師要先讓學生能熟練地畫垂線段，即過直線外一點畫已知直線的垂線。除了直接可畫的情況外，還可出現(xiàn)直線一端需延長才可畫垂線段的情況。只有提供充分的變式練習，學生在操作上才能得心應手。

2.5? 提煉方法，鞏固“高”的作圖技巧

“給平面圖形作高”在操作上有比較高的要求。對于小學生來說，由于動手能力差，他們稍不留神就會出現(xiàn)底和高不成直角的現(xiàn)象。為了提高學生“作高”技能，除了加強教師的示范，還可以增加同伴間的互助演示;除了課堂上手把手的操作演示，還可以是課堂外的微視頻示范。在加強演示、示范的同時，也要重視方法的提煉。

（1）提煉常規(guī)方法。三角形作高的步驟：首先是三角板直角邊和三角形底邊重合，概括為“重合邊”;接著是三角板的另一條直角邊穿過三角形的頂點，概括為“重合點”;最后是“畫線、標記”。有了操作要點的提醒，在不斷規(guī)范“作高”的過程中，學生最終養(yǎng)成良好的作圖習慣。

（2）學習創(chuàng)新方法。不管教師在教學過程中如何示范、如何提煉方法，總有一部分學生在操作上還是有困難。對于這部分學生，還需另尋他法。如可以向學生推薦“尺板作高法”，用一塊三角板輔以直尺協(xié)同作高，如圖6。直尺與三角形底邊重合，直尺不動，三角板的一條直角邊緊貼直尺移動，直到另一條直角邊到三角形底邊所對的頂點，然后作高。

綜上所述，通過上述教學策略的改進，學生對高的認識更深刻了，“給平面圖形作高”的能力也有了較大的提升，特別是學困生，不再談“高”色變。

【參考文獻】

[1]高衛(wèi)芳.四招破解三角形作高的難點[J].教苑時空·教例剖析，2013（2）.

[2]于芳.“地心引力”與三角形的高[J].小學數(shù)學教師，2014（12）.

【作者簡介】

謝鋒銘（1977～），漢族，浙江省杭州市人，學歷：本科，職稱：一級教師，研究方向：小學數(shù)學。