數學表征：走近兒童思維的一條有效路徑

楊志燕

摘 要：數學表征就是讓兒童把自己的思維用圖示、符號與言語等形式表達出來，它是走入兒童思維的一種重要方式。教師要精準篩選學生數學表征的作品，讓兒童的表征成為他們學習的鮮活學材;引領學生深度交流，讓兒童的數學表征延伸出知識的“生長點”;溝通聯系，讓兒童的數學表征提升知識的建構度。

關鍵詞：數學表征;兒童思維;有效路徑

中圖分類號：G623.5????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2020）15-071-2

教師的教與學生的學總有那么一段距離，那是思維的距離。教學時教師要盡可能的貼近兒童，讓兒童的思維看得見摸得著，才能更好引導兒童更真切的經歷學習過程，從而幫助不同層次的兒童思維得到不同程度的發展。

怎樣才能走入兒童思維，了解兒童內心真正的想法？其實最能引起兒童共鳴的往往來自兒童內心最真實的想法，讓兒童把自己的思維用圖示、符號與言語等形式表達出來，即數學表征，是一種走入兒童思維的重要方式。數學表征可分為內在表征和外在表征，即語言、文字、圖形、符號、具體構成或實際情境等反映數學學習對象的外在形式和存在于個體頭腦中而無法直接觀察的心理活動的內在表征。

一、精準篩選，讓數學表征成為兒童學力提升的鮮活學材

【案例1】 蘇教版三年級上冊《認識幾分之一》教學片段

師：如果只有一個圓片你還能平均分成2份嗎？每份多少個？（1/2）

師：你們知道1/2這個分數表示什么含義嗎？請同學們在學習單上用你喜歡的方式寫一寫、畫一畫，表示出你對12的理解。

展示學生作品：

生1：我把一個蘑菇用刀從中間切成兩半，就是1/2。

生2：我是把一個圓分成兩個，一個就是1/2。

……

生3：我是把一個長方形平均分成2份，每一份就是這個長方形的1/2。

師：與上面幾位同學的相比，你覺得他表示的有什么不同？

生4：我覺得他表示的很好，他用虛線表示了平均分，讓人一眼就能看出來平均分成兩份，而且他還把其中的一份畫上了斜線，寫上1/2，比上面幾位同學表示得清晰。

生5：我認為不管是長方形，正方形、圓形、三角形等，只要是把一個東西平均分成2份，其中的一份就是12。

【思考】促進兒童深度思考的數學交流怎樣才會真正發生？有效抽取學生表達的結果是關鍵的一步。這位教師到學生當中，尋找不同的表征方式，并把有代表性的作品依次呈現。學生對1/2已經有了初步的認知，不過個體理解層次還有很大差別，圖1中的學生停留在把實物分成2份，每份是它的1/2;圖2中的學生能抽象出一個圖形，一個東西平均分成兩份，每份是它的1/2，但是他用圖示或文字表征時沒有突出平均分。圖3中的學生對1/2有了更深刻的理解，不僅用虛線表示出平均分成2份，并把其中的一份用斜線表示，可見他對1/2的理解是比較清晰的。圖4中的學生對1/2的認識就更透徹，不論一個圖形，一個物體只要是平均分成兩份，每份就是它的1/2，所以他畫了不同的圖形，表示出了1/2。

案例中的這位教師大膽放手讓學生用自己喜歡的方式表征對二分之一的理解，其中有圖畫形式，有文字形式等等。把兒童的表征作品當做數學交流的學材，通過學生的各種表征了解兒童對1/2的理解的層次是有差別的，再通過師生、同伴間的評價、交流，這樣互動學習的過程就是“兵教兵”的過程，讓兒童深刻理解，建立1/2的初步模型。在此過程中學生的表達方式也許簡單、稚嫩，但學生用自己的水平闡述自己的理解，這樣鮮活的學材更能引發兒童的共鳴，讓學生親歷過程，提升他們的數學學習力。

二、深度交流，讓兒童的數學表征延伸出知識的“生長點”

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾說過：“數學學習的過程就是要通過數學語言，用它特定的符號，詞匯和句法去交流，去認識世界。”可見，交流是數學學習中非常重要的一部分，通過交流和同伴分享數學觀點，能厘清學習過程中的困惑。

【案例2】 蘇教版五年級下冊《分數的意義》教學片段

老師讓學生上臺展示：用自己喜歡的方式表示出34。

師：他們表示的3/4有什么不同？

生：他們畫的圖形不一樣。

生：他們平均分得物體不一樣。

師：對呀！這些物體各不相同，為什么都能用3/4表示？

生：因為它們都是平均分成了4份，表示其中的3份，所以都可用3/4來表示。

這位教師通過讓學生用自己喜歡的方式表示出3/4的操作活動，喚醒了學生對分數的原有認知。再利用兒童自己的表征，充分把學生的想法作為學習的資源，制造認知沖突，為什么這些物體各不相同，卻都可以用四分之三表示呢？引導學生深入交流不管是一個物體、一個計量單位或許多物體組成的一個整體，只要平均分成4份，表示其中的三份就可以用3/4表示。教師抓住了知識的“生長點”“延伸點”，幫助學生抽象出對分數概念的進一步理解。

三、溝通聯系，讓兒童的數學表征提升知識的建構度

學生在每一節當中獲得的知識都是零散的，為了使學生整體上把握知識，便于在頭腦的倉庫中提取和查找，數學知識最終要以結構化的方式存在于學生的頭腦中。有人說課本上的知識點就像一粒粒珍珠，散亂地堆在那里是不好把握的，如果能找到一根線把它串起來，它就成了項鏈。隨便抓住其中的哪一粒珍珠，我們都能很方便地把其它的珍珠帶起來。數學表征就是那根串聯的線，溝聯起知識間的聯系，在捕捉聯系中構建知識結構，形成一張知識網。

【案例3】 蘇教版六下《平面圖形的面積的復習與整理》教學片段

傳統的復習課教師喜歡一問一答方式，幫助學生逐一回顧知識點，最終在黑板上呈現精美的板書，看似清晰了，實則教師清晰，學生糊涂。案例3中的教師選擇了3幅有代表性的學生表征的作品。圖1用表格的方式呈現出平面圖形計算公式及字母公式;圖2整理出了公式，還清晰的整理出推導過程;圖3在前2位同學的基礎上，用一些線、箭頭溝通了圖形之間的內在聯系。3位同學代表了三種不同層次的思維水平。課堂上老師讓學生圍繞自己的數學表征，帶著想法和疑問展開充分的交流互動學習。常言道“溫故而知新”，生3從圖形的面積推導過程整理出了圖形間的內在聯系，可謂是溫故又知新。數學表征讓我們離學生的思維更近，讓不同的學生得到不同程度的發展。會的教不會的，層次高的教層次低的，最終達到“兵教兵”“兵強兵”的境界。其間教師要學會放手，在學生困頓處適時點撥，在優等生步伐太快時適時控一控節奏，讓大家都不掉隊！

（作者單位：南京市江寧區岔路學校，江蘇 南京210000）