例談回避分類討論的六大策略

張魁

[摘? 要] 分類討論是常見而重要的一種解題策略，它較好地體現了對“能力”的考查，備受命題者的關注，是當下高考熱點問題.當然，分類討論需做到不重復、不遺漏，這就對思維的嚴謹性提出了較高的要求，學生時常會因為考慮不全面而導致解題失誤. 從優化解題過程，提高解題效率的角度來思考，有些問題可簡化或避免分類討論.文章對此進行一些歸納探究.

[關鍵詞] 高中數學;分類討論;回避;策略

正確靈活地運用數學思想，不僅可以達到化難為易的解題效果，還可以有效提升解題的大局思路與總體思考能力. 分類討論是一種行之有效的思想方法，也是一種重要的解題策略，其重要性在近幾年的高考試題中也有明顯體現.通過合理分類可以分化問題，化零為整，一一擊破難點問題，在討論時需做到不重不漏，而這在一定程度上也對學生的數學思維提出了較高的要求. 事實上，分類討論并不是所有問題都可適用，有些題型淺顯觀察似含有分類因素，但當對問題本質深入觀察和細致分析之后，又可避免繁雜的討論過程.因此，我們在關注分類討論思想應用的基礎上，也需克服動輒討論的思維定式，不可盲目而呆板地進行分類討論，而應充分挖掘潛在的特殊因素，靈活機動地運用適當的策略，從而簡化或回避分類討論.

引參換元，規避討論

換元法是將某個式子視為一個整體，引入新的變量，從而將問題轉移到對一個新對象的研究中去，使問題得到簡化. 當我們以一個新字母替換題目中的整體時，則可以規避分類討論的繁雜過程，給人以柳暗花明的感覺，從而使問題迎刃而解.

例1：當a>0時，解關于x的不等式■>a-2x.

分析：本題若先平方，則需進行分類討論從而獲解，過程煩瑣.而通過換元法令■=t，可避免討論，簡化解題過程.

解：令■=t，則t≥0，且有x=a-■. ？搖代入原不等式，據條件a>0，可化簡得2t2-at-a2<0，所以-■

■參數分離，避繁就簡

例2：設函數f（x）=x2-1，對于任意x∈■，+∞，f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，試求出實數m的取值范圍.

分析：此例題若直接進行求解，需經歷多種情況的討論來解決，過程煩瑣不說，難度也較大，學生極易思維卡殼，造成錯誤.事實上，可以分離參數，解題的關鍵是將原問題完美轉化為具體函數的求最值問題，從而提高解題的速度和正確率.

解：據題意，可得■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1），即■-4m2≤-■-■+1在x∈■，+∞上恒成立.

令f（x）=-■-■+1，x∈■，+∞，則當x=■時，f（x）可取到最小值，最小值為-■.

所以■-4m2≤-■，可解得m∈-∞，-■∪■，+∞.

整體思想，免于討論

所謂整體思想，望文生義就是將若干式子組合為一個整體，直接或是變形后可代入另一個式子，從而減少或回避求解單個變量而導致的煩瑣運算，使解題過程簡捷明快，而且富有創造性. 事實上，在解決一些數學問題時，若能從全局著眼深入觀察特征和本質，則可以免于討論，收到事半功倍的效果.

例3：試求出同時滿足以下兩個條件的所有復數z，①z+■∈R，且1

分析：按常規解題思路，先設z=a+bi（a，b∈R），然后再討論求解，會導致題目變得復雜，學生在計算過程中也較易出錯.這時若從整體思想入手，將z+■視為一個整體，然后化歸為一元二次方程求根，則可以有效回避討論，使復雜的題目變得簡單，從而快速、準確地得出結論.

解：設z+■=a，則有z2-az+10=0，又有1

數形結合，避免討論

數形結合是極具數學特色的信息轉化，在解題中，它呈現各種獨特優勢，如思路上的靈活，過程上的便捷，方法上的多樣等，不僅有效避免了討論，還為學生的解題提供多向通道.

例4：若直線y=x+b和曲線y=3-■有公共點，試求出b的取值范圍.

分析：對于本題，若運用一般解法將函數圖像的交點個數轉化為判斷方程解的個數，則需分類討論x的取值范圍，比較冗長，造成解題過程的混亂，此時結合圖形考慮，便可以避免這一點.

解：據y=3-■，可得（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3），那么函數所對圖像則為一個下半圓，該半圓以（2，3）為圓心，2為半徑，且與y軸切點為A（0，3）. 當直線y=x+b經過點A（0，3）時，b=3;當直線與該半圓相切時，■=2，解得b=1-2■或b=1+2■（舍去），再根據圖1進行分析，可得1-2■≤b≤3.

正難則反，另辟蹊徑

在數學解題中，一般思維是正面的、順向的，但有些數學問題從正面著手難以完成，則不妨進行逆向思考，另辟蹊徑，這就是“正難則反”策略. 在解題過程中，有一些數學問題在分類討論過程中相當麻煩，但若用補集的方法從結論的反面進行分析和探究，從而得出反面結論，再與集合性質相結合，則可以突破思維定式，使問題化難為易，讓思維進入高一階的境界.

例5：已知三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點，求a的取值范圍.

分析：本題如果從正面直接求解，則需分類討論的情形有七種之多，繁雜程度可以想象，若運用“正難則反”策略，去掉不合題意的解集，從問題的反面“3條拋物線都不與x軸相交”這一種情況著手解決，相對于命題本身更簡單、更明確，從而使問題簡化.

解：當3條拋物線都不與x軸相交時，有16a2+4（4a-3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2+8a<0.解得-■

再排除掉以上3條拋物線都不與x軸相交的情況，取其補集，可得a≤-■或a≥-1.

反客為主，去除討論

所謂“反客為主”，就是當從處于“主位”的對象入手難以解決時，巧妙地更換對象，將處于“客位”的對象置于“主位”，從而形成解決問題的策略，從而避免了討論的過程，使問題得到簡化解決.

例6：對于任意m∈[-2，2]，函數f（x）=mx2-mx+m-6的值總小于0，試求出x的取值范圍.

分析：本題關于x的二次函數f（x）的值總小于0，即f（x）的最大值小于0，而f（x）的最大值是由x的取值范圍來確定的. 如果單純從二次函數角度去思考，問題難度系數很大，分類情形也難以定奪. 若是能考慮到函數f（x）中的x為自變量，它占據“主位”，而m為待定常數，即置于“客位”，逆轉這兩個對象的角色，反客為主，將f（x）視為g（m）=（x2-x+1）m-6，也就是看作關于m的一次函數，則可以回避討論，解題過程由此得到優化.

解：設g（m）=（x2-x+1）m-6，則函數g（m）<0在m∈[-2，2]時恒成立.

因為g（m）為m的一次函數，所以只需g（-2）<0，g（2）<0.

即-2（x2-x+1）-6<0，2（x2-x+1）-6<0，所以x∈（-1，2）.

總之，當今的數學命題，無論是能力立意，還是知識立意，都彰顯出對數學思想方法應用能力的一種考查. 在上述多個例題中可以看出，一些分類討論問題可以消除或避開引起分類討論的因素，使題目產生易解的變因素，從而簡化解題過程. 由于高考題型千變萬化，上述例題并不一定全面，還需學生在平時的訓練中多多積累，本文旨在拋磚引玉，以期引起大家的思考，在解題中挖掘數學的魅力.