復變函數與積分變換的混合式教學設計分析

孫曉云 郭志鵬

摘要：本文針對復變函數與積分變換教學中存在的主要問題，提出了課程的線上線下混合式教學設計方案，并研究了混合式教學效果，提出了改進措施。

關鍵詞：復變函數;積分變換;混合式教學

復變函數與積分變換是工科數學基礎課，主要為電氣工程、自動化、通信工程等相關專業學生開設，為學生學習自動控制原理、電磁場、信號處理等專業課打下數學基礎。雖然復變函數與積分變換與工程結合緊密、實用性較強，但課程理論多難度大、學時緊張導致課堂節奏快，一部分學生學習有困難。傳統課堂模式教師只能在課堂上講一遍，學生有不懂的地方不能重復聽課，有問題也不方便和老師及時溝通，這些教與學的突出問題在互聯網時代有望得到徹底解決。

美國人薩爾曼·可汗從2004年起陸續將自己錄制的課程視頻放在Youtube上供全世界的人免費學習，并于2009年創立了可汗學院。可汗的視頻課程是最早的大規模在線開放課程，即MOOC. 2012年起，MOOC開始在全世界范圍內大規模興起[1]，但隨著MOOC資源的大量增加，多位學者基于各MOOC平臺統計數據研究指出MOOC的完成率在5%-10%之間[1]，因此教師在課堂中的監督作用及學生共同學習的促進作用對于學生的學習效果尤為重要。于是很多高校教師開始利用已有的MOOC資源，對學生建立小規模限制性課堂，即SPOC，結合線上與線下優勢開展混合式教學的探索與實踐。

混合式教學具有線上和線下的雙重優勢。在線上，學生觀看課程視頻并做適當的習題檢驗學習效果，對于不懂的知識點可以反復觀看課程視頻，有針對性地解決個體問題。在線下的課堂上，教師可以主要講解知識點的作用、聯系及重難點，從而有更多時間和學生互動，了解學生的學習情況。

國內眾多學者研究了混合式教學的理論和設想，其中李逢慶[2]研究了混合式教學的理論基礎并構建了ADDIE教學設計模型。徐興波[3]提出了基于混合式教學的復變函數與積分變換課程教學改革的設想，目前針對復變函數與積分變換課程混合式教學法的理論和實踐研究較少。本論文基于作者在復變函數與積分變換課程中開展混合式教學的實踐和經驗進行研究總結，針對線上和線下部分提出了具體的教學設計方案、教學效果研究及改進措施。

一、復變函數與積分變換混合式教學設計

（一） 線上教學設計

1. MOOC選取。我們選取了中國大學MOOC平臺上華中科技大學李紅教授團隊的國家精品課“復變函數與積分變換”。該慕課授課信息量較大，教學水平較高，比較適合學生學習。

2. 教師在線上的輔助教學

（1） 教師在課前將視頻任務發送給學生，學生自主安排時間學習。

（2） 利用超星泛雅平臺建立課程，在課前將本節的學習內容以思維導圖的形式發給學生，幫助學生明確本節涉及到的重難點及每個知識點的作用，使得學生在觀看視頻的過程中更有效率。

（3） 教師通過超星泛雅平臺向學生發放基礎難度的習題，學生觀看視頻結束后可以及時檢驗自己的學習效果。超星泛雅平臺上可以實時統計學生的學習數據統計，教師可以隨時掌握學生的學習進度，及時督促落后的學生完成學習內容。

（二） 線下教學設計

1. 教師的線下教學。學生在課前已經學習了線上視頻課程，但視頻課是基于知識點制作的，形式偏碎片化，缺少知識點在課程中的作用和與其他知識點的聯系，這些需要教師在課上進行補充講解。在線下的課堂教學中，教師先串講下本節課程的概念由來、知識點之間的聯系，再著重講解重點和難點，及時回答學生針對課程內容和課前習題提出的問題。接下來通過超星學習通發給學生適當增加難度的習題，并在課上及時獲得學生的反饋，幫助學生及時發現問題、掌握知識。

