著眼于初高中銜接的初中數學教學探討

【摘要】本文基于初中教學的視角，針對初高中數學銜接教學存在的問題，提出三點教學建議，認為初中數學教師要面對差異，著眼于知識銜接、自主學習、運算能力等薄弱環節，合理把握銜接教學的契機，以有效提升數學核心素養，為學生銜接好數學學習打下基礎。

【關鍵詞】初中教學 初高中數學銜接 核心素養

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）37-0130-03

初高中數學課程標準、課程內容、教學方式等相比，初中數學教學內容表現為“淺、少、易”的特點，通過講慢、講細和一定量知識反復訓練，可容易使學生在考試中獲得高分。因此并沒有深入地探討解題思路“怎樣想”、思維引導“應當怎樣想”，認為“會用就可以了”，學生的數學思維水平多停留在經驗層面。高中數學教學內容表現為“深、廣、難”的特點，且內容多，但課時卻沒有增加，因此教學節奏快、多講方法，需要學生學會融會貫通，通過典型例題以習得一類題型的解法。與初中相比，對數學思維的要求可以說是一個突變，對數學能力的要求不亞于“爬陡坡”。怎樣幫助學生更好地從初中過渡到高中呢？筆者結合自己初高中六年循環教學的實踐經驗，從初中教學視角談談自己的三點思考。

一、重視初高中數學銜接教學工作

（一）明晰初高中數學教材銜接情況

筆者對比發現，當前學生使用的初高中數學教材之間并沒有進行完美的銜接。單從數學課程內容知識這一個方面來看，初高中數學教材的知識有很多明顯脫節的現象，內容的跨度加大，學生感到困難。如絕對值的概念，在初中七年級上冊學習，新課標指出借助數軸理解絕對值的意義，會求有理數的絕對值（絕對值符號內不含字母）。初中不講含絕對值的方程（不等式）的解法，高中也沒有專門的內容學習，但在教學中卻直接使用這個內容。從教材編寫來看，由于初高中數學教材的編寫沒有統籌好，或教材內容編寫者與教學一線的教師認識不同，因此導致教學內容脫節。如初高中數學教師關注度最高、應用廣泛的因式分解方法之一“十字相乘法”，2011年義教數學課標修訂沒有將它納入，在高中數學也沒有出現，但在學習中卻直接當作必備技能使用。從認識角度變化來看，由于初高中數學有些知識聯系隱蔽而深藏不露出現脫節。如初中八年級下冊學習角的平分線的性質時，可以得到“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”，角的平分線可以看作到角的兩邊距離相等的所有點的集合。學習線段垂直平分線時，可以把線段垂直平分線看成與這條線段的兩個端點距離相等的所有點的集合。實際上，這是為集合的定義提供幾何模型。高一數學必修一第一章講集合時，也許學生可能只顧抱怨其抽象，但往往想不起來具體聯系在哪，忘了早兩年已相遇。從認知水平來看，初中教材本身有不少內容是要為高中數學學習埋下好的伏筆的，但卻因把握不準而出現脫節。如人教版初中數學八年級下冊19.2.3中的一次函數與方程、不等式，簡稱三個“一次”，三者之間的內在聯系、相互轉化的動態探究可為后續的高中學習一元二次方程、函數和不等式，簡稱三個“二次”奠定基礎。如果初中數學教師能知道它們存在脫節的現象，那么就可以靈活地對教學內容進行優化組合，教會學生掌握方法，做好預設鋪墊，也就有利于初高中數學教學內容自然過渡。

（二）精準處理銜接內容

初中數學教師要想從整體上把握初高中數學教材，那么就要立足于學生的現有認知，找準初高中數學教材的銜接點，并梳理好，從而對整個初高中數學教材內容有一個清晰的把握。我們深入研究就會發現，高中數學與初中數學大不相同，如高中的數學語言抽象化，學習起點高，即抽象化的數學語言對數學思維能力要求更高。教師要想解決初高中數學知識銜接問題，那么在教學中要適當拓寬初中數學內容的知識體系，適度拓展初中數學課程目標所要求的廣度和深度。比如，在七年級下冊實數的分類的教學中，教師除了要引導學生學會判斷一個數是什么類型的實數，還要考慮到高中給出的這個概念更抽象，往往不用具體的數呈現，而是運用抽象的數學符號進行表達。這時，我們可以設計例題，對用字母表示數進行分類討論，對實數的分類、大小比較及基本性質進行深化學習和鞏固。比如：“在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根及立方根中，哪些是有理數？哪些是無理數？”又比如：“若a是實數，下列說法對嗎？若不對，請給出成立的條件。（1）-a<0;（2）3a>2a;（3）2a是偶數;（4）a+2>a;（5）-|a|<0?！睂崝档闹R貫穿于中學數學學習的始終，學生對實數的學習是逐步加深的，因此也要注意合理把握難度，以有利于學生銜接過渡。

