論數學解題反思的實踐路徑

鄭麗兵

[摘? 要] 解題反思是解題領域中的一項重要內容，不僅關系到理解性學習的開展，而且關系到數學解題能力和解題技巧的及時提煉與總結，同時對學生思維靈活性和多向性的培養也具有非常重要的意義. 在解題后，學生需從題目特征、題目條件、解題過程、解題方法、解題錯誤和解題結論等角度著手，通過不斷反思彌補知識的“不足”和思維的“欠缺”，從而實現教學的高效性. 文章對解題反思的具體路徑進行探究.

[關鍵詞] 解題反思;解題方法;解題錯誤;解題結論

所謂的“解題反思”，就是對解決問題過程的“再認識”，對知識形成過程的“再記憶”，對解題方法和技巧的“再思考”. 它可以幫助學生對解題過程實施深層次的再思考，有利于學生解題規律和解題技巧的及時總結和提煉，有助于學生思維靈活性和多向性的培養，對學生自身解題能力的提升具有非常重要的意義，從而實現了教學的高效化，并達到教學相長的目的.

高中生受認知水平的影響，呈現出對知識的不求甚解，尤其鐘情于大量的習題練習，在解題過程中常常表現出思維策略的缺失，解題時不加思索地隨性選擇方法和策略，更不善于去進行題后反思和方法概括，忽視了提高解題能力的核心環節，從而導致了知識結構的系統性缺失. 因此，教師需針對性地培養學生的反思習慣，引導學生回顧和評價解題方法和過程，并對解題的結論進行驗證，讓學生在不斷反思中彌補知識的“不足”以及思維的“欠缺”，從而實現思維的拓寬和優化. 那么，需要反思什么呢？筆者認為，可以從以下角度著手.

一思題目特征

在解題后，對題目所涉及知識進行反思，可以有效提升學生運用數學知識解決問題的能力;對題目中所涉及能力要求進行反思，可以強化對數學能力的再認識和再提升. 通過透過題目表象而進行的深入思考，可以深化學生對題目特征的本質認識，從而達到培養思維深刻性的目的.

例1：已知異面直線a和b所成角60°，定點P在空間內，那么過點P與a，b所成角都為60°的直線有且僅有（? ）

A. 1條? B. 2條

C. 3條 D. 4條

分析：從“異面直線所成角”的概念出發，本題可以過點P作a和b的平行線a′和b′，那么過點P的直線l和a′，b′所成角也就等價于直線l和a，b所成角.分析不難得出直線l和a′，b′所成角是60°的直線有3條，故本題選C. 從本題的特征著手，可以更替題設中的“60°”，并借助反思來引領學生的思維.

反思1：若將題設中的“過點P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“20°”，其余條件均不變，那么答案應是（? ）？搖

反思2：若將題設中的“過點P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“30°”，其余條件均不變，那么答案應是（? ）

反思3：若將題設中的“過點P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“45°”，其余條件均不變，那么答案應是（? ）

反思4：若將題設中的“過點P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“75°”，其余均條件不變，那么答案應是（? ）

反思5：若將題設中的“過點P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“90°”，其余條件均不變，那么答案應是（? ）

二思題目條件

在完善解題后，可以對題目的條件多方位地進行反思，從而開辟新的思維途徑.數學知識間縱橫交錯，解題思路也是千變萬化的，通過解題后對題目條件的深入反思，去探求一題多解，尋求最優解法;又或是實施變式題組，有效溝通知識，不斷權衡解法的優劣，開辟新的解題思路，把握解題的規律，實現高層次上創造性學習的新路徑.

例2：已知sin（α+β）=1，證明：sin（2α+β）=sinβ.

證明：因為sin（α+β）=1，則有α+β=2kπ+■，α=2kπ+■-β，sin（2α+β）=sin（4kπ+π-β）=sinβ.

反思1：據sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0，則有sin（2α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=sinβ.

反思2：據sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0，sin（2α+β）-sinβ=2cos（α+β）sinα=0，所以sin（2α+β）=sinβ.

例3：已知拋物線y2=2px（p>0），過頂點O作弦OA和OB，與拋物線交于點A，B，使得kOAkOB=-1，求證：直線AB過定點.

本題難度較小，學生解答起來問題不大，在成功解答后，可以進一步反思題設，并得出以下變式題組.

變式1：將原題中的“點O”變換為“過拋物線上任一點P（x0，y0）作兩條相互垂直的弦PA和PB”，那么直線AB過定點嗎？

變式2：將原題中的條件變換為“過拋物線頂點O作弦OA和OB，使得kOAkOB=m，且m為非零常數”，那么直線AB過定點嗎？

變式3：一般化地將原題條件變換為“過拋物線上任一點P（x0，y0）作兩條相互垂直的弦PA和PB，使得kOAkOB=m，且m為非零常數”，那么直線AB過定點嗎？

三思解題過程

反思解題過程，也就是反思解題策略和思路，其內容有解題方法運用的優劣性以及解題過程中思維困頓之處，通過反思不斷質疑、不斷糾錯、不斷改進、不斷完善，從而讓解題過程最優化.

