滲透多思少算理念培育數學核心素養

柳建顯 關劍鋒

【摘 要】本文以一道解析幾何題解法探究為例，論述培養學生數學核心素養的方法，提出讓學生掌握流程步驟以塑造優異品格，讓學生領悟合理選擇參數以走向正確方向，培養幾何分析意識，優化解題過程。

【關鍵詞】解析幾何 數學運算 核心素養

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）02B-0144-04

坐標法是解析幾何的基本方法，此方法的核心思想是利用解析幾何圖形中的彼此關系，將其轉化為點的坐標、直線或曲線方程中的有關系數等變量來處理。由于高考命題越發關注解題方向的選擇及計算方法的合理性。因此，除了坐標法，多思少算理念在簡化計算的過程中成為一種趨勢。在教學中，教師如何引導學生選擇合理的解題方向、怎樣運用恰當的方法以簡化運算、如何貫徹多思少算的理念，是不可忽視的問題。下面以一道解析幾何題解法探究為例，與讀者交流。

一、試題再現

在平面直角坐標 xoy 中，點 B 與點 A（-1，1）關于原點 O 對稱，P 是動點，且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 。

（Ⅰ）求動點 P 的軌跡方程;

（Ⅱ）設直線 AP 和 BP 分別與直線 x=3 交于點 M，N，問是否存在點 P 使得 △PAB 與 △PMN 的面積相等？若存在，求出點 P 的坐標;若不存在，說明理由。

二、解法探究

分析易得動點 P 的軌跡方程為 x2+3y2=4（x≠±1），過程在此省略。下面我們重點關注第二問不同思考方向引出的不同的解答過程。

[評注]因為是求點，所以直接從點入手，這是學生容易想到的。通過對面積相等這一設定，假設 P 坐標 P（x0，y0），利用條件對圖形中的幾何特征進行分析，構造面積相等的方程，從而求解。難點在于構建 M，N 兩點的縱坐標和求解過程，以及 ?MN 長度的化簡。此法設且求 M，N 坐標，設而不求 MN 長度。其中用到的方程思想、參數設點法都是解析幾何的常規方法，整個過程適合培養學生數學運算和邏輯推理等素養。

[評注]從線入手，引進斜率 k，則參數唯一且目標明確。通過轉化讓相關點都與斜率有關，運用韋達定理求點 P 的坐標。設且求相關點 M，N 坐標，整體代換，運用方程思想等讓問題得以解決。從解題過程不難發現，選擇斜率作為參數時難點也非常突出，在有限的時間里，這對學生的運算能力提出了很高的要求，并且在化簡時也極易出錯。參數設線法，這種常規設法在此解法里也得到了很好的體現。

[評注]也從點入手，利用三角面積公式求解。初看 ，，， 都不易求，但把乘積轉換為比例后，利用三角形相似，化定積為定比。此解法妙不可言，突出了用幾何法解決幾何問題能簡化運算、優化解題思路的特點。利用相似比化定積為定比充分體現多思少算的理念，利用相似三角形來處理解析幾何中涉及線段長度類問題，是培養學生核心素養的好方法。

〖解法 4〗延長直線 AB，交直線 x=3 于點 S（xS，yS），設點 P 的坐標為（x0，y0）。若存在點 P，使得 ，則 P 必在直線 AB 的右上方。

[評注]仍從點入手，利用補形思想，結合圖形的對稱性，利用面積關系挖掘題目中隱藏的幾何條件—— 中點的信息，通過中點構建幾何圖形的中位線并利用其性質解決相關問題。解法 4 通過平面幾何知識將復雜的圓錐曲線問題進行簡單、有條理地推理，計算量很小，體現數學化繁為簡的真諦。平面幾何知識的分析處理手段，很好地體現多思少算的理念，是培養學生數學運算和多思少算理念的很好素材。

三、教學反思

解析幾何作為培養運算能力的沃土，是培養數學運算核心素養的最佳載體，在高考中起著重要的選拔功能作用。基于本題的解法探究，對解析幾何的運算教學，筆者有以下幾點思考。

（一）讓學生掌握流程步驟，塑造優異品格

坐標法是解析幾何的基本思想，數形結合、設而不求、設而要求、整體代入、整體運算、韋達定理、面積公式、長度公式、點到線的距離公式都是我們常見的基本方法和基本公式，設點、設線是解析幾何中兩種重要的設參方法。這些常見方法、思想在解法 1 和解法 2 得到了很好的體現。教學中我們應該腳踏實地地貫徹典例中處理解析幾何問題的基本流程：

要解決什么問題（求點 P 的坐標）—— 問題對象的幾何特征（面積相等）—— 用代數語言描述幾何要素及其關系（相關點、線）—— 運算解決問題（長度、距離等）—— 分析運算結果的幾何含義（坐標、長度、面積等）—— 解決幾何問題（坐標）。

而這個過程性教學恰恰是我們常規教學的核心。我們要反復強化這一流程，讓學生熟能生巧，掌握基本模式，讓他們知道基本思想、明白基本方法、基本流程。解法 1 和解法 2 都應讓學生理解掌握。