在數學教學中。教師要注重初高中銜接知識點間的聯系和拓展，特別是教材內容斷層的銜接處理要精準。這些內容學生往往似有過接觸，處于似曾相識的認知狀態，而高中數學的內容設置又默認初中學生已學習過這些內容。比如，高中數學的函數、數列、不等式，甚至導數、圓錐曲線，它們對代數式的變形要求比較高，必須要有強的因式分解能力，會用多種因式分解方法。可是初中課標僅要求會用提公因式法和公式法（直接用公式，不超過二次）與高中要求明顯脫節，例如，高一必修一“證明函數f（x）=x3在定義域上是增函數”，就會出現學生無法順利進行分解因式，因而解題受阻。若在初中的乘法公式教學中，學生學習平方差公式、完全平方公式后，教師能適當延伸擴展到立方差（和）公式，問題就迎刃而解了。因此，初中數學教師要精準處理銜接內容，為學生升入高中繼續學習打好基礎。

二、幫助學生養成自主學習習慣

（一）了解初高中數學學習差異

第一，初中高的數學學習方式有差異。比如課前預習，有些同學認為數學課不用預習，假如先預習看過知識點后上課就不想再專心聽老師講解了。在初中數學學習中，由于每個課時內容少，教學節奏慢，不預習也可以跟上教學。但在高中數學學習中，由于每個課時內容多，教學節奏快，預習或適當的超前學習很重要，它能使學生提前發現問題，帶著問題去聽課，提高聽課的目的性，加深理解，提高數學學習效能。

第二，數學理解消化能力有差異。根據義務教育初中學段數學課程標準的要求，對數學定義、公式、性質等核心知識，學生只要掌握會用即可，課本教材中的數學知識難度不大，并且有機融入生活化背景，教學方式生動多樣化，加之課時數比較充裕，在教法上很多初中數學教師喜歡講練結合，大容量的習題訓練可取得熟能生巧的解題效果，偏向題海戰術。而高中數學教學容量大，抽象性強，模塊內容編排規范嚴謹，加之課時數相對初中偏少，在教法上傾向于數學思想方法的培養。知識的發生過程對學生課后自主探究、鞏固消化的能力來說是一種考驗，如果學生仍然依據原有的數學學習方式就很難適應。

第三，數學遷移創新能力有差異。在初中數學學習過程中有很大一部分學生每當遇到問題時，往往缺乏思考意識，畏難情緒無時不在，更多的是等待老師的講解分析，體現出對教師過度依賴，“獨學、對學、群學”的數學問題解決能力往往比較弱，更談不上自主、合作、探究學習素養的提升了，而這些能力和素養正好對高中數學過渡學習起到決定性作用。

第四，數學歸納總結能力有差異。高中數學學習注重對知識的理解記憶，學生能獨立思考，學會運用“文字語言、圖形語言、符號語言”進行數學表達，能夠根據不同的題型觸類旁通，提煉方法，“機械式”的死記硬背無法面對數學知識和數學思想方法的學習挑戰，可見初高中數學學習方法的截然不同成為影響學生高中數學學習的一種無形障礙。因此，初中數學教師要引導學生認識到自主求知、自主質疑是高中數學學習必備的素養。

（二）培養學生自主學習

自主學習即學生以自主的方式進行學習。在初中數學教學中有意識地培養學生自主學習能力是實現初中數學學習順利過渡到高中數學學習的關鍵途徑之一，高中數學教材內容多，但現實中又受課時的限制，不能隨意增加課時，課堂講的內容容量大、節奏快，有更多的知識需要學生去探索和掌握，需要平時的自學消化積累。從這個意義上講，學生的自學能力決定高中數學學習的層次，但是自主學習習慣的養成又不是一蹴而就的。因此，初中數學學習階段比傳授知識更重要的是培養學生自主學習能力和引導學生自主學習。數學課本是學生獲取新知的主要媒介，是數學教師培養學生自主學習能力的主要載體。教師在教學中要用好課本內容，通過“導”與“學”培養學生自主學習能力，這是一種減負增效的方式，因為自主學習的核心和基礎是學會閱讀和學會思考。比如，在學習上述三個“一次”中，可引導學生從函數的角度思考和分析三個問題：（1）2x+1=1;（2）2x+1=0;（3）2x+1=-1。

