從觀察到思考

楊君偉

摘?要：在進入高中數學學習之后，學生們會發現我們所要思考的模式和解題方法比以前更加豐富了.但是在進行高中數學問題解答的時候，所要經歷的依然是從觀察到思考這樣的過程.本文將對解題時常見的觀察角度進行詳細敘述，并結合實例來說明如何在高中數學解題過程中進行思維拓展.

關鍵詞：觀察;思考;高中數學;思維拓展

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0077-02

俗話說得好：“智慧源于思考，思考源于觀察.”對同一個問題，從不同的角度去觀察，往往可以給我們帶來不一樣的思考和不一樣的方法，這正是一題多解的形成原因.另外，在高中數學問題的解答過程當中，如何有效地突破一些較為復雜的難點，最關鍵的地方還是要通過觀察來進行.那么如何通過有效的觀察來實現題目的多樣化求解呢？這就是本篇文章所要討論的問題.

一、觀察字母變量

在解題過程中首當其沖的一個重要觀察角度就是要對相應的字母變量進行觀察.有時我們需要觀察變量的個數，并進一步思考如何消元或換元（比如函數問題）;有時我們需要觀察變量的屬性，并進一步思考選用什么知識工具去處理問題（比如解三角形問題）;有時我們需要觀察變量的次數，并進一步思考如何設計求解路徑.以下舉一例說明：

例1?已知不等式x3-（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0對任意的a∈[32，52]，x∈[1，2]恒成立，求正實數λ的取值范圍.

這個題目中的不等式中含有三個字母，其中正實數λ是我們要求解范圍的變量，其余兩個變量的范圍是給定的，但是這兩個變量的次數存在高低不同，我們可以先分析次數較低的變量a，把恒成立的不等式改寫成：λ≥（2x2-2x）a-x3+2x2-x，a∈[32，52]，于是λ大于右邊關于變量a的一次函數在給定區間上的最大值，即λ≥-x3+7x2-6x，x∈[1，2]，進而λ大于右邊關于變量x的一次函數在給定區間上的最大值，即λ≥8.

二、觀察式子結構

通過觀察式子結構往往可以幫助我們構造恰當的函數模型，比如：在導數應用小題中，我們需要根據導數不等式構造合適的原函數解題;在數列通項公式求解題型中，我們需要觀察條件等式的特點，來選擇通項公式求解方法;在解三角形問題中，我們需要觀察已知等式的結構特點來判斷是應該“角化邊”還是應該“邊化角”.以下舉一例說明：

例2?已知f（x）=12x2-（2a+2）x+（2a+1）lnx，對任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）-f（x2）|≤λ|1x1-1x2|恒成立，求正實數λ的取值范圍.

在本題求解中，式子|f（x1）-f（x2）|≤λ|1x1-1x2|的結構特點為：含有兩個變量x1，x2，不妨假設x1<x2，可以通過變形將兩個變量分離，分離后的式子為：f（x1）-λx1≤f（x2）-λx2，兩邊結構一致，可以通過構造函數，利用函數單調性的定義來求解.

高中數學當中有很多重要的公式、性質，通過對題目所給式子的結構進行觀察以及變形思考，能夠更快地將這些題目與已經學到過的公式、性質等建立聯系，快速構建解題思路.

三、觀察運算特點

數學的推理離不開運算，而對運算特點的仔細觀察，常常能幫我們尋找到正確的解題方向.這樣的觀察角度多見于不等式類問題，比如利用基本不等式求最值，利用對數平均值不等式解決極值點偏移問題，以及在自招或競賽中常見的柯西不等式的應用等.以下舉一例說明：

例3?已知a，b，c是不全相等的正數，求證：lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.

這個題目的左端變量位于真數位置，而且是“和式”運算，這不利于我們對左端式子進行變形分析，因為我們都知道，真數位置如果是乘除運算，是可以進行式子變形化簡的，但是這里真數的“和式”運算，怎么樣才能轉化為“乘除”運算？再觀察到左端和右端并不相等，所以我們可以利用不等式將“和式”化為“積式”，用到的工具當然就是基本不等式.

四、觀察條件聯系

對于題目已知條件的觀察，主要是觀察條件之間的聯系，這在向量問題、立體幾何問題等題型中較多見.當然，任何數學題目的求解都離不開條件的觀察，這里所強調的，是在條件繁多的情況下，我們要著重觀察分析條件之間的聯系.以下舉一例說明：

例4?已知兩個單位向量OA，OB，它們的夾角為2π3，點C在以O為圓心的單位圓弧上運動，若OC=xOA+yOB，求x+y的最大值.

這個題目中，已知條件涉及到兩個單位向量OA，OB及其夾角，這兩個條件結合起來，可以計算兩個向量OA，OB的數量積;點C在以O為圓心的單位圓弧上運動，說明|OA|=1.這幾個條件結合在一起可以發現，在向量等式OC=xOA+yOB的兩端可以同時進行平方運算，得到關于實數x，y的等式.再結合運算特點的觀察，利用基本不等式工具即可求解.

五、觀察圖象圖表

數形結合是數學中非常重要的思想，其中的“形”指的就是圖象圖表.我們通過觀察圖象圖表，可以直觀感受到研究對象的變化規律，進而引導我們進行嚴謹論證，理解問題的“本質”.在解題過程中，觀察圖象圖表可以幫助我們快速理解題意，有時也可以幫助我們找到巧妙解.以下舉一例說明：

例5?已知函數f（x）=aex-x-1，若f（x）≥0對于任意的x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

這個問題中的不等式可以變形為：a≥x+1ex，x∈R，則實數a大于等于右端函數的最大值，通過觀察右端函數的圖象即可得到問題的解.本題還可以等價變形為：1a（x+1）≤ex，x∈R，左端是一條恒過定點（-1，0）的動直線，右端是不含參的函數，其圖象是確定的，所以我們可以觀察動直線和右端曲線的位置關系來求解——當動直線在曲線下方，或者剛好和曲線相切時，是滿足題意的，所以切線的斜率就是1a的最大值，進而可求得實數a的取值范圍.

文中提到的五種有關高中數學解題過程中的觀察角度都是因時而動的.對于不同類型的數學問題，有的時候可能需要結合多種類型的觀察方式才能夠得出美妙的結果，同學們要在平時的訓練中細心體會，長期積累，方能做到靈活應用.

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