師生互動交流探索解題的案例分析與感悟

陳鴻燕

[摘? 要] 教學活動應該是教師與學生雙方都能積極參與、交往互動并共同發展的過程. 學生在學習過程中表現出的緊追不舍的精神對于教師來說是一種有力的觸動，從學生的數學學習來看，教師與學生之間的這種解題探究與交流帶給學生的是無窮的動力與成就感.

[關鍵詞] 師生互動;互動交流;探究;解題

在日常教學中，一線教師特別注重對知識點的講授，常常認為一定要把某一個知識或者某一道題目講清楚、透徹，就算完成了教學任務. 但是筆者在近幾年的教學實踐中常思考，學生遇到教師講過多次的題目，若在題型上稍微做一些變化，就無法順利解答，甚至無法理解題意，這個問題的根源在何處？通過研究會發現，從教的角度來說，教師是完成了教學任務，但是從學的角度來說，教師完成教學目標了嗎？所以在最近幾年的教學過程中，筆者經常通過講透一道題目，然后進行一系列的變式訓練，再嘗試經過師生互動交流來探索解題背后的根源，在這個過程中逐步滲透核心素養的培養. 下面通過一個案例來闡釋筆者在日常教學中的做法.

問題的開始

題目1：如圖1，某海濱浴場的B點處有險情，邊防巡邏隊在A點處發現了這一險情并委派了三名救生員前去營救，1號救生員迅速從A點跳入海中，2號救生員迅速跑至C點并跳入海中，3號救生員迅速向前跑300米至D點后跳入海中. 若將海岸線看成直線，救生員跑速均為6米/秒，游泳速度為2米/秒. 如果∠BAD=45°，∠BCD=60°，三位救生員從A點出發的時間是一致的，誰會先抵達點B處呢？（參考數據 ≈1.4， ≈1.7

這是筆者在中考復習期間留給學生的一道課外練習，多數學生利用三角函數知識正確解決了此題.

解答：在△ABD中，因為∠A=45°，∠D=90°，AD=300，所以AB= =300 ，BD=300. 所以BC= = =200 ，CD= = =100 .

1號救生員到達B點用時： =150 ≈210（秒）;

2號救生員到達B點用時： + =50+ ≈191.7（秒）;

3號救生員到達B點用時： + =200（秒）.

故2號救生員是最先到達B點的.

課后有學生提出以下困惑：計算可知2號救生員是最先到達B點的，但對這一結果卻難以理解. 假如救生員水上、水下的速度一樣，選擇在A點下水無疑是正確的，但現實情況是水上速度是水下速度的3倍，救生員就應該在C點下水嗎？C點又是如何確定的呢？如果速度關系是2倍、4倍、5倍呢？下水點又應該怎樣確定？

互動交流，層層深入

筆者首先抽取了題2中的基本模型.

題2：如圖2，B是直線AD上一點，點D離點B最近，AD>BD. 若一動點從點A出發并沿AD方向到達點C，再沿CB方向到達點B，如果動點在直線AD上的速度是其在直線CB上速度的2倍，則點C應在哪個位置，才能令該動點從點A至點B用時最少？

分析? 設該動點在BC上的速度是v，則其在AC上的速度是2v. 所以用時為 + . 而 + = ，于是問題轉化成求AD上一點，使BC+ 的值最小.

將“最短路徑”問題轉化成尋求“替代點”問題是最常用的解題方法，此題中不僅要尋得點A的替代點，還要讓點C到它的距離一直是 ，構造含30°角的直角三角形并使得AC是斜邊，則該替代點即為直角頂點. 如圖3，當∠DAM=30°時，不管C的位置，過點C作CE⊥AM，垂足為E，始終有CE= . 在圖3的AD上任意取C ，C ，C ，C ，并分別作C E ，C E ，C E ，C E ，連接BC ，BC ，BC ，BC 可知，只有當B，C，E三點在一條直線上時，BC+CE=BC+ 的值最小.

學生在筆者講解“基本模型”的過程中豁然開朗，筆者趕緊追問：若動點在直線AD上的速度是在直線CB上速度的3倍，我們又應該如何確定C點呢？筆者提出這一問題意在檢驗這兩位學生是否真的理解了.

生1：讓CE是AC的 即可.

師：怎么畫呢？

生2：關鍵在于∠DAM.

生1：假如速度是3倍，則只要讓 = 即可，而 =sin∠DAM，所以sin∠DAM= . 通過計算器的sin 即可求得∠DAM的度數，用量角器畫出該角并從B點向AM作垂線，與AD的交點即為點C.

師：畫法其實還能簡潔一點，如圖4，△BDC∽△AEC，因此作出圖中BD并在BD靠A點一側作出∠DBC，角的另一邊和AD的交點就是我們要求的點C.

生1：要用計算器與量角器才能作出這個點，尺規作圖能完成嗎？

生2：我們還是以3倍速度為例吧.

①任意作一射線PQ并以任意長度作為單位，順次截取3個單位長度可得線段PN;

②以PN為直徑作圓O;

③以N為圓心、一個單位長度為半徑作弧并與圓O相交于點T，連接PT（如圖5）;

④如圖6，以BD為一邊作∠DBC=∠TPN，角的另一邊與AD相交于點C，即可求解.

作圖可知 = ，PN是直徑，因此∠TPN即為我們要求的角度. 速度的倍數不管是多少，運用這一方法都能求出相應的角度.

于是，筆者引導這兩位學生重新回到題目1的思考中，要求學生對點C是不是最佳下水點進行驗證.

？搖? ？搖

學生給出的解答如下：

解：如圖7，將最佳下水點設作P，則根據之前的探索結果可得sin∠PBD= = ，設PD=x，則BP=3x，在Rt△BPD中，由勾股定理得BP2=PD2+BD2，即（3x）2=x2+3002，解得x=75 ，則AP=300-75 ，所用時間為 + ≈190秒.

由此可見，題1中，雖然2號救生員到達B點的用時最少，但其下水點C事實上并不是最佳下水點，根據計算可知，最佳下水點應該是在距離D點75 米的位置，這時救生員抵達點B只需要用時190秒.

學生在這樣的解題“曲折”之中解除了原有的困惑，將問題中的知識與方法也徹底弄清楚了，筆者也因此沉浸在解題探索的回味之中.

感悟

從問題產生到最終的徹底解決，筆者實際上都是被動的，學生屢次從問題中追尋一般化規律的思考與探索將筆者置于相對被動的位置，筆者在這樣的解題探索中，因為學生的追問而思考和探索，作為數學教師，這實在不是一種積極的思維與態度，需要在今后的教學中不斷反思和改進.

事實上，教學活動應該是教師與學生雙方都能積極參與、交往互動并共同發展的過程，新課程標準中的這一基本理念在上述的教學案例中也得到了生動的體現. 筆者深刻領會到其中內涵的同時也不禁暗下決心，師生之間的相互追問令問題的討論直達其核心與本質，這是一種值得提倡的教學方式. 學生的思考與學習遭遇困難之時，正是教師應該伸出援手的時刻，同時，學生在學習過程中表現出的緊追不舍的精神對于教師來說，也是一種更有力的觸動，這是促進教師對問題研究展開更深層次思考的一種動力，是對教師知識技能發展、教學活動認知、專業技能提升的一種觸動.

從學生的數學學習來看，教師與學生之間的這種解題探究與交流帶給學生的是無窮的動力與喜悅，學生在互動探究的成就中頓感興致勃發，數學鉆研學習的積極性也因此得到很好的激發，這種積極性形成習慣的同時也令學生在數學學習中獲得不同的情感建設，數學精神也因此在其心中生根發芽.