數學思想在高中解析幾何中的運用

付澤

摘? 要：解析幾何是一門以代數的形式進行圖形研究的學科，將變量引入了幾何的領域，在整個高中數學具有重要地位。解析幾何中常用到的數學思想有：數形結合思想、轉化化歸思想、分類討論思想和函數與方程思想。該文就這4種思想在解析幾何中的應用做簡要的說明，以期在今后的學生學習和教師教學中達到“化抽象為直觀，化復雜為簡單的”效果。

關鍵詞：數學思想? 高中數學? 解析幾何? 應用

中圖分類號：G63? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2020）10（c）-0254-03

Abstract： Analytical geometry is a subject that conducts graphic research in the form of algebra. It introduces variables into the field of geometry. It has an important position in mathematics throughout high school. The mathematical ideas commonly used in analytic geometry are： the combination of numbers and shapes， transformation Reduction thoughts， classification discussion thoughts and function and equation thoughts. This article gives a brief description of the application of these four thoughts in analytic geometry， with a view to achieving the goal of “turning abstraction into intuition and turning complexity into Simple" effect.

Key Words： Mathematical thinking; High school mathematics; Analytical geometry; Application

解析幾何是高中數學一個重要的內容，同時也是學生學習的一個難點。數學思想是數學學科的一般原理的重要組成部分，因此在教學中引入適當的數學思想有助于幫助學生進行問題的分析和研究。在高中解析幾何中主要運用數形結合思想、轉化化歸思想、分類討論思想及函數與方程思想。

1? 數學思想在高中解析幾何中的運用

1.1 數形結合思想

我國著名的數學家華羅庚說：“形缺數時難入微，數缺形時少直度觀”。數形結合思想是中學數學常用的一種重要思想，實質上是指通過數與形之間的轉化，將抽象的數量關系轉化為具體的圖形，根據圖形所呈現出來的結構發現數量之間的較為直觀的關系。數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”;第二種情形是“以形助數”。即將抽象的數學語言與直觀的圖形進行有機結合。

1.2 轉化化歸思想

轉化化歸是指通過某種轉化，將未知解的問題轉化為已有知識范圍內容易解決的問題，通常在數量之間、圖形之間、數量與圖形之間進行轉化。常見的轉化化歸的方法包括：直接轉化法、換元法、數形結合法、等價轉化法以及特殊化方法。在高中解析幾何問題中求取值范圍時用到此思想較多。下面以一道例題為例。

1.3 分類討論思想

分類討論是指在研究數學問題的過程中，根據題目的要求或者實際情況對問題進行劃分，最后對所有可能的情況做概括說明。在進行分類討論時，要保證分類科學，標準統一，不重不漏，分類方式力求最簡。

1.4 函數與方程思想

函數與方程是高中數學中的兩個重要的概念，二者之間有著密切的聯系，方程問題也可以轉換為函數問題來求解，反之亦然。函數思想是通過函數的特征建立函數的模型，利用函數的性質進行解題;方程思想對方程概念本質的認識，是通過構建方程或方程組來分析數學問題中變量間的等量關系，或者利用方程的性質去分析、轉換、解決問題。

在解析幾何中，函數與方程思想的應用非常廣泛，例如：兩條直線的位置關系、圓與圓的位置關系、直線與圓的位置關系等都是通過建立方程進行求解。在圓錐曲線的問題中，常常是將直線與圓錐曲線方程進行聯立，利用韋達定理計算弦長、交點坐標等問題。在利用函數與方程思想解決解析幾何問題時，要注意挖掘隱含的等量關系，利用代數的形式加以表示，再利用對方程求解或利用函數的性質達到解決問題的目的。

2? 結語

高中數學知識相對來說難度較大且知識量較多。在學習的過程中，學生容易陷入死記硬背、知識點模糊不清的困境中，因此在高中數學教學中融入數學思想，可以幫助學生構建完整的知識體系，對所學習的知識有更加深入和透徹的理解，在很大程度上能夠提高學生綜合運用的能力，同時提升自我的數學素養。

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