指向單元教學設計的數學教材分析示例

摘? ? 要：教材分析是數學教學設計及其課堂實施準備工作的邏輯起點.指向單元教學設計及其課堂實施的教材分析，重在揭示一系列數學知識點所形成的中觀結構，從中辨別主導性數學知識點與從屬性數學知識點，從而突出重點與突破難點，為減輕學生的學習負擔奠定基礎.

關鍵詞：數學教學;單元教學;教學設計;教材分析

數學知識具有結構性特點，從而相關數學知識點可以依據不同的標準，形成一系列的環節鏈條，在某個具體的鏈條中，每一個環節都是其中的中介，是前面的環節蠕動趨勢所實現的結果，又是構成后面的環節的前提.關于某種環節鏈條的數學知識教學設計及其課堂實施，就是將這條環節鏈條投射到學生的認知結構中去，由此可以想象到，在學生的認知結構中，相應地存在著承載某條數學知識鏈條的認知結構中的那些不同心理環節及其所生成的運動的節律，這就構成數學單元教學設計及其課堂實施的心理起點.本文重在研究單元數學教學設計及其課堂實施的基礎之一的教材分析，這里舉例說明之.

一、指向單元教學設計的教材分析內涵及特點

所謂教材分析，顧名思義，就是對教學材料（即數學知識內容）的分析，指教師對在一段時間內（比如一課時、一單元時段，甚至一個學期時段）將要傳授的教學內容（數學知識）分解開來，認識它的每個部分或每個層次的要素及其關聯過程的實質，在此基礎上，通過綜合，獲得對于寫進教科書中的數學知識內容的整體認識的思辨過程[1].由于數學知識的結構性特點，決定教材分析具有相互聯系與補充的宏觀分析、中觀分析與微觀分析三種途徑，在教學設計時，應將經由這三種分析的結果整合起來，從而斟酌損益使用教學法加工，選擇合適的教學結構，即選擇課堂教學活動的一種途徑所形成的教學過程.

指向單元教學設計的教學分析的基礎主要表現在對于寫進教科書中的數學知識點進行中觀分析，然而，由于數學知識的結構性，要想得到合適的中觀分析途徑與理想的中觀分析結果，就離不開宏觀分析與微觀分析結論的幫助.指向單元教學設計的教材分析的特點在于，應該以整個單元所呈現的所有數學知識點作為分析對象，由于在教科書的編制中，呈現的很可能是一節課一節課所組成的孤立數學知識點，當我們進行中觀分析時，就是將這些孤立的數學知識點沿著綜合的設想，將其整合成某條知識點的具有某種程度上的發展趨勢的環節性鏈條的過程.

由此不難認識到，在由數學知識點組成中觀知識結構鏈條中，這些知識點對于組成結構鏈條的作用不是平等的，而是具有等級性，某些知識點相對地處于主導性地位，而另外一些知識點則相對地處于為主導性知識點服務的從屬性地位.當教師通過教材分析辨別某些具體知識點的相應的地位時，就為單元教學設計及其課堂實施奠定了良好的基礎.因為，在這種情況下，數學教師就可以分清輕重緩急，從而便于突出重點;容易據此揆度學生關于發生主導性數學知識點的心理疑難所在，進而研究如何突破難點.

關于為主導性知識點服務的那些知識點通過微觀分析，通過具體析出可以析出其中的教學價值，做出相應相稱的處理，該簡則簡，該略則略，其目標主要在于依據這些知識點輔助學生理解主導性知識點.這就是一個單元，或者一條數學結構鏈條上知識點中的主導性知識點與從屬性知識點之間的關系所在.單元教學設計及其課堂實施就是要在主導性知識點上下功夫，要在主導性知識點與從屬性知識點之間的建立聯系上下功夫[2].俗云，一個好漢三個幫，一個籬笆三個樁，做好主導性知識點及其從屬性知識點與主導性知識點的聯系的準備工作，就為實現教學設計及其課堂實施奠定了基礎.

二、指向單元教學設計的教材分析示例

《增廣賢文》曰：理在用中方知妙，事非經過不知難;陸游詩云：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.上述指向單元教學設計及其課堂實施的教材分析理論如果不能使用具體教材分析的實踐來體現它，那么，就有可能只是紙上談兵，沒有指導數學教學實踐的價值，理論的力量就會顯得蒼白.因此，我們選擇上海科學技術出版社新時代數學編寫組編制的《義務教育教科書·數學》（簡稱“上科版教科書”）七年級上冊的“第1章”教學內容為例，演示指向單元教學設計的教材分析過程的觀念及其指令下的具體分析行為.

