基于四基，提升核心素養

陳海波 朱志棟

[摘? 要] 2017年版《普通高中數學課程標準》強調要通過高中數學課程學習，使學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基”，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力;在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學核心素養. 課堂教學中如何落實四基，如何培育核心素養？ 關鍵還要看我們在一節課中如何確定教學目標，設計教學活動. 這是我們廣大一線教師關心的問題，文章以一輪復習“圓的方程”的教學為例， 探討一輪復習中落實四基、培育核心素養的粗淺觀點.

[關鍵詞] 四基;核心素養;圓的方程

問題的提出

2017年版《普通高中數學課程標準》強調要通過高中數學課程學習，使學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基”，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力;在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學核心素養.

課標中“四基”指的是基礎知識、基本技能、基本數學活動經驗、基本數學思想方法. 數學核心素養通常包括六大數學核心素養，它指的是數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析. 從新課標中可以看出，四基是基礎，素養是目的. 數學素養是在數學知識、技能、思想方法、活動經驗建構中生成的. 一個學生的數學素養高低關鍵看學生基礎數學知識的掌握是否牢靠、基本思想的領悟是否透徹，基本技能的操作是否嫻熟、基本數學活動經驗是否豐富. “四基”教學就是培養學生數學素養的主陣地，只有“四基”夯實了，數學素養提升就有可能，“四基”越牢靠、越豐富，數學素養就會越來越豐厚.

課堂教學中如何落實四基，如何培育核心素養？關鍵還要看我們在一節課中如何確定教學目標，設計教學活動.這是我們廣大一線教師關心的問題，筆者以一輪復習“圓的方程”的教學為例，探討一輪復習中落實四基、培育核心素養的粗淺觀點.

從四基到核心素養的教學設計

圓的方程是解析幾何的重要組成部分，是高考命題的熱點，江蘇高考一般出現在填空題12-14位置、解答題17-18位置. 圓的方程內容由圓的標準方程、圓的一般方程和圓的參數方程三個部分組成.同時在圓的方程的復習過程中，學生在掌握四基的基礎上，數學核心素養也能得到一定的培養.

1. 教學目標的確定

四基目標的確定

掌握確定圓的幾何要素，掌握用待定系數法求圓的標準和一般方程屬于基本知識和基本技能的內容;學會把圓的幾何性質與解析法結合起來解決問題，學會處理參數問題，注重分類討論思想和數形結合思想的應用，屬于基本活動經驗和基本思想的內容.

核心素養目標的確定

通過觀察分析培養學生的數學抽象素養和直觀想象素養;通過推理運算培養學生邏輯推理素養和數學運算素養;通過方程的設立、編制題目的求解培養學生的數學建模素養和數據分析素養.

2. 教學過程

問題1：三個定點A（4，3），B（5，2），C（1，0）確定幾個圓？反之如何呢？

生：三個不共線的點確定唯一的圓，一個圓對應無窮多組不共線的三點.

師：很好，三個不共線的點直接可以抽象為三個獨立的條件，也就是說三個獨立條件對應著唯一的圓，一個圓對應著無窮多組三個獨立的條件.

設計說明：從基本知識角度回顧確定求解一個圓需要三個獨立的條件，為圓的方程的求解方法登場做好鋪墊.從正向、逆向兩個方向讓學生弄清楚三個獨立條件和圓之間的邏輯關系，滲透辯證法思想，同時也滲透邏輯推理素養的培育.

問題2：求經過三點A（4，3），B（5，2），C（1，0）的圓的方程有哪些方法？

生：設圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）.

生：設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

生：直接求基本量a，b，r.

師：求圓的方程本質上就是利用待定系數法建立a，b，r或D，E，F的方程組，體現了化歸思想和方程思想.

設計說明：此處設計通過已知三個點求圓的方程問題引出圓的方程的所有的解法. 此處設計還包含了豐富的四基內容和核心素養的內容.具體來看，圓的方程的標準形式和一般形式屬于基礎知識，待定系數法屬于基本方法，方程思想運用屬于基本思想方法的內容，同時求圓的方程也體現了用代數方法研究幾何問題的解析幾何的核心思想. 再從核心素養的角度看，一般方程和標準方程的選擇培育了數學建模和邏輯推理的素養，方程組的求解培育了數學運算素養.

