轉化思想下分塊三角形矩陣的教學案例設計

何俊 時文俊

【摘要】在不占用更多課時的前提下，將以主對角線為參照的2×2塊分塊下三角形矩陣作為基本的研究對象，基于轉化思想對分塊三角形矩陣逆矩陣的求法進行了教學設計，為線性代數課堂教學提供了有益的借鑒.

【關鍵詞】轉化思想;分塊三角形矩陣;教學設計

【基金項目】河南省高等學校青年骨干教師項目（2017GGJS193），混合式課程項目《線性代數》（SDHHSKC-2018-A08）

真正的數學教育，是學生離開了學校多年以后還能記得的東西.那一定不是某個定理公式或解題技巧，而是數學內涵之美給予學生的啟迪.法國數學家龐加萊指出：“數學美的內涵可概括為：協調性、統一性、簡單性、對稱性和奇異性.”數學的美，雖不像動態的音樂那么悅耳，但在“轉化思想”下也能奏出美妙靈動的音符.“轉化思想”是數學解決問題的基本思想，即將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題.在微積分、線性代數、概率論與數理統計等大學數學理論中無不滲透著轉化思想.常見的轉化方式有：復雜到簡單的轉化，一般到特殊的轉化，特殊到一般的轉化，未知到已知的轉化，陌生到熟悉的轉化等. 教學中，教師不要直接把理論結果呈現給學生，要引導學生進行“火熱的思考”，體驗“轉化思想”的靈動之美，將數學解決問題的基本思想慢慢滲透給學生，將 “一堆”的數學符號、數學公式及“繁瑣”的推理證明，還原為一段段喜怒哀樂的心境，升華為一種數學素養.本文基于“轉化思想”對分塊三角形矩陣的逆矩陣的求法進行了教學案例設計，以期拋磚引玉.

1?主對角線分塊三角形矩陣

在吳贛昌主編的《線性代數》教材§2.4分塊矩陣中，簡明地給出了分塊三角形矩陣的概念，直接給出了s×s塊分塊對角陣的性質，學生覺得非常突兀，常常會被那一堆的數學符號、數學公式搞得暈頭轉向.分塊矩陣用得好可以使計算簡化，但分塊矩陣的問題比較復雜，關鍵是應該怎么分塊，大多數學生是搞不清楚的. 很多學生因為矩陣分塊把本來能夠做對的題目也做錯了，有點事與愿違.事實上，手算的矩陣題目，矩陣的規模都不會很大，沒有必要分塊;實際應用時，矩陣運算都是由計算機完成的，也沒有必要分塊.所以，對分塊矩陣的逆矩陣的學習，教師在授課時，要本著“重思想輕計算，重方法輕識記”的宗旨，在不占用更多課時的前提下，合理地設計教學案例，抓住最基本的研究對象主對角線2×2塊分塊下三角形矩陣展開討論，再將基本的對象特殊化到2×2塊分塊對角陣，然后再推廣到s×s塊分塊對角陣.

1.1?主對角線分塊下三角形矩陣

案例1??對于主對角線分塊下三角形矩陣H=AOCB，其中A為t階矩陣，B為k階矩陣.

轉化分析?問題（1）【一分為二】教師要分析求|H|的突破口，考慮到H為抽象矩陣，用定義、化三角方法計算其行列式顯然不合適，但有一個子塊為O矩陣，可考慮用降階定理.但是，即使選擇零最多的列進行展開，由于B的存在，仍然具有困難.如果將B特殊化為單位矩陣便可以采用降階定理.據此，根據分塊矩陣的乘法將H一分為二，轉化成

問題（1）解決的關鍵是將復雜的行列式轉化到簡單的行列式的計算上來.

問題（2）【追根溯源】在§2.3中學習的伴隨矩陣法求逆具有非常大的局限性，從運算量的角度來看，只適合二、三階矩陣求逆.對于高階矩陣H并不適用，我們可以追溯逆矩陣的定義，只要能得到一個矩陣與H相乘為單位矩陣即可.據此，采用正向思維設H-1=X11X12X21X22，由HH-1=E，建立矩陣方程組

問題（2）解決的關鍵是將直接求H-1的問題轉化到間接去求一個與H相乘為單位矩陣的矩陣上來.