第一步情境自學。創設問題情境讓學生思考：（1）如何解一元一次方程2x+1=1;（2）當自變量x為何值時，一次函數y=2x+1的值為1？（3）從這兩個問題中，你能發現一次函數與一元一次方程的關系嗎？（4）動手畫出一次函數y=2x+1的圖象，確定它與x軸的交點坐標。

探究發現，從數的角度看，方程2x+1=1的解就是一次函數y=2x+1的y值為1時x的值;從形的角度看，方程2x+1=1的解就是一次函數y=2x+1的圖象與y軸相交的點的橫坐標。

第二步合作互學。引導學生共同閱讀課本，開展合作探究，分析上述3個方程的異同點，觀察函數y=2x+1的圖象。發現三個方程的左邊都是2x+1，但結果不同。從圖象上可以看出y=2x+1上縱坐標分別取1，0，-1的點的橫坐標0，-[12]，-1，也就是方程的解。也就是說，解這三個方程得到的解是函數圖象上的縱坐標1，0，-1對應點的橫坐標的值。從而激發學生深入思考：解方程ax+b=0（a≠0）與求自變量x為何值時，一次函數y=ax+b的函數值為0有什么關系？體會方程的解與圖象對應點的坐標關系。

第三步展示激學。班內交流討論回答：任何一個以x為未知數的一元一次方程都可以變形為ax+b=0（a≠0）的形式;求方程ax+b=0（a≠0）的解，就是一次函數y=ax+b的函數值為0時，自變量x的值;直線y=ax+b上縱坐標為0的點的橫坐標x的值（與x軸的交點）。從而知道，一次函數的值為0所對應的x的值，其實就是方程ax+b=0（a≠0）的解。這樣從函數的角度說出方程解的意義，學生就能較好地理解一次函數與一元一次方程的關系。

這樣的引導就能較好地培養學生的自主學習習慣，從而促進學生變“學會”為“會學”。這是一個漸進的過程，如怎樣閱讀、怎樣觀察、怎樣思考、怎樣表達等，都需要教師有目的地按能力形成的規律因勢利導地在日常數學教學中指導與點撥。

三、培養初中生的運算能力

（一）影響數學運算能力的因素

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“運算能力”界定為“能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》提出數學運算是數學學科六大核心素養之一，數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決問題的素養。運算能力是學生學習數學的一個重要標志。初中數學與運算能力有關的內容一個是數的運算，另一個是式的運算。影響學生數學運算能力發展的因素，一是不能熟練準確地運用有關運算法則、運算公式、運算順序;二是容易造成運算順序錯誤的細節區分不仔細，如-32和（-3）2的區別，8÷9÷3和8÷3的區別;三是運算時書寫不規范，跳步，丟三落四;五是缺乏檢驗和反思的習慣。學生運算能力與學生已有的認知和思維水平有關，也與學生的數學學習興趣、習慣、意志力等有關。很多時候運算出錯，不能只用一個詞“馬虎”或“粗心”進行歸因總結，而是要分析情況找到真正的原因，之后才能采取補救措施。新課改后的初中數學配套習題較少，題目中已知數據較簡單，多是基本運算法則的直接運用。加之不少教師將教學目標窄化為“會解題”，不注重算理分析，意識不到運算也可以“證明問題”，因此學生易產生“眼高手低”的思想。即使碰到一些計算稍復雜的題目時，很多初中學生的感覺是只要掌握方法就行。隨著計算器、計算機等現代技術的飛速發展，教師和學生對計算過程的規范訓練重視不夠，運算能力自然而然弱化，因此出現會做但寫不完的情形。運算功底不扎實會直接影響高中數學學習。在現實教學中，不少高中學生“題一看就會，一算就錯”的無奈現象時常發生。比如，遇到求圓錐曲線方程或數列求和等運算量大、講技巧時則吃不消。運算能力顯然不是簡單的計算，而是檢驗學生數學邏輯思維以及數學運算速度和準確性的直接體現。

