將數學文化和數學思想融入高職數學教學中的探討和實踐

王海萍

【摘要】傳統的數學教學模式以理論證明和套用公式計算為主，學生對高等數學的認識僅限于枯燥無趣的微積分運算，對高等數學更為深刻的應用價值和文化價值認識得不夠充分，所以有必要將數學文化和數學思想滲透到高職數學教學之中.學生在學習高等數學知識的同時，領會到數學的思想和精神，無形中提高運用數學知識處理實際問題的能力，面對錯綜復雜的現象能抓住主要矛盾并有效地解決問題，這些數學思想和素養將使學生受益終生.

【關鍵詞】數學文化;數學思想;高職數學

數學作為一門基礎課程，每一名同學都是從小學就開始作為正式的課程學習，一直持續到大學課堂.對于理工科的大學生來講，高等數學是一門重要的公共基礎課程，但也是很多學生比較頭疼的課程.甚至可以毫不夸張地講，對部分學生而言高等數學是揮之不去的“噩夢”.

在數學課程上，突出的問題就是學生的學和教師的教兩者之間的矛盾，一方面學生覺得數學課枯燥無味，聽不懂，學不會，又覺得數學課沒什么用處;另一方面是教師在課堂上無法照顧到所有學生，調動學生學習的積極性和提高學生學習數學的興趣均有難度.

這種現象在很多高等院校中都存在，有的是因為數學課程本身的特點造成的，有的是因為學生在所經歷的數學學習過程中受到的各種影響，也有的是因為教師的教學方式和手段對學生造成的影響.不管是哪種原因，影響學生學習數學的各種負面因素不是獨立存在的，而是相互影響的.既然存在這種狀況，我們就要正確面對，并想辦法去解決.通過對班級學生的調查統計，筆者了解到學生對數學的“望而卻步”在很大程度上與從小學習數學的過程有關系——學生接受了太多的填鴨式教學過程.尤其在高中階段，很多學校為了高考采用 “刷題”模式，成百上千次的課堂訓練、試卷模擬，把學生對數學的好感消磨殆盡.所以針對目前的狀況，我們除了要教授學生數學知識，更要重拾學生學習數學的興趣和信心，因而我們想到有必要把數學文化和數學思想引入課堂教學.

1995年，中華人民共和國教育部制定了《關于加強大學生文化素質教育的若干意見》，組織編寫了大學生文化素質教育書系，數學文化教育是其中的內容之一，如2000年張楚廷編寫出版的《數學文化》.2001年2月，“數學文化”課在南開大學正式開設，受到學生的熱烈歡迎.但是數學文化的精華不僅要以科普的形式出現，更要把數學文化和思想融入和滲透到課堂教學中，讓學生在學習數學知識的過程中去了解課本之外的更為廣闊的天地.

微積分是高等數學的核心內容.恩格斯曾經說過：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了.” 微積分對數學的一個劃時代的不朽的貢獻就是它把運動變化和無限的思想引入數學.微積分使人類第一次能夠明確把握局部與整體、微觀與宏觀、過程與狀態、瞬間與階段的聯系，并最終成為一種基本的數學思想.微積分的建立，不僅是數學發展史的里程碑，而且對其他學科及科學技術的發展都產生了巨大的影響，充分彰顯了數學對人類社會發展和改造世界的偉大貢獻.

微分學的主要內容包括極限理論、導數和微分.教師在講授極限理論時，可向學生講授我國古代數學家用到的極限思想和方法，如兩千多年前古人就知道極限思想，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.我國魏晉時期的數學家劉徽于公元263年撰寫《九章算術注》，里面提到的歷史上有名的“割圓術”也利用了極限思想.所謂“割圓術”，是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓的面積，并以此求取圓周率的方法.“割圓術”在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明，充分體現了古代人民的智慧和偉大.后來南北朝數學家祖沖之在劉徽“割圓術”的基礎上，進一步求得圓周率更為精確的值.

