按“圖”索驥 解決數學問題

林香華

摘 要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”小學生的年齡特點決定了對形象直觀的學科感興趣，而對源于生活中的抽象數學問題倍感乏味，不知該如何解決。從運用圖形，描述數學問題;善用圖形，解決數學問題;巧用圖形，創新數學問題這三個方面，淺談幾何直觀讓復雜的數學問題變得簡明、形象的一些思考，從而拓展學生的數學思維。

關鍵詞：幾何直觀;解決數學問題;圖形

小學生的年齡特點決定了對形象直觀的學科感興趣，而對源于生活中的抽象數學問題倍感乏味，不知該如何解決。這種困境如長期未得到妥善解決，將不利于小學生對數學學科興趣的培養，解決問題成為廣大數學教師面臨的緊迫任務之一。《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”①可見將幾何直觀引入數學教學中，注重滲透幾何直觀和數形相結合，并將復雜的數學問題通過個性化語言簡潔地描述出來，對培養學生幾何直觀意識、拓展學生的數學思維具有十分顯著的作用。

一、運用圖形，描述數學問題

我們知道，小學生的思維是以具體形象為主，多數學生無法清楚描述稍微復雜的問題，而圖形具有形象直觀的特點，教師在教學中巧妙地借助圖形，幫助學生將數學問題準確地表述出來，構建清晰的思路，學生不僅樂于接受，而且為解決問題打下了良好的基礎。

【案例】一對剛出生的兔子一個月后就能長成大兔子，再過一個月就能生下一對小兔子，并且此后每個月都會生一對小兔子，一年內沒有死亡，那么，12個月后會有多少對兔子呢（假設每對兔子一雌一雄，而且不病不死）？學生對于這種題目很難理解，更無法去解決問題。在實際教學中，教師可以引導學生通過圖形來理解題目的意思。如下：

師：從題目中，你讀懂了什么？

生：小兔子長成大兔子，大兔子生小兔子，每個月都有兔子出生。

師：第一個月有幾對兔子？

生：1對小兔子。

師：第二個月有幾對兔子？

生：1對大兔子。

師：為什么都是1對兔子？

生：第一個月是一對小兔子，第二個月是這對小兔子長成了一對大兔子。

師：那第三個月呢？

生1：一對小兔子。

生2：兩對兔子。

……

師：那到底有幾對兔子呢，我們可以用圖形來描述題目意思嗎？（這個圖形表示大兔子，這個圖形表示小兔子。）

師：從圖1-1中你看懂了什么？

生：第一個月一對小兔子，第二個月這對小兔子長成了一對大兔子，第三個月大兔子生出了一對小兔子，這個月就一共有2對兔子了。

師：那么第四個月、第五個月、第六個月有多少對兔子呢，你們愿意自己嘗試著研究一下嗎？

師：觀察圖1-2，我們知道第4個月起兔子數量變成了3對，以后每個月兔子的數量都是前兩個月兔子數量之和。通過直觀圖形把復雜的數學語言描述出來，發現規律，然后運用規律、解決問題，學生不再感到不知所措，無從下手。

二、善用圖形，解決數學問題

解題中，審題是關鍵。我們經常發現學生容易被表面現象所迷惑，尤其應對數學應用題，不能從長篇的文字表述中篩選有用的信息，苦苦思索，不得其解。我們嘗試著讓學生用圖表形式簡化題意，排除模糊選項，捕捉關鍵字眼、由繁入簡，達到突破難點解決問題的目的，取得較為明顯的效果。

【案例】小明、小東兩人同時從距離100千米的兩地出發相向而行。小明每小時行6千米，小冬每小時行4千米。小明帶了一只狗，狗每小時跑10千米。狗與小明同時出發，碰到小東的時候立即掉轉頭往小明這邊跑，到小明后，又掉轉頭往小東那邊跑，這樣往返跑，直到小明、小東兩人相遇為止。問這只狗一共跑了多少千米的路？（圖2-1）

這道題最讓人迷惑不解的是那條狗。

如果我們計算第一次狗與小東相遇的時間，進一步算出此時狗跑了多遠;接下來再計算狗與小明的距離，類似地再計算出狗第一次掉轉頭往小明這邊跑與小明相遇的時間，進一步算出狗跑了多遠……這樣算下去計算繁雜，越往后面算就越繁雜，而且感到“沒有頭”。

思路跟著狗跑，我們就上當啦！這里可以運用幾何直觀抓住題目中的關鍵信息。也就是當狗在做變向跑動的同時，小明、小東雙方相向而行。已知小明、小東之間的距離是100千米，小明每小時走6千米，小東每小時走4千米，他們相遇的時間就是一個不變的量。從圖中可以抓住這個不變量，去求狗跑的路程。

三、巧用圖形，創新數學問題

學生在不斷解決問題中，會累積一定的解題經驗，形成相對固定的解題模式，如果僅憑借老經驗、老套路去求解新的題目，缺乏全面性分析比較、嘗試著探究新途徑，并不利于知識點的鞏固和提升。而善用幾何直觀，引導學生對已有的解決問題方法進行驗證、反思，構建嚴謹的數學邏輯思維能力，將達到舉一反三、觸類旁通的效果。

在教學面積單位之間的進率時，有這么一道題：在一個長50厘米，寬10厘米的長方形布上，能剪一個兩條直角邊分別長10厘米、4厘米的直角三角巾，你能剪出多少個同樣的三角巾。大多數學生能根據已有的經驗，用長方形面積除以一個三角巾的面積，列式為10×50÷（10×4÷2）=25（個），那么能剪出25個三角巾嗎？這個結果到底對不對呢？我們可以通過畫圖驗證（圖3-1）。

發現50÷4≈12（個）……2（厘米） 12×2=24個。如果僅僅依靠除法求解這道題，我們是無法得到正確結果的。只有通過畫出直觀的圖形，才能在腦海中形成動態擺放的過程。

又如，在教學立體圖形體積單位進率時，因多數學生已初步積累了直觀圖形解題的經驗，不會再簡單地用大面積除以小面積，也知道正常擺放利用剩余空間。我趁熱打鐵，問學生能否在正常擺放的情況下，充分利用剩余空間，盡可能多擺放。這里我把擺放的量提升到盡可能多的角度，就涉及如何合理使用空間的問題，學生的思維再次被撞擊，怎么辦？

看著學生茫然的樣子，我進一步因勢利導，舉了個例子：媽媽做了外婆愛吃的花生酥，每塊花生酥長5厘米，寬3厘米，高2厘米，準備裝在一個長30厘米，寬20厘米，高15厘米的長方體禮盒，最多能裝多少塊花生酥？學生受思維定式的影響，沒想到改變花生酥的擺放方向，于是我趁勢在電腦屏幕中展示各種動態擺放過程，學生們恍然大悟：“喔！還可以這樣放”。學生的靈感被點燃，思路被拓展，自覺建立一一對應關系，花生酥的長對應著禮盒的長、高對應著寬、寬對應著高，再見縫插針、合理利用……

綜上所述，幾何直觀圖形為小學數學教學提供了行之有效的途徑。教師在教學中嘗試著通過運用、善用、巧用幾何直觀圖形，幫助學生“讀”懂題意、理清思路、突出重點，讓復雜的數學問題變得簡明、形象，不僅有助于提高教學效率，而且能激發學生的數學興趣和培養創新意識，達到事半功倍的效果。

參考文獻：

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編輯 王亞青