（二）主動反思糾錯，強化能力銜接

運算能力的培養講究循序漸進，合理把握銜接教學的契機，激發學生提升數學運算水平的信心。

1.可從揭示公式本質意義設計運算教學

九年級是銜接教學的關鍵節點，其中一元二次方程的解法是學習高中數學一個非常重要的基石，方程是基于“式”的運算，是培養運算能力的最佳模型之一。比如，學習用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）這一節中求根公式的推導（配方、開方）。首先，它是一個讓學生個體對一個公式（題目）進行完整推導（運算）的體驗過程，但學生往往不夠重視，其蘊含的初銜高的潛在價值亟待教師挖掘。其次，它可培養學生“步步有據”的運算推理意識，讓學生明白運算不是憑空建立的;再次，它有助于學生鑒賞和理解求根公式x=[-b±b2-4ac2a]（b2-4ac≥0），這個看似簡單的公式包含加、減、乘、除、乘方、開方六種運算，3個系數、6種運算簡潔地聯系在一起，和諧的公式內涵能激活學生躍躍欲試的運算狀態。最后，它直接幫助學生運用公式解方程。如解方程x2-3x+2=0，方程已為一般形式，從中可直接定系數，a=1（注意不是0），b=-3（不要漏掉負號），c=2，有b2-4ac=（-3）2-4×1×2=1>0（負數乘方添括號），最后代入求根公式計算求解，并把求出的根化成最簡形式。運用求根公式特別容易在方程的系數的正、負號上出現錯誤，因此，平時要注意引導學生正確對待運算中的錯誤，善于反思，“吃一墊長一智”，而不是簡單地歸結于“粗心”，從而提高運算水平。

2.可從改錯糾錯角度設計運算教學

在數學學習過程中，會不可避免地出現運算錯漏，造成這些錯漏的原因有多方面。在學生的身心發展過程中難免出現粗心大意，這時教師不必過于焦慮而想杜絕，應該允許學生試錯，并給予學生具體的幫助，和學生一起分析錯誤的原因。哪些是會做而由于粗心丟分的？哪些是因公式記錯而無法計算的？哪些是根本無法完成的？在查找原因中幫助學生實現新的認知平衡，通過糾錯性作業以幫助學生糾錯。例如：“已知a=1-[2]，先化簡[a2-2a+1]，再求值?！被嗊^程中學生經常會錯誤地化簡為“[a2-2a+1]=a-1”，沒有很好結合“a=1-[2]”來思考“a-1”的范圍。作為二次根式[a2]化簡代表性類型題，要想避免此類錯誤發生，那么就得舉一反三，以實例練習以糾錯，引導學生靈活運用二次根式的性質，得出“[a2-2a+1=a-1]”，再依據a的大小把絕對值符號去掉。這樣從糾錯、改錯的角度設計具有典型意義的題目，可以較好地訓練學生的避錯能力。

3.可從拓展學生運算視野上設計運算教學

在教學中，教師可用一題多解訓練學生發散思維，減少出錯。比如，解方程時，可以有針對性地添加用“十字相乘法”來解的題目，這也是培養學生運算能力的一個好辦法。它既能訓練學生數、式分解能力和計算的靈活性，增強方程同解變形的運算能力，又能培養學生批判性思維，讓學生不僅能感悟方法的巧妙，而且還能從中準確判斷運算的途徑。比如，受過訓練的學生一眼就能看出方程x2+x-1=0不能用“十字相乘法”求解。在學生能夠接受的前提下多給幾把解決問題的鑰匙，讓他們學得主動?！八恪笔菙祵W不同于其他學科的特征之一，有意義的數學運算過程是一個磨煉意志的過程，是一個檢驗思維的過程，它能很好地鍛煉人的韌性，使人細心。因此豐富運算的情感體驗是學好數學的關鍵，也是激發學生學習數學熱情的關鍵，為學生數學運算的核心素養發展打下堅實的基礎。

落實初銜高數學教學是優化學生學習數學的一體化過程，必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上。相信，隨著《普通高中數學課程標準（2017年版）》的實施，正在修訂的高中數學新教材內容將會增加必要的預備知識，銜接初高中數學。我們一線教師也要把握好初高中數學的關聯性，精心施策、緩解反差、平衡過渡、順利銜接。

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【作者簡介】韋鴻敏（1974— ），男，教育碩士，來賓市第二中學高級教師，廣西師范大學基礎教育研究院兼職研究員，研究方向為中小學數學教學。

（責編 李 唐）