量不在多，典型就行；題不在難，有變則靈

陳浩文 莫弘

[摘? 要] “一題多解”正是幫助學生體會“通性通法”、學會總結提升的重要手段之一. 文章選擇有多種解法并且解法具有代表性的習題進行探討.

[關鍵詞] 高中數學;解題教學;一題多解

新課程的理念要求“突出學生的主體地位”，具體體現在：教學是否有利于激發學生的學習興趣，是否有利于學生積極主動地參與教學，是否有利于學生學習后能靈活地運用知識. 高中數學課程標準要求加強動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式，是一場學習上的改革. 數學教學是教師與學生之間相互交流、共同發展的過程，數學教學應該從學生的實際出發，通過創設有利于學生自主學習的問題情境，引導學生通過思考、探索、交流、實踐來獲得知識.

習題教學，對知識的復習、方法的提煉、數學思想的形成等方面的效果有著重要影響，如何選擇問題及講授問題就顯得尤為重要，選擇有多種解法并且解法具有代表性的習題進行教學，可以達到事半功倍的效果. 下面，以兩個案例為例進行說明.

案例（一）：一道關于圓的問題

1. 例題展示

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=2，若等邊三角形PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則PC的最大值為________.

【解法1】

如圖1：連接AC，BC，設∠CAB=θ，連接PC，與AB交于點D，因為AC=BC，△PAB是等邊三角形，所以D是AB的中點，所以PC⊥AB，所以圓C：（x-1）2+（y-2）2=2中，半徑為■，AD=■cosθ，CD=■sinθ.

所以在等邊三角形PAB中，PD=■AB=■cosθ，所以PC=CD+PD=■sinθ+■cosθ=2■·sinθ+■≤2■.

分析：考慮到問題是求最值，從角度的方面進行考慮，利用一個角將問題中涉及的線段表示出來，最后利用三角函數的有界性解決問題.這是對解三角形問題的復習和提升.

【解法2】

設AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，記f（x）=■x+■，則f′（x）=■-■.

令f′（x）=0，得x=■∈（0，■].當x∈0，■時，f′（x）≥0;當x∈■，■時，f′（x）<0，所以f（x）max=f■=2■.

分析：解法二是利用函數的單調性來解決問題，用一條邊作為未知數將所求邊表示出來，最后通過導數確定函數的單調性求出最值，這是解決最值問題的一般思想，也是函數思想在解決數學問題中的應用，具有一般性思維.

【解法3】

設AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，記y=■x+■.

設x=■sinθ，θ∈0，■，則y=■sinθ+■cosθ=2■sinθ+■≤2■.

分析：解法三與解法二類似，都是利用函數思想將所求邊表示出來，在最后求最值時，根據函數解析式特點，利用三角代換的方法求函數的最值，體現了三角函數有界性的應用.

【解法4】

設AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，

則PC2=（■x+1×■）2≤[（■）2+12]·[x2+（■）2]=4×2=8.當且僅當■=■時取等號，PC≤2■，此時x=■.

分析：解法四同樣利用了函數思想，求最值時使用了柯西不等式，體現了不等式在最值問題中的應用.

【解法5】

設AD=x，x∈（0，■]，則PC=■x+■，記f（x）=■x+■，x∈（0，■].

令u=■x，v=■得：u2=3x2，v2=2-x2，u2+3v2=6，即■+■=1.

令z=u+v，v=-u+z，問題轉化為在條件■+■=1約束下，v=-u+z縱截距何時取最大值的問題.

當直線v=-u+z與橢圓■+■=1相切時，z最大，此時z=2■.

分析：函數思想再一次被使用，區別就是用換元法將問題轉換為線性規劃問題，求出最值. 這種方法難度較大，但是體現了線性規劃是求最值問題的一種重要途徑，對形成解題通法有一定的啟發作用.

【解法6】

連接PC交AB于D，因為AB為圓的弦，△PAB為等邊三角形，所以PC平分∠APB，∠APC=■，在△APC中，由正弦定理得：■=■，PC=■=■=2■sin∠PAC≤2■.

分析：解法六和解法一類似，直接利用解三角形的思想，將邊化為角的形式，利用三角函數有界性求出最值.

2. 總結提升

這是一道中等難度的解三角形問題，一般來說，學生容易想到解法1和解法6，但是如果我們只滿足解決問題，那么就會失去建立解題通法、提升數學思想的機會，所以教學時有必要挖掘解題方法，展示一題多解.

從這個問題的解決過程中，可以看到，求最值問題的核心思想在于函數思想，將所求量用其他變量表示出來，利用函數的性質求解.通過一題多解的教學，學生可以更充分地了解數學思想方法，也可以對求最值問題的具體知識和手段進行較為全面的復習，對各種知識方法進行比較，體會各種知識方法的異同，這對數學知識體系的構建有很大的推動作用.

