借助幾何直觀發展學生核心素養

李延江 王俊玲

[摘要]借助“幾何直觀”用數學圖形或符號表達抽象的數學語言，使復雜的數學問題變得簡單、形象，幫助學生直觀地理解數學，把握數學本質，感悟數學思想，發展學生的核心素養。

[關鍵詞]幾何直觀;數學思考;核心素養

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）26-0063-02

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”也就是說，幾何直觀可以把抽象的數學語言通過數學圖形或符號進行表達，幫助學生直觀地理解數學。對此，筆者以蘇教版教材六年級“圓柱和圓錐”的有關問題為例，談談如何借助幾何直觀發展學生的核心素養。

一、借助直觀，化靜為動，培養抽象思維

數學的顯著特點是抽象，因此給學生的學習帶來了一定的困難，而幾何直觀既能提高學生的學習興趣，又可以幫助學生理解題意，把復雜問題變得簡單、形象。

例如，教材上的一道習題（如圖1），由于題中給出直觀圖示，學生很容易找到兩個圓柱的底面半徑和高，進而解決問題。

可是學生在解決“把一張長4厘米、寬3厘米的長方形紙分別繞它的長和寬旋轉一周，形成兩個圓柱，它們的體積分別是多少？”這一問題時，卻出現把旋轉的一條邊當作直徑來計算的問題，究其原因是題目的文字表達比較抽象，難以理解。通過操作長方形學具，學生明白：旋轉時，長方形的一條邊就是所形成圓柱的底面半徑，另一條邊就是所形成圓柱的高。借助幾何直觀能幫助學生直觀理解，糾正偏差。接著師生進一步交流討論：

師：兩個圓柱的體積哪個大？為什么？

生1：通過計算我發現，短邊為軸，長邊就是所形成圓柱的底面半徑，這時圓柱的體積大。

師：任意一個長方形繞著它的長或寬旋轉一周，形成的圓柱體積都有這樣的規律嗎？

（學生小組合作，舉例驗證了這個規律）

師：如果用a表示長方形的長，6表示長方形的寬，你能證明自己的發現嗎？

生2：V1=πa2b，V2=πb2a。兩個體積公式中相同的部分是πab，只需要比較a和b的大小。因此，長邊為半徑、短邊為軸時所形成的圓柱體積大。

師：把一個長是18.84厘米，寬是12.56厘米的長方形紙，沿著它的長或寬卷成兩個大小不同的圓柱，怎樣卷得到的圓柱體積大？為什么？

生3：把長方形的長作為圓柱的底面周長，這時卷成的圓柱體積大。（如圖2）

師：你又什么發現？

生5：不管是沿著邊旋轉還是卷起來，只要半徑大，所形成的圓柱體積就大。

生6：畫圖作用非常大，它可以把復雜問題變得簡單、形象。

借助直觀圖，化靜為動，不僅使學生解決了“哪個圓柱體積大？”的問題，學生還在觀察、比較、操作和驗證中發現了這類問題的共性及規律，同時也讓學生經歷和體驗了從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，培養了學生的抽象思維。

二、運用直觀，以分聚合，發展推理能力

數學中的有些問題不僅抽象而且隱蔽，學生很難發現，而運用幾何直觀則可以把抽象的數學問題變得具體可視、簡潔明了，便于學生理解和掌握。

例如，對于“一根圓柱體木料的底面半徑是0.3米，長是2米，把它平均截成4段后，這些木料的表面積比原來木料的表面積增加了多少平方米？”有學生提出：用平均截成4段后這些木料的表面積之和減去原來木料的表面積，就知道增加了多少。之所以提出這種解決方案，是因為學生缺乏對題目的直觀理解。這時，教師可啟發學生先想象如何用一個“圖”來表示題意，然后再把它畫出來。（展示學生作品，如圖3）

