模型思想在數學概念教學中的應用

于江兵

[摘 要]數學課程標準強調發展學生的模型思想。模型思想的建立對數學概念的建立起著重要作用。概念教學與模型思想的形成是一致的，概念中模型思想的建立重在經歷獲取新知識的能力和過程，而不是概念的結論。

[關鍵詞]數學建模;模型思想;概念教學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0054-03

數學課程標準中明確指出，應當注重發展學生的模型思想。數學建模是一種數學思想方法，模型思想的建立對數學概念的建立起著重要作用。數學建模的過程分為四個環節，即表述、求解、解釋、驗證，這四個環節在概念教學中可以與教學環節一一對應，也就可以理解為數學建模的過程實質上就是數學概念形成的過程。下面筆者從教材的編寫和實際教學兩個角度來分析模型思想在數學概念教學中的應用。

一、教材概念教學編寫意圖與模型思想形成的分析

教材概念教學的編寫主要遵循數學建模的四個環節。以青島版教材五年級下冊“分數的意義”為例，教材在呈現情境圖（如圖1-1和圖1-2）之后，讓學生根據情境提出數學問題，這就是一個表述和求解的過程，這節課要求解的問題比較多，有單位“1”、分數單位及分數的意義等問題。

“分數的意義”是一節典型的概念課，從教材的編寫意圖來看，它從數學建模的四個環節來體現概念的形成。比如教材對于單位“1”概念的建立，為了讓學生建立起單位“1”的模型，教材在設計單位“1”教學內容時，結合了學生的生活實際，用5個船模、4個和6個飛機模型等素材建構了單位“1”的模型。教材抓住了單位“1”的固有特征，即單位“1”就是一個物體或一些物體組成的一個整體。教材在幫助學生建立單位“1”的概念時，先引導學生從5個船模入手形成一個整體的概念（這就是對模型的一個表述過程），在學生有了一個整體的概念后，再用4個和6個飛機模型幫助學生總結出單位“1”的概念模型（這就是對模型的解釋過程）。最后通過調查、收集數據，觀察和研究概念所固有的特征和內在規律，抓住概念的本質屬性，幫助學生建立概念的模型（這就是一個驗證的過程）。

二、將教學流程與模型思想融合應用

從數學課程標準和教材的編寫意圖來看，概念教學也應圍繞數學建模的四個環節來開展。下面以“建立單位‘1’”概念為例談談如何實施應用。

師：我們從5塊巧克力中找到了[15]，那么你能找到10顆棋子的[15]嗎？請以小組為單位，利用手中的學具找一找，把你的想法與小組同學說一說。

（小組活動，派代表上臺匯報展示。）

生1：把10顆棋子看成一個整體，平均分成5份，其中的一份就是[15]。

（教師引導學生用筆圈出一個整體，平均分一分。）

師（課件演示將5塊巧克力、10顆棋子圈出后平均分成5份的過程。）：我們把5塊巧克力、 10顆棋子等物體都看成一個整體，平均分成5份，其中的一份就是[15]。

師：仔細觀察這兩幅圖（圖略），你有什么發現？把你的發現和同桌說一說。

生2：都用[15]來表示。

生3：每份的數量不一樣。

師：為什么每份的數量不一樣，而卻都可以用[15]表示呢？

生4：都平均分成5份。

生5：每個整體的數量都不一樣。

生6：都是把一個整體平均分成5份，取其中的一份，所以是[15]。

師：因為被看成整體的數量是不一樣的，所以每份的數量不一樣。

師：剛才我們從5塊巧克力和10顆棋子中找到了[15]，想不想再從其他物體中找出不同的分數？

師：你能從4根小棒中找到[12]嗎？與同桌一起動手擺一擺小棒。

（學生上臺展示找到的[12]，教師引導學生邊圈出一個整體邊說“分”的過程。）

師：你能從6根小棒中找到[13]嗎？與同桌一起動手擺一擺小棒。

（學生上臺展示找到的[13]，獨立完成邊圈出一個整體邊說“分”的過程。）

……

師：你能舉例說明什么是單位“1”嗎？

上述教學大致分成了四個環節，即創設情境、提供素材;分析素材，理解概念;借助素材，總結概念;鞏固拓展，應用概念。這四個環節與數學建模的四個環節一一對應。

1.創設情境，提供素材（表述）。在教學中教師為學生提供學具，讓學生找[15]，學生在找的過程中產生了探索解決問題的熱情，為概念的形成奠定了基礎，引發了學生對單位“1”概念的形成的初步探索。