在《有理數》這一章里，一共分為七節，其中第七節“近似數”是第六節“有理數的乘方”⑥的具體應用，因此，“近似數”是從屬性的外圍知識點.其他的分別為第一節“正數和負數”①;第二節“數軸、相反數和絕對值”②;第三節“有理數的大小”③;第四節“有理數的加減”④;第五節“有理數的乘除”⑤（為了后述行文方便，關于這六節使用了序號加以標識）.下面，就整個的這一單元所出現的這些具體知識點，進行中觀分析，看看這些數學知識點如何從中觀上組成具體的單元結構.

從總體上看，有理數概念及其內容的產生是將小學學習的非負數系擴充到有理數系的結果，這一次擴充的物質性基礎在于引入“負數”概念，從而與“正數”“零”構成有理數系，形成“有理數”概念.當以一個數系為基礎而擴充為包括這個數系的更大數系時，在這種推廣計劃的機制中，隱藏著一個主導性統一的觀念.這個觀念被稱為固本原則，對于這種固本原則的應用是多方面的，其中的一個主要方面就是在非負數系中所建立起來的某些主要運算法則應該相應地推廣到擴充后的數系中去[3].

因此，依據固本原則的要求，引入有理數概念后，就應該將在非負數系中所建立的運算法則同時擴充到有理數系中來，在教科書的安排中，④⑤就是非負數系中的具體運算，⑥則是在有理數系中新定義的一種運算（其實，這種乘方運算在非負數系中也可以定義，只是那時還不需要而已）.由此可以發現，這一章雖然涉及這么多的數學知識點，不過其中的引入“負數”概念進而定義的“有理數”概念，基于有理數概念而建立相關的有理數運算法則這兩個知識點構成這個單元的主導性數學知識點.其他的數軸概念、相反數概念、絕對值概念②、有理數的大小③、近似數都是從屬性知識點.由此分析結果認識到，在教學設計及其課堂實施中，這里會出現兩個問題.

其一，④⑤⑥這基于有理數的三項不同等級運算的建立，又可以分為三個不同的層次，其中，最為基礎的一級就是有理數加（減）法運算法則的建立，它構成建立有理數的乘除運算或乘方運算法則的示范，教學設計中需要教師特別重視.因此，數學教師在關于“有理數”這一章的教學準備工作中，就要特別注意在建立有理數概念（數系擴充）與基于有理數概念建立有理數加（減）法法則這兩個主導性知識點上下功夫.關于有理數概念的建立，“上科版教材書”所提供的教學素材已經非常完備，老實說，無須調整就可以直接地進入課堂實施.

其二，數學教師還需要通過進一步具體分析，弄清楚外圍的從屬性知識點（主要是②）對于這兩個主導性知識點的作用.學習主體的心理特點的規定性在于，總是希冀通過化歸的手段將新數學知識轉化為自己已經掌握的數學知識中去，前者是后者的“最近發展區”，后者是前者的“合適根據地”;固本原則從數學知識的歷史進程中也充分地說明了這一點.關于有理數系中的加（減）法法則如何建立在過去的非負數系中已經存在的加（減）法法則的基礎上呢？這是首先需要研究與解決的問題.

教師可以循著數學史的上述事實，形成一種教學設計及其課堂實施的構想，那就是將我們基于非負數系所擴展的負數構成有理數系的那種“負數”去掉，從而返回學習主體過去已經掌握的非負數系中去，如此，在非負數系所建立起來的加（減）法法則在有理數系中就可以通行無阻了（固本原則的實現）.那么，如何將有理數系的負數子集化歸為相對應的有理數系的正數子集呢？這就需要引入絕對值概念與相反數概念.在這兩個概念中，相反數概念是絕對值概念的自然結果.因此，編制教科書與教師教學設計及其課堂實施的重點都集中于如何幫助學習主體建立這個絕對值概念，因為，有了這個概念，就形成將負數轉化為正數的一種機械性裝置.

那么，如何啟發學生領悟與理解絕對值概念？如果是我們學習過高等數學的教師自己，這是一件比較容易的事情，直接定義一個數a的絕對值，即[a=a（a≥0）-a（a<0）]，就形成絕對值概念.但是，對于剛剛進入初一的學生來說，這種直接定義他們非常不習慣，無法領悟與理解絕對值概念的本質.于是，作為數學教育工作者，就想到使用可視化的途徑，幫助學生領悟與理解絕對值概念，這就產生一條途徑，即引入數軸概念，將一切有理數使用一直線上的點來表示，得到使有理數可視化的目的.

