基于高考新方向，探析立體幾何解題思路

周鵬

【摘 要】 立體幾何系列內(nèi)容隸屬形象思維考查核心考點。訓練學生立體幾何解題思路，要立足“奠基、形象、圖解、取巧”四個方面進行培養(yǎng)，在實戰(zhàn)訓練中養(yǎng)成邏輯清晰的思路，在高考中，學生才能“扣核心，抓重點，費時少”，達到高效解題的目的。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學;立體幾何;解題思路

在近幾年高考數(shù)學習題中，立體幾何占據(jù)的比重呈增長趨勢，已引起廣大教師的關(guān)注。在常規(guī)演練中，對于立體幾何數(shù)學問題，“抽象易混淆”是出現(xiàn)在學生思維上較為普遍的現(xiàn)象，因此，如何指導學生進行立體幾何求解過程，便成為教師需要研究的問題。培養(yǎng)學生解題思路，教師應突破常規(guī)，嘗試引導學生摸索客觀規(guī)律，采用模型建構(gòu)、類比轉(zhuǎn)換等取巧方式，高效進行求解。

一、梳理剪切，建構(gòu)模型

“外接”“內(nèi)接”是現(xiàn)今立體幾何試題中出現(xiàn)頻率較高的數(shù)學問題，且在高考數(shù)學中也常有應用。針對試題的發(fā)展方向，教師應因時制宜，探析新型解題思路，模型建構(gòu)便應運而生，能夠有效梳理學生的解題思路，厘清頭緒，直擊考點核心。

例如，在2017年全國卷中有題：“已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為多少？”學生在解決這道題時，通常采用“臆想”的思維解決，這便會出現(xiàn)思維片面或混淆不清的情況。筆者便建議學生先嘗試根據(jù)題意畫出“簡圖”，再依據(jù)簡圖考慮符合題意的“點”“面”存在幾種情況，之后嘗試套用題中已知內(nèi)容，解決問題。這類習題屬于典型的“接切”問題，學生便在引導下先畫出簡圖，再利用已知條件找出球心，算出半徑長度為3，再利用球表面積公式得出結(jié)果為36π。

“外接球”是立體幾何的考點核心，其考查范圍也是比較穩(wěn)定的，題目的類型雖然多樣，但萬變不離其宗，其重點便是“找球心，算半徑”。學生建構(gòu)起解題的框架模型，利用這種思路去解決未知問題，能夠大大提高解題效率。

二、滲透文化，換算單位

高考試題內(nèi)容越來越貼近生活，趨于“抽象的外殼，樸實的內(nèi)在”，將簡單的問題擴展到難以求解的地步。針對這種情況，筆者便引導學生采用“透析表象”的形式，弱化題目的難度，滲透文化觀，簡化求解問題。

例如，在2015年全國卷中有題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”學生在接觸到問題時，在厘清題意時便十分吃力，其實此類問題的重點在于單位的換算，這屬于傳統(tǒng)文化類型題，其余的解題思路便在于審清題意，再運用日常所學知識進行求解。“屋墻內(nèi)角”，可以讀出其實形狀就是個圓錐，由弧長便能夠求出底面半徑為，求出體積V=。題中給出的選項單位是“斛”，此時便需向?qū)W生滲透文化知識，如“斛”與“尺”，1斛米的體積為1.62立方尺，這便是學生解決此類問題的關(guān)鍵點，學生了解這種單位之間的關(guān)系，通過常規(guī)運算便能迅速得出答案。

高考試題逐漸向“實用”轉(zhuǎn)化，一些傳統(tǒng)的數(shù)學知識也會劃分到高考內(nèi)容中，所以在日常指導學生形成立體幾何解題思路時，要滲透一些單位的知識內(nèi)容，使學生在練習中熟練運用，在高考中才能不會被“表象”擊倒。

三、巧妙轉(zhuǎn)化，尋求最簡

所謂“取巧”，便是轉(zhuǎn)換思想的體現(xiàn)方式，將三維的幾何圖形轉(zhuǎn)換為二維層面去考慮，學生在解題中才能更加具體直觀地思考問題。

例如，在2018年全國卷中有題：“某圓柱高為2，底面周長為16，圓柱表面點M在正視圖中A位置，表面點N在左視圖點B位置，求解MN之間的最短距離（圓柱三視圖略）。”學生觀察發(fā)現(xiàn)，點A在正視圖左上角位置，點B在左視圖右下角位置。學生經(jīng)過“頭腦風暴”后，直接得出最短距離為高線2，這便是學生“輕視”問題導致的現(xiàn)象。此類題型，筆者建議學生分析題意，首先將三維立體圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，通俗講便是采用裁剪圓柱，畫出側(cè)面展開圖，探究點位置。學生作出側(cè)面展開圖簡圖，將點A、點B的位置注明，這時便適當引導學生，聯(lián)系二維展開圖和三維立體圖，觀察標注位置是否符合題意，學生在正確注明位置后，便發(fā)現(xiàn)原本復雜的內(nèi)容其實就是“勾股定理”的簡單應用，點B位置位于底邊的處，運算即可得出結(jié)果。將這種方式作為處理問題的一般步驟，學生在解決問題中便能做到“精準、高效”。

經(jīng)過巧妙的轉(zhuǎn)化，學生能弱化立體幾何圖形的抽象效果，尋找到簡潔的求解方式。在高考試題中，立體幾何題型通常為選擇題型和填空題型時，對于解題過程要求并不單一。因此，要簡單高效地得出正確結(jié)果，便需錘煉學生的解題思路，選擇最簡方式。

高考題每年都會改變，但核心內(nèi)容其實是基本一致的。學生的解題思路均是源自“透析表象，緊抓實質(zhì)”，能夠抓住問題的關(guān)鍵點，問題就已經(jīng)解決了一大半。訓練學生關(guān)于立體幾何的解題思路，通過建模、滲透、轉(zhuǎn)化方式方法，學生能夠充分理解問題，掌握解題技巧，從而在高考立體幾何考查中使其成為個人的“優(yōu)勢點”。

【參考文獻】

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