2.分析素材，理解概念（求解）。教師提供多種不同的素材給學生操作，并且注重了操作方法的指導。在學生操作演示過程中，教師始終指導學生圈一圈、分一分、找一找。“圈”是指圈出單位“1”，“分”是指平均分，“找”是指找出單位“1”的幾份即分數。“圈”就是學生建構單位“1”的過程，學生進行“圈”“分”“找”的過程就是把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的過程，即建構分數概念的過程。學生通過這樣的操作，不僅理解了單位“1”，更體會到了分數概念的形成過程。

3.借助素材，總結概念（解釋）。這節課教師給學生提供了不同的素材，讓學生自主驗證，學生在經歷了自主操作和驗證之后總結出了概念。

4.鞏固拓展，應用概念（驗證）。教師最后讓學生找一找生活中的單位“1”，是對這一概念進一步的鞏固和應用。在經歷“教師的指導操作—學生的嘗試操作—學生的獨立操作”這樣的活動之后，學生逐步在頭腦中建立起了分數的概念，完成了對分數模型的建構。

三、概念教學建模過程中要注意的問題

1. 要創設具體的情境，激發學生的探究興趣。由于受年齡、知識和生活經驗的限制，學生以具體形象思維為主，而數學概念是比較抽象的。因此，在數學概念教學中教師要從學生身邊所熟悉的情境入手，通過創設具體的情境逐漸引入概念的抽象過程，從而激發學生的探究興趣。

2.要關注概念模型形成過程的教學。概念教學中模型思想建立的重點是創設情境引導學生解決問題，而不是簡單地得出概念。因此，教師應該注重過程，加強操作，讓學生經歷概念形成的過程，讓學生在實踐中學會學習。教師還要重視操作方法的指導，提高操作訓練的有效性。學生經歷了正確的操作活動之后，也就經歷了概念形成的過程，同時完成了數學模型的建構。

3.要注重加強對近似概念的辨析。在小學數學中，雖然很多概念的含義接近，但本質上是有區別的，對于這類學生容易混淆的概念，教師要注重引導學生對它們進行辨析比較。通過辨析找出近似概念之間的相同點和不同點，這樣既能培養學生對易混概念自覺進行比較的習慣，也能提高學生理解概念的能力。

4.要關注概念教學中學生遷移能力的培養。數學中的很多新概念與舊概念都有著內在聯系。在教學中教師要培養學生知識遷移的能力，讓學生學會充分運用舊概念來引出新概念。利用學生已掌握的舊概念講授新概念，學生比較容易接受。把舊概念作為學習新的基礎，以舊引新，再化新為舊，這樣循環往復，既能促使學生理解概念，又能讓學生有效掌握新舊概念間的聯系和區別。

5.要抓住概念的本質屬性來理解概念。概念是對事物本質屬性的概括，學生理解概念的過程就是對概念所反映的本質屬性的挖掘過程。概念形成的過程是一個逐漸完善的過程，在這個過程中要準確把握概念的本質屬性，教師就要“抓”住本質不放，然后充分地運用變式，不斷地變換呈現形式，改變非本質屬性，但本質屬性不變，由此幫助學生準確理解概念。變式對于學生形成正確的概念有積極的促進作用，它有利于啟發學生的思維，讓學生透過現象看本質，使概念的本質屬性更加突出，達到化難為易的效果。同時也有利于激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性和主動性。

數學概念教學的過程就是數學模型形成的過程。因此學生概念模型的形成要經歷掌握基本數學知識和技能，獲得數學活動經驗，感悟數學思想方法，形成良好的數學思維習慣和應用意識的過程。在這個過程中，教師要引導學生建立模型思想，從而提高學生解決問題的能力，發展學生的數學思維。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 夏英美.如何引導小學生正確掌握數學概念[J].小學教學研究，2013（20）：21-23.

[2] 陳理榮.數學建模導論[M].北京：北京郵電大學出版社，1999.

[3] 劉仍軒.情境串教學法[M].青島：青島出版社，2005.

（責編 童 夏）