基于核心素養的逆向教學設計課例“數列的概念”

摘?要：本著“以終為始”的逆向教學設計思路，從預期學習目標設定倒推學生理解的表現證據，再著手設計教學活動幫助學生自然地理解核心概念。本課是人教版高中數學選擇性必修（2019版）第二冊第四章第一節，教學重點是數列的概念、表示方法及數列與函數的關系。預設學生應達目標為通過觀察實例，初步形成數列的概念，能夠準確辨析數組是否為數列;通過問題系統的引領，建立數列和函數之間的關系，認識數列是一種特殊的函數，并能對數列進行簡單分類;了解數列幾種簡單的表示方法;培養學生直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理、數據分析、數學建模的學科核心素養。

關鍵詞：高中數學;逆向教學設計;概念教學

為凸顯數學來源于生活并指導生活的實用性及時代特征，特安排班內學習小組各上交一個生活中的“數列”例子，并在課堂上展示。通過“知”與“行”結合，一方面實現積累數學活動經驗;另一方面，培養學生形成正確的發展觀、價值觀，實現立德樹人目標。

學生1：我有一本習題冊，每天做題1頁并記錄下完成頁碼。

學生2：我們每天上午跑操2圈，記下從本學期開學起按照日期把各天跑的圈數。

學生3：為防控新冠疫情，班級體溫檢測表上我每天早上的體溫數值。

學生4：從今天開始倒計時高考的天數，排成一個表每天劃消。

學生5：我們學校東邊快遞點每天收到的快遞數，按照日期記錄下來。

學生6：我爸爸炒股，記錄每個交易日大盤漲跌的點數。

教師：自2019年12月27日醫生張繼先上報中國第一例新冠疫情起，我國每日新增確診人數。

根據師生們提供的素材，設置問題組令學生小組合作探究。問題1：從數學的角度觀察思考，這些問題的答案有何共同特點？如果它們是某些“數列”，那么如何定義“數列”？如果認為其中有的數組不是數列，又是什么原因？問題2：“千里之行始于足下”，任何一個數列都有第1項，若項的序號確定，則該項就是唯一確定的。你是否能聯想到某個相似的概念？請嘗試闡述二者的關系。問題3：觀察以上例子中項的變化特征，嘗試按照標準1：“遞增數列”、“遞減數列”、“常數列”、“擺動數列”進行分類，再按照標準2：“有窮數列”與“無窮數列”進行分類。問題4：哪些方式可以用來表示一個函數的自變量x與因變量y之間的對應關系呢？數列部分又該如何表示呢？

通過學生展示、辨析與闡釋，師生達成共識。問題1抽象出“數列”的本質特征：研究對象是數字且數字排列按照一定順序。教師指導學生閱讀教材中列涉及的各種名詞（項，首項，序號，項數及符號表示），將課本中提供的案例作為教學場景的擴大。問題2提示學生聯系已有知識體系，感悟“函數”是本課的“大概念”，類比思考的對象數列其實是一種特殊的函數。問題3類比函數的單調性來對數列進行分類;且分類標準不同，分類方式也不同。問題4利用以“舊”帶“新”、從一般到特殊的思考方式，引導學生從函數三要素的角度思考，關注數列的表示方法，較為抽象的數列通項公式其實就是函數的解析式。而數列的其他表示方法（列表法、圖象法、遞推公式法）比較直觀，可以讓學生自學習得。

本環節看似只有四個思考問題，但在生生交流、師生交流中的不斷設問追問，整個問題系涉及十多個小問題，層層遞進，遍布數列概念的內涵與外延。這種探究模式意在培養學生“自學自問自答自悟自查”的學習方法。其中“自查”體現在“過程性自我評價”的模塊，它是“逆向教學設計”的一個主要特征，是指導學生在學習過程中自我了解的工具，有定位、提醒、鞭策、激勵的作用。評價的描述是按三個程度設計的，學生閱讀勾選符合的選項。

【過程性評價1】

①可感知哪些數組是數列，但無法準確概括數列概念的要點，無法建立數列與函數的關系，在數列分類時有模糊的地方。

②可闡述數列概念，初步感知數列與函數的關系，但還不能熟練使用術語、符號描述涉及的數據及關系，可以對給定數列進行正確分類，但耗費時間較長。

③能理解并闡述數列概念的要點，理解數列與函數的內在邏輯關系，能熟練使用術語、符號描述案例涉及的數列及分類標準，可以快速準確的對給定數列進行分類。

為使學生順利將數列這一新概念及符號納入已有知識網絡、夯實運算基礎，將課本中的例題1（根據給定數列的通項公式寫出前5項，并畫出圖象）、例題2（根據給定數列的前4項，再寫出數列的一個通項公式）與例題3（給定一個數列的通項公式，試判斷某個數字是否為該數列中的項），采用“開火車”的游戲進行練習與批改。該環節培養學生的歸納推理能力，即小學初中“找規律”的延伸，將所找規律用數學的符號語言概括出來，這正是“用數學的觀點、手段認識、表達世界”的要求。教師追問：是否所有的數列都有自己的通項公式？如果一個數列有通項公式，那么通項公式的形式是唯一的嗎？學生已經可以輕松作答。

【過程性評價2】

①在老師或同學的提示下能理解數列是一種特殊的函數，可簡單運用某種數列的表示方法，尚難以自如選擇合適的方法。

②知道數列是一種特殊的函數，能以函數的觀點理解數列的通項公式的意義;可以選擇合適的表示方法來表示數列。

③知道數列是一種特殊的函數，能以函數解的觀點來理解數列的通項公式的意義，并能用于解決問題、用數學的語言闡釋原理;可以多角度、辯證的理解數列表示方法的多樣性及優劣，選擇合適的方法。

本課尾聲設計一個半開放情境：現階段中國在抗擊新冠疫情的戰斗中取得了輝煌成就，我們的黨和國家領導人匯集多方面專業人士的智慧，及時號召全民帶口罩出行、減少聚集甚至封城等舉措，極大的降低了病毒傳染速度和數量，為世界抗疫率先垂范。試想當初如果沒有這些舉措，1個病毒感染者平均傳染個健康人，那么每日新增確診人數構成的數列，會是什么？累計確診人數又會是多少？累計確診人數相當于數列問題中的什么要素呢？請各小組選擇不同的值，通過今天所學的知識，來談談自己的感想。

教師點評：人類歷史浩渺如海，新冠疫情僅是滄海一粟，只要我們運用科學與智慧必將戰勝困難。所有一切詆毀抹黑中國抗疫措施的言論，在血淋淋的病患、病亡數字面前是多么不堪一擊。愿同學們學以致用，發揚年輕人的使命感、民族自豪感，成長為不懼艱險、敢為天下先的棟梁之才。

參考文獻：

[1]格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格?.追求理解的教學設計（第二版）[M]/上海：華東師范大學出版社2017-03-01.

作者簡介：馬燕麗（1983-），女，漢，山東青島人，中學二級教師，本科，研究方向：高中數學逆向教學設計