教師在講解導數概念之前，可以給學生講一下微積分產生的歷史背景.16世紀的歐洲，航海、機械制造及軍事上的需要等使得關于運動的研究成了自然科學的重要議題，而現有的數學基礎難以滿足科學發展的需求.到了17世紀，科學的發展提出了許多技術上的新要求，所涉及的加速度和速度每時每刻都在變化.例如，計算瞬時速度就不能像計算平均速度那樣用移動的距離除以運動的時間，因為在一瞬間物體運動的時間和距離都是0，從數學角度看，00是無意義的，而從物理角度看，物體運動的每一時刻必定是與速度有關的.這些問題對數學提出了更高的新的要求，也就促使了微積分的產生.教師將導數的物理意義與幾何意義重點講解，也順勢在這里引入導數的概念.在這樣的歷史背景下再講解數學知識，學生學習的興趣會很濃厚，對內容的印象和理解都非常深刻，自然提高了學習效率，一舉兩得.對教師而言，這樣的模式可以達到事半功倍的效果.

積分學的主要內容是不定積分和定積分.在積分的內容里，有一個非常重要的公式，就是牛頓—萊布尼茨公式：∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a）.不能不說這是微積分發展史上的一個偉大成就，這個公式把看似毫無關聯的不定積分和定積分聯系起來，更是把整個微積分的內容關聯在一起.有了這個公式，人們才發現微分和積分既是對立的，又是統一的.學生對科學家牛頓的了解大多停留在“他是一位偉大的物理學家”，卻不知道牛頓還是一位偉大的數學家.作為微積分的奠基人之一，牛頓在數學多個方面都做出了貢獻.所以，教師布置課后作業時，給學生的任務就是查閱資料，寫一篇關于牛頓的小論文，主要論述牛頓在數學方面的功績，這也可以作為平時考核的一部分.在發明微積分的功績中，萊布尼茨的符號精簡獨到，一直沿用至今.為了加深學生對積分記號的印象，教師可以告訴學生積分記號“∫” 是用拉丁文summa（求和）的第一個字母s拉長了表示積分，這個s不僅有“求和”的意思，同時有“面積”的含義，為后面定積分應用于求面積做下很好的鋪墊.萊布尼茨的身份除了數學家，還是外交官、法學家、歷史學家，更是偉大的哲學家，他在邏輯學、力學、光學、數學、流體靜力學、航海學和計算機方面均有重要貢獻.牛頓和萊布尼茨都是天才和功績頗多的科學家，兩位科學家關于這個偉大公式優先權的爭議也存在了很長一段時間.對于這段歷史，教師可以讓學生做相關的了解.除了這兩位科學家，17世紀許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決問題做了大量的研究工作，如法國的笛卡爾、費爾瑪，英國的瓦里士及牛頓的老師巴羅，德國著名的天文學家開普勒等，他們都提出了許多很有建樹的理論，為后來微積分的發展和完善奠定了良好的基礎.

在微積分的授課過程中，教師可以向學生介紹這些知識是如何傳入我國的.1859年，傳教士偉列亞力和我國近代著名數學家、力學家、天文學家李善蘭合作的譯著《代微積拾級》出版，是東方現代數學的啟蒙.后來，李善蘭又和偉列亞力合作，第一次把萬有引力定律及天體力學知識介紹到中國.這些內容在一些歷史教科書上也曾經提到過，教師可以讓熟悉歷史的學生利用課間或其他時間講給其他同學聽，也可以作為課外科普作業.

需要注意的是：把這些數學歷史故事和數學思想引入課堂教學需要巧妙合理的構思和安排，不能把數學課變成歷史課或科普課.中國科學院院士李大潛教授曾經講過： “無論是弘揚數學文化，還是增進數學教養，都應該是也只能是學生在學習數學的過程中實現的，是必須以認真學習數學知識、嚴格加強數學訓練作為載體來完成的.我們不應該將弘揚數學文化作為數學課堂教學以外的東西，想方設法從外面加進來，相反，應該認識到這是數學課程教學的內在要求和有機組成.”

在學習微積分的過程中，教師要讓學生知道，數學不僅是一門學科、一種工具，也是一種理性的思維、一種先進的思想、一種富有內涵的文化素質.學習過的公式、定理可能會忘記，但過濾掉這些數學知識之后剩下的思想對一個人更加有用.雖然這些思想摸不著、看不見，但是擁有這些數學思想和素養，在遇到各種問題時會讓一個人有條理地理性思維，嚴密地思考，可以清晰準確地表達描述事物，會潛移默化地影響一個人的工作和生活，所謂“潤物細無聲”正是如此.