通過直觀圖，學生驚奇地發現：把圓柱體木料平均截成4段，其表面積比原來增加了6個（2x3）圓柱的底面積，而且這種方法比上述方法更加簡便。

教師再給出題目：一根圓柱體木料的底面半徑是0.3米，長是2米，把它平均截了4次后，這些木料的表面積比原來木料的表面積增加了多少平方米？

有了之前畫圖的經驗，學生就會用畫圖表示題意，于是發現：把圓柱體木料平均截了4次后，其表面積就增加了8個圓柱的底面積。在比較中，學生還發現了其中的規律：每截1次圓柱體木料，其表面積就增加它的2個底面積。

又如，“把一個高為10厘米的圓柱沿著它的底面直徑切成相等的兩半，其表面積增加了8C平方厘米，這個圓柱的體積是多少立方厘米？”根據學習經驗，學生會通過畫圖尋找表面積增加的部分在哪里。（展示學生作品，如圖4）

在直觀圖的幫助下，學生很容易看出表面積增加的部分就是2個長方形的面積，且長方形的長是圓柱體的高，寬是圓柱體的底面直徑，問題便輕松得以解決。

面對圓柱的分割問題，學生很難找到解決問題的突破口，運用幾何直觀，以“分”聚“合”，就可以把抽象的文字以及學生看不到的數學知識直觀地呈現出來，再通過觀察、比較等活動，學生不僅解決了問題，還掌握了這類問題的特點及規律，發展了推理能力。

三、把握直觀，由此及彼，感悟數學思想

數學是一門系統性強、邏輯嚴密的學科，在教學中教師要善于利用幾何直觀，幫助學生探索解決問題的思路，理解數學的本質及內涵。

例如，一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為12.56厘米的正方形，如果將這個圓柱切拼成長方體，它的表面積增加多少平方厘米？

從條件中可以知道圓柱的高，也能求出它的底面半徑，但表面積增加的部分在哪里、是什么形狀的，學生都不清楚，這時就要鼓勵學生腦中有“圖”，于是學生想到了圓柱體積公式的推導，并主動拿出學具進行操作（如圖5）。

通過觀察，學生發現：圓柱被切拼成長方體后，它的體積沒有變化，表面積卻增加了.且增加的表面積就是長方體中左右2個長方形的面積，這個長方形的長是圓柱的高，寬是圓柱的底面半徑。

又如，一種玻璃水瓶（如圖6），下部是圓柱形，上部是一個不規則的立體圖形。瓶子里面裝有180毫升的水，瓶子平置時水的高度如圖7，倒置時無水部分的高度如圖8，求這個玻璃瓶的容積。

對于這個問題，學生感到很茫然，因為這個瓶子是一個不規則的立體圖形，無法直接用某一公式來計算它的容積。為此，教師可利用直觀圖形啟發學生思考：玻璃水瓶水平倒置前后，什么變了，什么沒有變？交流中學生發現：無論玻璃水瓶是否倒置，玻璃水瓶的容積=瓶內水的體積+無水部分的體積;玻璃水瓶倒置前后，水的體積與無水部分的體積都沒有變化;倒置前，瓶內水的形狀是一個圓柱，而倒置后，無水部分的形狀變成一個圓柱，這兩個圓柱的體積之和就是玻璃水瓶的容積;等等。

通過學具操作，由“此”及“彼”，復雜問題變得更加形象、簡單，學生在“變”與“不變”中理解數學的內涵，不僅知其然還知其所以然。這一過程，學生不僅解決了問題，還從中感受轉化的思想方法，體會同中求異、異中求同的辯證思維，更為重要的是發展了數學思維，感悟了數學思想。

總之，幾何直觀不僅僅存在于“圖形與幾何”這一領域，在數學的其他領域中也有著廣泛的應用。教學師要充分利用幾何直觀，引導學生經歷把復雜問題變得簡單形象，把抽象問題變成具體可視，把未知轉化成已知的學習過程，幫助學生不斷積累利用幾何直觀進行數學思考的經驗，培養學生的幾何直觀能力，發展學生的核心素養。

[參考文獻]

中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準（2011年版）[s].北京：北京師范大學出版社，2012.

（責編黃春香）