按照皮亞杰的發生認識論理論，“隨著在將近十一歲到十二歲時開始形成形式運演的出現，在這個階段，運演從其對時間的依賴性中解脫了出來”[4]，但是，這只是剛剛開始由從九歲到十歲的“具體運演階段的第二水平”過渡到“形式運演”階段，由于這種過渡的心理活動過程，不是一蹴而就的，因此，建立數軸概念，形成可視化策略的支點，就為學生領悟與理解絕對值概念奠定了基礎.有了數軸概念的工具，有理數系就完全能夠可視化了.從心理上說，這就將使用理性思維運作相關的有理數概念，轉化為可以使用感性思維進行運作了，從而很好地降低了思維層次.

通過數軸概念的幫助，經由一段時間，不同學生可以或早或遲地逐步完成從“具體運演階段的第二水平”過渡到“形式運演”階段，對應地可以體驗到自己的思維方式的進展，再有一段時間，在教師的悉心幫助下，進而丟棄這種數軸概念的可視化工具，直接從感性思維運作上升到理性思維的運作.由此可以認識到，在學生形成數軸概念、絕對值概念、有理數的加（減）法則這些知識教學目標的同時，幫助學生實現從“具體運演階段的第二水平”過渡到“形式運演”階段認知結構層面上的教學目標.

三、基于單元知識點教材分析結論的教學準備工作

上述的教材分析得出的知識結構性線索為教師單元教學設計及其課堂實施途徑的準備工作提供了依據：其一，教學的重點為兩個知識點，即一是有理數概念，二是建立有理數的加（減）法法則，其中絕對值概念是建立加（減）法法則的基礎;其二，教學的難點在于幫助學生領悟與理解絕對值概念，領悟與理解建立有理數加（減）法法則的心理過程與這兩個法則字斟句酌的表達背后的本質.因此，數學教師教學設計的準備工作的著力點就應該基于這兩點展開.

在做好突出重點與突破難點的這兩個知識點的教學準備工作以后，其他知識點，如數軸概念、有理數的大小、近似數等由于更為偏向于感性認識活動，因此，雖然學生有可能只是從現象上認識與理解它們，原則上說，都是無關緊要的（當然，這種觀點只是比較而言的，教師通過自己的努力能夠幫助學生從本質結構上理解它們更具價值，但是，一般教師的教學設計及其課堂實施可能達不到如此程度），使用一般的途徑進行教學就行了.

如此，指向單元教學設計及其課堂實施的教材分析結論，就可以幫助教師抓住這些知識點所構成結構的矛盾中的主要矛盾與矛盾的主要方面，從而在教學設計中可以做到分清輕重緩急，突出教學要點，實現極大地減輕學生的學習負擔的教學目的.毛主席說，“要真正地認識對象，就必須要把握與研究它的一切方面、一切聯系和‘媒介，我們絕不能完全做到這一點，可是要求全面性，將使我們防止錯誤，防止僵化……表面性，對矛盾總體和矛盾各方的特點都不去看，否認深入事物里面精細地研究矛盾特點的必要，僅僅站在那里遠遠地望一望，粗枝大葉地看到一點矛盾的形相，就想動手解決矛盾.這樣的做法，沒有不出亂子的”[5].這個例子中的指向單元教學設計及其課堂實施的教材分析就是其突出的體現.

教材分析構成數學教學設計及其課堂實施的邏輯起點，因為教學活動的過程就是將數學知識點投射到學生的認知結構中去的過程，所以教材分析必然構成學情分析的基礎，而教材分析與學情分析結果的整合做成教學法分析的基礎，數學教師通過自己的教學法分析來選擇關于某個數學知識點的課堂教學結構.由此認識到，教材分析構成數學教學設計及其課堂實施的基礎中的基礎.指向單元教學設計及其課堂實施的教材分析，重要揭示一系列數學知識點的中觀結構，從中辨別出主導性數學知識點與從屬性數學知識點，從而便于教師突出重點與突破難點，為減輕學生的學習負擔奠定基礎.

參考文獻：

[1]張昆. 教材分析：數學教學設計的基礎[J]. 中學數學雜志，2018（8）：13-16.

[2]張昆，鄭雷聰. 初中數學單元教學設計示例——以一元一次方程一章為例[J]. 內江師范學院學報，2019，34（8）：33-38.

[3]T.丹齊克. 數·科學的語言[M]. 蘇仲湘，譯. 北京：商務印書館，1985：77-80.

[4]J.皮亞杰. 發生認識論原理[M]. 王憲鈿，等譯，胡世襄，等校. 北京：商務印書館，1996：51.

[5]毛澤東. 矛盾論[M]//毛澤東選集（第一卷）.北京：人民出版社，1991：313.