教師在向學生講授數學知識的過程中，要把數學的應用價值展現出來，這樣學生學習數學的目標會更加明確，學習的興趣會更加濃厚.除了給學生講授數學的歷史文化，教師更要把數學在當今高科技社會中發揮的作用告訴學生.數學本身的發展會給其他學科帶來更多的應用價值.數學的作用也許在幾十年甚至幾百年之后才能體現出來.例如，今天與我們每個人都相關的互聯網，其生命線之一就是依賴傅里葉變換.傅里葉是法國著名的數學家，是拿破侖非常欣賞的一位數學家.如果沒有傅里葉變換，就不可能有今天的手機、互聯網和很多高科技.可以說，如果沒有傅立葉變換，就沒有現代通信的發展.一個偉大的數學公式為今天的科技發展和進步做出了杰出的貢獻，這在幾百年前是無法想象的.

在我們引以為傲的華為公司，至少有700名數學家在做著基礎研究工作.

華為公司早在1999年就在俄羅斯建立了第一個數學研究所，以算法為主要研究方向.華為俄羅斯研究所的數學家打通了不同網絡制式之間的算法，幫助運營商節省了30%以上的成本，并且更加綠色環保，讓華為在這個領域處于絕對領先.2015年起，俄羅斯科學院系統規劃所啟動了與華為的固定合作，為華為提供程序代碼和資料分析服務.基于這些研究成果，華為開發了創新性算法，將華為設備的可用帶寬提高了一倍.2016年，華為在法國設立第二個數學研究所，旨在挖掘法國基礎數學資源，致力于通信物理層、網絡層、分布式并行計算、數據壓縮存儲等基礎算法研究，長期聚焦5G等戰略項目和短期產品，完成分布式算法全局架構設計等.過去的華為公司主要是工程師的創新，側重于產品實現，現在華為加大了基礎科學技術和基礎工程技術的創新投入，數學就成為拉開芯片和軟件差距的關鍵.華為持續在數學上投資，如在俄羅斯研究所招聘了數十名全球頂級的數學家，創造性地用非線性數學多維空間逆函數解決了GSM多載波干擾問題，使華為在全球第一個實現了GSM多載波合并，進而實現了2G、3G、LTE的單基站設計.任正非先生將此歸功于“數學的力量”，可見數學作為基礎學科的價值和魅力真的無比巨大.

數學的發展與數學家的研究和探討密切相關.我國魏晉時期偉大的數學家劉徽在世界數學史上占有重要的地位，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是寶貴的數學遺產.我們的科學技術曾經遠遠落后于西方發達國家，在西方工業文明興起之時，我國還處在落后的封建社會，所以我們學習的微積分是西方科學技術發展的知識結晶.中華人民共和國成立以后，我國涌現出一批杰出的數學家，如華羅庚、蘇步青、陳景潤、王元、吳文俊等.吳文俊先生作為一位有戰略眼光的數學家，一直在思索數學應該怎樣發展，并終于在對中國數學史的研究中得到啟發.吳文俊先生認為中國傳統數學的機械化思想與現代計算機科學是相通的.他提出的用計算機證明幾何定理的方法（國際上稱為“吳方法”），遵循中國傳統數學中幾何代數化的思想，首次實現了高效的幾何定理自動證明，顯現了無比的優越性.吳文俊先生因為在數學領域的杰出貢獻于2001年獲首屆國家最高科學技術獎.由此也可以看出我國對基礎學科的重視和對研究者的尊重.

數學將千萬種自然現象和規律歸結為簡單而漂亮的公式，我們不得不感嘆自然界的和諧美妙，就像古人說的“大道至簡”.很多偉大的公式改變了人類歷史發展的進程，推動著社會不斷進步.今天人類能夠進入太空，利用核能發電等，這些數學公式起到了不可替代的作用.教師講解這些公式時，要結合當時的歷史背景、蘊含的文化底蘊和學術淵源，還要結合其在當代的發展和應用，讓學生感受數學與科學人文、社會發展、人類進步交相輝映的無窮魅力.

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