1.2?主對角線為參照的分塊上三角形矩陣

案例2?對于2×2塊分塊上三角形矩陣ACOB，其中A為t階矩陣，B為k階矩陣.

（1）求ACOB;

（2）當A，B都可逆時，求ACOB-1.

轉化分析?對于案例2完全可以照搬案例1的方法，但是考慮到上三角形和下三角形從形式上就是轉置的關系，可以利用分塊矩陣的轉置運算、行列式的性質以及矩陣逆運算的性質將2×2塊分塊上三角形矩陣轉化為2×2塊分塊下三角形矩陣，借用案例1已經得出的結論進行計算.具體做法如下：

案例2解決問題的關鍵是抓住未知問題與已知問題的關系，將未知問題轉化為已知問題，套用已知問題的現有結論展開研究，有事半功倍之效.

2?副對角線分塊三角形矩陣

案例3?對于副對角線2×2塊分塊下三角形矩陣OABC，其中A為t階矩陣，B為k階矩陣.

（1）求OABC;

（2）當A，B都可逆時，求OABC-1.

轉化分析?對于案例3同樣可以照搬案例1的方法，但事實上副對角線分塊下三角形矩陣OABC只需要作若干次列交換就會轉化成主對角線分塊下三角形矩陣AOCB.

問題（1）【心中有數】利用行列式交換兩行（列）變號的性質，關鍵是計算出列交換的次數即可. 將A的第1列所在的列逐一和B所在的列進行鄰換，需要k次交換，A有t列，故OABC→AOCB，需要做tk次交換，故

問題（2）【意猶未盡】事實上，根據§2.5矩陣的初等變換中的定理2及定理3，由OABC做tk次關于列的初等互換變換得AOCB，所以必存在可逆矩陣P，且P為tk個初等互換矩陣的乘積，即

（3）利用分塊矩陣的轉置運算、行列式的性質以及矩陣逆運算的性質將2×2塊分塊下三角形矩陣轉化為2×2塊分塊上三角形矩陣，進而得到以下結論，即

這種基于轉化思想的講授方法，能夠迅速且巧妙地縮短新舊問題之間的距離，激發學生學習新知識的強烈愿望，提高課堂的教學效率，達到理想的教學效果.不僅可以保證教師輕松愉悅地完成本次課的教學任務，而且可以加深學生對前段學習的基本概念、基本方法、基本性質的理解.其中，利用行列式定理將研究對象“一分為二”是間接計算行列式的重要方法;利用§2.3定理1的推論1“追本溯源”是求逆矩陣的基本思路;將分塊三角形矩陣特殊化，可以得到分塊對角陣的相應結論，達到“一舉兩得”之效;將2×2 塊分塊對角陣的結論“乘勝追擊”便可以推廣到s×s塊分塊對角陣，達到“開枝散葉”之效;抓住新舊問題的關聯，巧用轉置，將2×2塊分塊下三角形矩陣轉化為2×2塊分塊上三角形矩陣，新問題“迎刃而解”，學生在教師的引導下感知“柳暗花明”的“轉化”之美;激發學生“轉化思想”的意識，引導學生探索如何將“副對角線分塊三角形矩陣”轉化為“主對角線分塊三角形矩陣”，讓學生親身感受“轉化思想”的靈動之美.

教學實踐表明，對于案例3的問題（1）， 學生可以抓住問題的關鍵，就是利用行列式交換兩行變號的性質完成轉化，計算出交換的次數，做到“心中有數”即可.對于案例3的問題（2），學生探索的熱情高漲，利用轉化解決問題的想法意猶未盡，絕大部分同學都開始了積極的思考，教師可以順水推舟地提醒學生§2.5矩陣的初等變換可以助他們“一臂之力”.基于“轉化思想”的教學設計，不僅要起到“承上啟下”的作用，而且在課堂教學中教師要做到“三要一不要”.一要通過巧妙啟發引導學生進行“轉化”， 激發學生的“轉化”意識.二要通過生動的表達讓學生感知“轉化”，增強學生的轉化思維.三要通過嚴謹的推理讓學生體驗“轉化”，提高學生的轉化能力.切記不要將簡單的問題復雜化.

【參考文獻】

[1]吳贛昌. 線性代數[M]. 北京：中國人民大學出版社，2017.