問題3：從定點與動點辯證關系角度思考，對問題1可以提出怎樣的問題呢？

生：把例1中的定點改成動點如何研究呢？

師：根據提出的問題，你能對本題進行改編嗎？

生：求經過三點A（4，3），B（5，2），C（m，0）（m≠7）的圓的方程.

變題1：（2017全國Ⅲ卷20題改編）在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點，點C（0，1）. 當m變化時，求過A，B，C三點的圓的一般方程.

生：設方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），由點A（x1，0），B（x2，0），C（0，1）得x■+Dx1+F=0，x■+Dx2+F=0，1+E+F=0得D=m，E=1，F=-2.圓一般方程為x2+y2+mx+y-2=0.

設計說明：三個獨立條件由靜態變成動態，以此出發研究，體現了動與靜的辯證關系.考查了學生的基本知識和基本經驗、基本方法，培養了學生的數學建模、數學運算和邏輯推理素養.

變題2：求經過兩點A（4，3），B（5，2）且與x軸相切的圓D的標準方程.

生：設圓標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），根據題意知（4-a）2+（3-b）2=r2，（5-a）2+（2-b）2=r2，b=r，由此可得圓的方程.

問題4：若圓D與x軸相切，圓D標準方程有何特點？

生：圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中b=r.

追問：圓D與x軸相切進行類比推廣，能提出什么問題呢？

生：圓與y軸相切，圓過原點，圓與一般直線相切，圓的標準方程有何特點？

生：圓與y軸相切時a=r;過原點時a2+b2=r2;與一般直線相切時，圓心到直線距離等于半徑r.

變題3：（2016江蘇預賽題改編）兩圓和x軸、直線y=■x均相切，且一個交點為P（2，2），求兩圓半徑之和.

生：設兩個圓的方程為：（x-■r1）2+（y-r1）2=r■和（x-■r2）2+（y-r2）2=r■，再根據都過點P（2，2）得到3r■-（4+4■）r1+8=0和3r■-（4+4■）r2+8=0，所以r1，r2是方程3r2■-（4+4■）r +8=0兩根，由韋達定理知r1+r2=■.

設計說明：以上設計跳出題海，通過對例題題干的改編來實現對知識點的考查，層層深入，環環相扣，能夠以較少的時間來完成知識的復習，同時也能夠引起學生的求知欲望和認知沖突.具體地看，從四基角度的考查有，通過改變例題的一個條件來考查圓與x軸、y軸相切，過原點時參數的條件;通過改變兩個條件來考查與兩條直線相切的參數的條件要求，由此完成了對基本知識、基本技能和基本經驗的考查. 特別地，變題的求解過程達到對學生數學運算素養、邏輯推理素養考查的目的，變題方法的每次選擇就是對數學建模素養的培養.

變題4：求過點A（4，3），B（5，2），被x軸截得的弦長為4的圓D的標準方程.

生：設圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），則（4-a）2+（3-b）2=r2，（5-a）2+（2-b）2=r2，r2=4+b2，……

變題5：求以點A（4，3），B（5，2）為直徑端點的圓D的方程.

生：根據AB中點為圓心，AB長度是直徑求出基本量圓心和半徑.

生：根據直徑圓的方程直接得到（x-4）（x-5）+（y-3）（y-2）=0.

師：變題4、5如果是動態的問題，怎樣研究呢？

生：如果是動態問題，就是相當于引入參數，求出來的是動圓（含有參數）方程.

問題5：在橫線上寫一個適當的靜態條件，編制一個新的題目：已知圓D經過兩點A（4，3），B（5，2），且_____，求圓D的方程.？搖

師：同學們可以相互討論交流，然后發表你的見解.