教育的根本任務是育人。數學為磨煉學生的意志和提高耐挫力提供了絕好的平臺，意志品質水平的高低與數學成績的優劣有著極為密切的內在聯系?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行”，解法 1 和解法 2 運算量相對較大，這樣運算較大的常規思路方法，在平時教學中不能省略，而應勇敢地帶領學生突破運算瓶頸。解法 1 求 M 和 N 坐標，求 MN 長度;解法 2 讓學生努力化簡得到方程 ，當他們用坐標思想最終解出點 P 的坐標時，這一艱難且驚心動魄的過程對他們內心的震撼是可想而知的。要讓學生在解法 1 和解法 2 中體驗挫折和失敗的過程中，形成百折不撓的良好心理素質。這對磨煉學生的毅力，塑造堅忍不拔的品格，提升學生的自信，無疑有著不可估量的作用。這既是高考的要求又是今后人生發展的需要。也只有這樣才能真正實現和完成數學學科核心素養的目標和立德樹人的根本任務。

（二）讓學生領悟合理選擇參數，走向正確方向

設點、設線是解析幾何中兩種重要的設參方法。正常情況下，設線時不超兩個未知數。當所設直線能夠方便地表達出“問題所需量”時，“設線”具有變量少、運算思路簡潔的特點。而設點相對而言變量較多，變量間的關系較復雜，但思維量的提升能使運算量降低。特別是當直線無法方便地將“問題所需量”與之聯系起來時，設點往往是較優方案。案例中設點、設線都可以用，我們可以梳理一下思路，如下表所示：

信息 推理 聯想

P是動點，直線 AP 和 AB 分別與直線 x=3 交于點 M，N P 是在曲線上的主動點，M，N 是線線相交的從動點 設 P 點坐標

點B與點A（-1，1）關于原點對稱，直線AP與BP的斜率之積等于，與直線x=3交于點 M，N 直線 AP 斜率 k 確定，則直線BP 斜率確定，其他相關量也可用 k 表示 設直線 AP斜率 k

合理設參是培養學生目標意識的重要方法，解法 1 和解法 2 生動地體現這兩種設參的運算能力要求，是設參方法的好案例。在平時的教學中要經常引導學生使用這種常見的設參方法，但是用設點法或設線法求解時，注意“主”與“輔”的關系，要始終圍繞目標和解題計劃展開求解，抓住問題的主要矛盾，抓住矛盾的主要方面。

我們應該意識到解析幾何問題中參數的選擇是策略性知識。策略性知識是指學習者在學習情境中對任務的認識、對學習方法的選擇和對學習過程的調控，它是由學習方法、學習調控和元認知等要素構成的監控系統。這種知識僅靠學是無法獲取的，它需要在分析中比較，在評價中優化，在創造中創新。在平時的教學中，我們可多進行一些探究式教學，激發學生學習數學的興趣，引導學生進行參數選擇分析。比如，點線相關分析、路徑預判分析。多一些理性的思考，少一些運算。這樣既可以訓練思維的發散性，又可以訓練思維的收斂性，從而發展學生的數學核心素養。

（三）培養幾何分析意識，優化解題過程

解析幾何是一門用代數的方法研究幾何問題的科學，但我們不應忽視解析幾何問題的本質仍是幾何問題，離不開對幾何要素分析。解法 3 將乘積轉換為比例后，利用三角形相似，化定積為定比。解法 4 利用補形思想，結合圖形的對稱性，挖掘題目中隱藏的幾何條件—— 中點的信息，構建幾何圖形的中位線，并利用其性質解決問題。這兩種方法運算量少，妙不可言。借助平面幾何的性質降低了坐標法的運算量，也許并不是所有問題都有這么巧，都可以用，但平時的教學中這種意識培養并不可少。這種幾何意識的分析是培養“多思少算”，優化解題的好策略。當然，解法 1 和解法 2 中的整體代換、設而不求的運算思想具有很好的作用，也應當學會。

幾何分析在解題中起到重要作用，它有利于滲透數形結合的思想，使問題獲得巧解、妙解，有時常會取得事半功倍的效果。因此在教學過程中穿插平面幾何的知識必不可少，比如，（1）與平行線相關的幾何性質：①三角形中位線性質;②梯形中位線性質;③平行線分線段成比例定理;④直線的對稱性。（2）與三角形相關的幾何性：①等腰三角形性質;②直角三角形性質;③角平分線性質定理;④相似三角形相關性質。（3）與圓相關的幾何性質：①直徑的性質;②垂徑定理的應用;③切線長定理、切割線定理、相交弦定理。我們要有這種意識，“幾何證明選講”的內容不是不考了，而是考得更加隱蔽了，更加靈活了，更加有深度了。在解析幾何中，合理利用幾何法解題，不僅思路簡捷、運算量小、證題明快，而且富有規律，這對開拓視野、啟迪思維、提高解題能力大有裨益。

要培育學生數學核心素養，突破運算瓶頸不是一朝一夕就能完成的。我們要長期引導學生對算理進行深入研究，幫助和指導學生運用已有的知識感悟其中的算理，讓學生不斷經歷分析、探究、解決問題的過程，并在這一過程中完善認知結構、拓展思維。只有這樣才能快速找到運算的方法進行正確迅速地運算，從而真正達到“想得多算得快、算得少”的境界。

【參考文獻】

[1]黃成世，趙思林.多想少算視角下2017年全國卷數學試題分析[J].中學數學，2017（19）

[2]葉 欣.基于數學核心素養的解析幾何復習課[J].數學教學通訊，2019（15）

【基金項目】廣西教育科學“十三五”資助項目（2019B177）;桂林教育科學“十三五”資助項目（2018A-04）。

【作者簡介】柳建顯（1981— ），男，漢族，浙江文成人，碩士，桂林市桂林中學教師，一級教師，研究方向：高中教學。

（責編 盧建龍）