例4：設函數f（x）=a+■，g（x）=■x+1，當x∈[-4，0]時，有f（x）≤g（x）恒成立，試求出實數a的取值范圍.

解：據f（x）≤g（x），可得a+■≤■x+1，將參數a分離，得出a≤-■+■x+1. 令h（x）=-■+■x+1，則有h′（x）=■+■.

令h′（x）=■+■=0，則有x1= -■（舍去）或x2=-■，當x∈-4，-■時，h′（x）<0;當x∈-■，0時，h′（x）>0.所以當x=-■時，h（x）取得最小值-5，a≤-5.

反思：通過反思此題的解題過程，發現a+■≤■x+1還可以轉化為■≤■x+1-a. 設y1=■，y2=■x+1-a，如圖1所示，函數y1的圖像為半圓（x+2）2+y2=4（y≥0），函數y2的圖像為斜率是■且縱截距是1-a的系列直線，經過分析不難得出半圓相切直線所對截距是6.又■≤■x+1-a恒成立，也就是說y2的圖像在y1的上方，所以1-a≥6，所以a≤-5.

四思解題方法

解完一道題目后，還需不斷反思學習的過程，總結和回顧自身的思維策略，并反思自身解題的方法，通過多層次、多角度和多方位的觀察、思考和聯想，找尋出解題的最優方法，并關注解題方法的歸類和演變，最終實現靈活應用.

例5：求函數y=■+■的最大值.

解：設m=■，n=■，則有m+n=y=2×■. 由此可得，m，■，n成等差數列，若設公差d，則有m=■-d，n=■+d. 因為m2+2n2=5，所以■-d■+2■+d■=5，即3y2+4yd+12d2-20=0，則12d2+4yd+（3y2-20）=0.

關于d的二次方程有解，據Δ≥0，可得y2≤■，故ymax=■.

反思：以上解題方法中“m+n=y=2×■，可得m，■，n成等差數列”這一思路的形成難度較大.而將參數m與n引入后，則可以借助消元生成新的解題方法：

解：設m=■，n=■，有y=m+n，消除變量x，可得m2+2n2=5，再代入m=y-n，可得3n2-2yn+y2-5=0，關于n的二次方程有解，據Δ≥0，可得y2≤■，故ymax=■.

五思解題錯誤

學生在解題過程中由于知識層面的“缺陷”，或是能力上的欠缺，又或是受非智力因素的影響，可能會出現這樣或那樣的錯誤. 因此，教師需適時引導學生進行分析、反思、總結和整理，實現錯誤資源的再利用和再開發，以提升解析錯誤的能力，從而為正確解題思路指明方向，培養學生的批判思維能力及創新素質.

例6：已知函數y=log■（x2-mx-m）在區間-∞，-■上為增函數，試求出m的取值范圍.

錯解：設y=log■t，t（x）=x2-mx-m，即為t（x）在區間-∞，-■上為減函數，而t（x）為二次函數，其圖像對稱軸的方程為x■=■，則有■≥-■，且Δ=m2+4m<0，可得m∈[-1，0）.

反思：形成以上錯解的根源在于函數定義域的模糊，而顯然題目中區間-∞，-■為定義域子集，則可以看出上述解答的不完整，還需增加t-■=-■■-m-■-m>0，即m<■，綜上所述，m∈-1，■.

六思解題結論

解題后，應對結論進行再思考，培養自身思維的嚴謹性，并進行力所能及的推廣和引申，實現知識的遷移，培養勇于猜想和驗證的探究能力，激發創造新思維.

例7：已知等差數列{an}中，有a1>0，Sn是前n項的和，且S9=S17，當n的值為多少時，該數列{an}的前n項的和最大？

解：設等差數列{an}的公差是d，據S9=S17，得出a1=-■d，則有an=n-■d.因為a1>0，所以當an≥0;an+1<0時，該數列前n項的和最大，解得n∈■，■. 又n∈N*，所以n=13.

反思：以上解題方法中可以看出13剛好為9，17的算術平均數，據題意d<0，那么Sn則為n的二次函數，點（n，Sn）在開口向下的拋物線上，對稱軸方程為n=13∈N*，所以n=13時，Sn最大.

總之，題后反思是很有必要的. 注重題后反思可以提升數學意識，可以有效培養優良的思維品質，可以促進“雙基”的掌握，可以強化知識的正遷移，從而事半功倍地提升教學效益.