生：可以加一個條件為：和一個定直線相交、相切、相離的條件，求出來的方程是一個定圓的方程，比如說與直線l：x+y+1=0所截得的弦長為2.

師：很好，相當于加一個和直線相關的靜態的數的條件或靜態的形的條件.

生：也可以加一個條件為：和一個動直線相交、相切、相離的條件，求出來的方程是一個動圓的方程，比如說與直線l：x+y+m=0（m為常數）相切.

師：很好，相當于加一個和直線相關的動態的數的條件或動態的形的條件.

生：可以加一個條件為：和一個圓外離、外切、相交、內切、內含的靜態條件，求出來的方程是一個定圓的方程.

生：可以加一個條件為：和一個圓外離、外切、相交、內切、內含的動態條件，求出來的方程是一個動圓的方程.

師：同學們的想法很好，又想到了和圓的位置關系問題啦！還有嗎？

生：可以加的條件為：涉及圓的任何一個形的條件或任何一個數的條件.

師：數學本身就是研究數和形的學科，本題中我們添加的條件可以是涉及圓的形的條件，也可以是涉及圓的數的條件，同學們的理解非常好.

問題6：已知圓D滿足_____、_____、_____，求圓D的方程.

生：就是把上面的條件選擇三個互相獨立的就可以了.

設計說明：設計開放性的問題讓學生相互討論交流，在這樣的活動過程中.求圓的方程的知識得到了加工、消化、吸收，并在此基礎上進行內化、轉化、升華，最終形成學生的核心素養，同時也關注到了學生創新精神、合作意識和實踐能力.

例題精講

例1：設圓滿足條件：（1）截y軸所得的弦長為2;（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1;（3）圓心到直線l：x-2y=0的距離為■，求這個圓的方程.

例2：（2008江蘇卷18題改編）設平面直角坐標系xOy中，設二次函數f（x）=x2+2x+b（b≠0）的圖像與兩坐標軸有三個交點，求經過這三個交點的圓的一般方程.

幾點反思

本節課是一節高三復習課，從四基和核心素養的角度看，對四基的強化非常有效，提升了學生的能力，培育了學生的核心素養. 課堂的教學中，我們可以做好以下兩點來落實四基和培育核心素養.

1. 四基導向的課堂教學應對策略

四基中的四個部分不是孤立的，而是同存在于同一個數學活動中，彼此之間相互聯系、相互制約，但又有不同，基本知識和基本技能是顯性的，而基本思想和基本活動經驗是隱性的. 基本知識和基本技能是落實基本思想和基本活動經驗的載體，基本思想和基本活動經驗是在更高層次上的抽象.課堂的教學中，關注四基的落實需要做好以下幾點，首先，教學目標的制定應準確把握四基的要求，基本知識和基本技能的教學應關注知識之間的聯系和操作的程序和步驟，基本思想和基本活動經驗的教學應在教學活動中理解、感悟、思考;其次，精心設計教學活動，讓學生經歷知識的形成過程，因為學生理解掌握基本知識和基本技能，感悟數學思想，積累數學活動經驗都不是一蹴而就的，都要經歷數學活動的過程，所以可以設計一些具有開放性、思考性和聯系性的問題.

2. 數學核心素養導向的課堂教學應對策略

數學核心素養落實的主陣地在數學課堂，基本渠道是數學活動的過程，是數學學習、數學應用的過程，是不斷發現問題、分析問題和解決問題的過程.課堂教學中，我們要設計合適的情境讓學生感悟、理解，讓學生在情境的基礎上獲得感受，揭示具體事例的數學本質，學會用數學眼光觀察、發現問題，用數學的思維分析問題，用數學語言描述、表達問題;課堂教學中，我們要在數學抽象過程中學習數學概念、法則、命題和數學建模的基本方法，指導學生經歷上述知識和方法的學習過程，落實數學抽象素養;課堂教學中，我們要在探究的過程中，運用邏輯推理培養學生發現和提出問題的能力，錘煉論證和表述的方法，還要重視命題的猜想過程，兼顧合情推理和演繹推理，全面落實直觀想象和邏輯推理素養.