探索函數極值點的充要條件

摘要：函數的極值是高中數學的重要知識點，但在現行高中教材人教A版選修2-2中僅僅給出了函數 在 處取得極值的必要條件是 ，沒有給出充要條件。作者查閱了高等數學相關資料，并結合多年教學實踐，找到了一個符合高中學生學習實際的極值點的充要條件，用于解決高中數學中相關的極值問題。

關鍵詞：高中數學;下凸函數;上凸函數;函數極值點的充要條件

【正文】函數的極值是高中數學的重要知識點，但在現行高中教材人教A版選修2-2中僅僅給出了函數 在 處取得極值的必要條件是 ，沒有給出充要條件。那么函數 在 處取得極值是否存在充要條件呢？如果存在，又是否可以在高中數學中加于推廣和運用，讓解決極值問題的方法變得更加簡單有效，帶著這個問題，筆者查閱了高等數學中的有關資料，并對此展開進一步的探討。

一、函數的極值與凹凸性的關系

下凸函數定義：若D是函數 定義域內的某個區間，當 時恒有 ，則稱函數 是區間D內的下凸函數（也稱凹性函數），此時 圖像在區間D內各點的切線都在圖像的下方。如圖1

上凸函數定義：若D是函數 定義域內的某個區間，當 時恒有 ，則稱函數 是區間D內的上凸函數（也稱凸性函數），此時 圖像在區間D內各點的切線都在圖像的上方。如圖2

運用這個函數極值點的充要條件，可以更加便捷地處理高中數學中極值的有關問題，方法簡單實用，容易掌握，也符合高中學生的學習實際，在應用中進一步提升了學生對函數極值的理解和認識。這一解決函數極值的方法，也在多年的教學實踐中通過師生的廣泛應用得到了檢驗。

參考文獻：

[1]吉林大學數學系 《數學分析》 北京 ?人民教育出版社 ? 1978

[2]《數學》選修2-2（普通高中課程標準實驗教科書人教A版）2007

作者簡介：王邦富，男，中學高級教師，從事高中數學教學35年，長期擔任尖子班，特長班，英才班，實驗班，宏志班的班主任和數學課，培優工作成績突出，所教高三畢業班的學生中有1人獲得省狀元， 42人考入清華北大和港大。多次被學校評為“先進教師”，“優秀共產黨員”，2013年9月被評為昭通一中首屆“十佳教師”，2017年2月獲得“云南省師德標兵”表彰。有多篇教育教學論文在國家級核心期刊和省級核心期刊上發表。