2. 學生之間的合作學習。為了增強學生的學習動力和積極性，教師引導學生進行合作學習。我們采用類似醫療系統的分級診療模式，即教師-組長-組員的結構。教師相當于三甲醫院，解決學生普遍存在的難點問題，組長相當于社區醫院，能夠及時解決學生在學習中遇到的小問題。具體實施方法為學生按照6-8人一組組成學習小組，每組指定兩名組長，所有的組長和教師建一個QQ群。兩個組長首先針對課程內容的難點進行討論研究，然后匯總組內同學的問題并答疑，如果不能及時解決會上傳到QQ群中尋求同學和老師的幫助。采用合作學習的模式提升了教師給學生答疑的效率，對于課時和學生較多的教師很有幫助。

3. 作業互評。高校基礎數學課通常每個教學班學生較多，教師在批改作業時不能面面俱到，學生對于自己作業存在的問題往往不能及時掌握。教師在學生合作學習的基礎上引入作業互評解決上述問題。每次作業提交后教師將標準答案發給學生，學生在組長的組織下進行組內作業互評，每份作業簽上評閱人和組長的名字，并上傳到班級QQ群。由于每個小組成員需要批閱組內同學的作業，這種無形的壓力激發了學生的責任感，進而顯著提升了學習的動力和積極性。為了避免個別同學投機取巧，教師采取隨機抽查的方式檢查作業互評的情況，并在授課時及時在班級進行公布。

二、復變函數與積分變換的混合式教學效果

（一）增強學生主動學習的積極性和自信心

由于學生可以自主選擇學習視頻課程的時間，還可以及時在學習小組內討論遇到的問題，學生具有自我掌控感，學習的積極性普遍提高。教師在課前和課上對習題的難度逐漸加大，學生在課前做簡單題目時

可以樹立學習的自信心，課上提高難度的習題可以激發學生的挑戰欲，挑戰成功后又進一步增強了學生的自信心。

（二）提高學生的表達能力、邏輯思維能力和合作能力

通過合作學習，學生之間增加了交流，對于問題的合理表述和探索正確的解答方式幫助學生理清思維，鍛煉了表達能力，提高了邏輯思維能力。組內成員之間的相互幫助增強了學生的分享精神，提高了合作能力。

（三） 培養學生的創新思維能力

學生在提高自主學習能力的同時，合作學習方式可以使學生能觀察到其他同學的思維方式并認識到自己思維的盲區，有利于互相取長補短，產生思維碰撞的火花，教師再進行適當的引導可以培養學生的創新能力。比如學生們根據復變函數的與高等數學中的類比，可以自己得出復變函數的積分概念和性質;由高等數學的冪級數定義和阿貝爾定理確定收斂區間可以得出復變冪級數的定義和收斂域。這樣的思維方式可以更進一步將數學應用到其他學科的學習以及生活中，又是本課程學習目的的延伸。

三 復變函數與積分變換混合式教學的改進措施

（一）高效學習方法的運用

本課程的研究對象是復變函數，較之實變函數比較抽象難懂，學生普遍反映學習起來比較困難。在教學中，教師采用類比和比喻的方法[6]展開教學，比如將高等數學中的極限、連續、導數、積分、級數概念進行類比易于學生理解;將積分變換比喻成小品中的豬變香腸，逆變換比喻成香腸變豬，在引發學生開心一笑的同時也幫助學生很好地理解了相關概念的本質。

（二）進一步優化習題的分級策略

要想幫助學生學得好，首先要讓學生喜歡學，喜歡學的前提是有信心學好，可以通過逐級增加習題難度來達到相應效果。在課前視頻環節設置低難度習題幫助學生樹立信心，在課上通過精心安排逐漸提高難度幫助學生進一步搞清重點和難點。

參考文獻：

[1] PAPPANO L. The year of the MOOC[J]. The New York times， 2012-11-04（26）.

[2]李逢慶.混合式教學的理論基礎與教學設計[J]. 現代教育技術， 2016 （9）： 18-24.

[3] 徐興波 . 淺談基于混合式教學的復變函數與積分變換教學改革 [J]. 教育現代化，2018，5（01）：89-91，104.

[4] 李紅，謝松法.復變函數與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2008：59-65.

[5] 包革軍，邢宇明，蓋云英.復變函數與積分變換[M].北京：科學技術出版社，2013：94-121.

[6] Scott Young. 如何高效學習. 程冕，譯[M]. 北京：機械工業出版社，2013：86-92.

作者簡介：

孫曉云（1981—），女，遼寧沈陽人，講師，碩士，從事博弈論研究;

郭志鵬（1981—），通訊作者，男，山西晉城人，講師，碩士，從事計算數學研究。