案例（二）：一道關于雙曲線離心率的問題

1. 例題展示

設直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線■-■=1？搖（a>0？搖，？搖b>0）的兩條漸近線交于點A，B，若點P（m，0）滿足PA=PB，則該雙曲線的離心率是________.

【解法1】

漸近線方程為y=±■x，分別與x-3y+m=0聯立，解得A■，■，B■，■，則AB的中點Q■，■. 如圖2，因PA=PB，所以PQ⊥AB，kAB=■，所以kPQ=-3=■=■，解得2a2=8b2，所以e=■=■.

分析：解法1屬于直接法，利用等腰三角形“三線合一”的性質，可知AB⊥PQ，由斜率關系求出a，b的關系.

【解法2】

雙曲線的漸近線方程為y=±■x，漸近線與直線x-3y+m=0的交點的橫坐標分別為■和■. 設AB的中點為Q，則點Q的橫坐標為■. 又PQ的方程為3x+y-3m=0.

由方程組x-3y+m=0，3x+y-3m=0，可得點Q的橫坐標為■m，則■=■m，解得a2=4b2，所以e=■.

【解法3】

設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點Q（x0，y0），漸近線方程為■-■=0，即b2x2-a2y2=0，聯立x-3y+m=0，b2x2-a2y2=0，得（9b2-a2）y2-6b2my+b2m2=0，則y0=■=■，x0=3y0-m=■，

則AB的中點Q■，■，同解法1.

分析：解法3整體代換，將兩條漸近線看成二次曲線，并利用韋達定理直接求出點Q坐標.

【解法4】

設A（x1，y1）？搖，B（x2，y2），AB的中點Q（x0，y0），漸近線方程為■-■=0，即b2x2-a2y2=0，則b2x■-a2y■=0，b2x■-a2y■=0，兩式相減得kAB·kOQ=■. 又kAB=■，所以■=■. 又PQ的方程為3x+y-3m=0，聯立x-3y+m=0，3x+y-3m=0，得Q■，■，所以■=■=■=■，所以a2=4b2，所以e=■.

分析：解法4利用點差法，求出a，b的齊次關系式，再轉化為所求的離心率.

【解法5】

令a=1，則漸近線方程為y=±bx，分別與x-3y+m=0聯立，解得A■，■，B■，■，則AB的中點Q■，■. 因為kAB=■，所以kPQ=-3=■=■，解得2=8b2，所以c=■，所以e=■.

分析：解法5用特殊值法，令a=1，問題的本質并沒有變化，運算會簡單得多.

【解法6】

設A（x1，y1）？搖，？搖B（x2，y2），AB的中點Q（x0，y0），聯立x-3y+m=0，3x+y-3m=0，得Q■，■，所以■=■=■.

因為漸近線方程為y=±■x，則y1=-■x1，y2=■x2，兩式相減得y1-y2=-■（x1+x2），

兩式相加得x1-x2=-■（y1+y2），所以有kAB=■=■=■. 又■=■=■，即■=■，所以a2=4b2，所以e=■.

分析：解法6設而不求，求出a，b的關系，再轉化為所求的離心率.

2. 總結提升

這是一道典型的求圓錐曲線離心率的問題，主線思想在于“求離心率”就是要“找到a，b，c的等量關系”，而尋求等量關系的具體手段多種多樣，習題教學就是應該突出主線，體現不同手段的差異性，幫助學生提煉數學思想方法，避免“見子打子”的教學和練習，真正達到提高效率的目的.

章建躍老師在《注重通性通法才是好數學教學》一文中提到：在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數學基本性質;“通法”就是概念所蘊含的思想方法. 解題教學中，只有注重基礎知識及其蘊含的數學思想方法，才是追求數學教學的“長期利益”. 這就要求我們努力提高對所教內容的理解水平，增強辨別和判斷能力，對哪些重要哪些次要，哪些是根本哪些是細枝末節要心中有數，并在教學中培養學生聯系基礎、洞察本質的火眼金睛，這樣才能落實數學課程的育人功能，使學生真正從“長期利益”中得到好處.

“一題多解”正是幫助學生體會“通性通法”、學會總結提升的重要手段之一. 關于解題，有一句話是這樣說的：量不在多，典型就行，題不在難，有變則靈.讓學生明確不能只尋求其解，還須以解題作為手段，去掌握知識和學會運用知識. 一題多解也是高考數學解答題的突出特征. 我們在平時的教學中，可以抓住問題中每一個可以作為“最近發展區”的點，引導學生從多方面考慮已知條件的不同數學表達，開拓思想，提高核心素養.