在“一題多解”中滲透數學核心素養

[摘要]在平常的教學中，教師可以有針對性地、合理地把中考真題或相關典型問題融入課堂，通過對題目多種解法的探究，讓學生在思考、體驗、反思和總結中真正有效地促進他們核心素養的培養與提升

[關鍵詞]核心素養;一題多解;運算能力;思想方法

作者簡介：許小穎（1978-），本科學歷，中學一級教師，曾獲福州市優質課比賽三等獎

當前數學試卷中的壓軸題具備較高的選拔功能，它對學生的核心素養要求較高，也對教師如何引導教學要求很高.文章以2020年福建中考數學試卷第25題為例進行分析.

試題呈現

試題（2020年福建中考）已知直線41：y=-2x+10交y軸于點A，交x軸于點B，二次函數的圖像經過A，B兩點，交x軸于另一點C，BC=4，且對于該二次函數圖像上的任意兩點P1（x，y1），P2（x2，y），當x》x2≥5時，總有y》y2（1）求二次函數的表達式2）若直線：y=mx+n（n≠10），求證：當m=-2時，l∥l;（3）E為線段BC上不與端點重合的點，直線12：）=-2xャ經過點C且交直線AE于點F，求△ABE與△CEF面積之和的最小值.

數學思考

這是一道綜合性較強的函數壓軸題，從知識層面上看，主要考査了待定系數法、解方程組、一次函數和二次函數的圖像與性質、相似三角形的性質、三角函數、配方法、反證法等基礎知識：從數學能力上看主要考査符號意識、運算能力、推理能力、幾何直觀創新意識;從思想方法上看，主要考査了學生對數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想的理解和運用本題對學生的嚴謹性思維及分析問題的能力要求較高，特別地，第（3）小題的運算較為復雜.2011年版的《數學課程標準》對每一個學段的運算需要達到什么樣的水平都提出了明確的要求，它不僅是數學課程中第一部分“數與代數”的重要內容，還與其余三部分有著密切的聯系.而“一題多解”更體現了運算的靈活性.它可以更有效地加強學生對數學運算和數學知識的認知和理解.對于具體問題，我們要知道“算什么”“怎么算”“依何算”例如，第（3）小題求兩個三角形面積之和的最小值，我們應很快聯想到求面積之和的最小值的常用方法是什么，而它實質上又是讓我們算什么，應怎樣結合問題合理設元，進而選擇最優算法.

試題分析

下面僅對第（2）（3）小題展開分析.

1.第（2）小題的解答

第（2）小題在一次項系數相同的前提下，證明兩直線平行.學生往往不能領會命題者的意圖.我們可以嘗試從代數與幾何兩個角度進行證明，其中幾何解法容易聯想到平行線的判定，通過兩角相等導出兩直線平行，或者通過平行四邊形或平移的知識推導出平行，但在用相似（或三角函數）證明角相等從而推出線平行時，容易因為思維不嚴謹不能進行完整的分類而失分.對于代數解法，我們容易聯想到“以形導數”，把次函數問題與方程（組）知識相結合，由方程（組）無解，推導出兩直線無交點（即不相交），進而推導出兩直線平行，用這種方法表述更簡單一些也更易得分，但學生也會由于思維深刻性不足而漠視“n≠10”的條件，從而導致失分.

（1）幾何解法

解法1（三角畫數證法）由直線1：）=2x+10與x軸、y軸的交點，可得OA=10

OB=5，從而求得tan∠ABO=2.在m=-2的條件下，可得直線2：y=-2x+n與x軸、y軸的交點分別為0，M（0，n）.可以分三種情況進行討論：①當n》0時，如圖1所示，容易求得tan∠MNO=2，所以tan∠ABO=tan∠MNO.所以∠ABO=∠MNO.所以l1∥l，②當n0時，如圖2所示，容易求得an∠MNO=2，所以tan∠ABO=tan∠MNO.所以∠ABO=∠MNO.所以1∥2.③當n=0時，如圖3所示，此時直線的方程為y=-2x.取直線2上的點G（-1，2），則可求得tan∠COH=2.所以tan∠GOH=tan∠ABO.所以∠COH=∠ABO.所以1∥2綜上可知，l∥l2∠ABO=∠MNO.所以l1∥l2.同理可證，當n=0時，4l2.綜上所述，l4∥l2解法3（平行四邊形證法）當nチ0時，設直線2與x軸、y軸分別交于點N和點M，則N、M（0，n）.如圖4所示

過（1，0）作PP∥y軸，其中點P在直線l2上，點Q在直線1上.利用l，的解析式可求得Q（1，8），P（1，n-2），所以PP=10-n|.又AM=10-nl，由AM∥PQ，AM=PQ，n≠10，推導出四邊形AMPQ是平行四邊形，所以l1∥2.同理可證，當n=0時，l1∥l2.綜上可知，l∥l2

解法4（平移證法）如圖5所示，記P（x0，-2xo+10）是直線l：y=-2x+10上任意一點，將點P向上平移（n-10）個單位長度后得到點Q，可得Q（x，-2xo+n）.又點Q在直線2：y=-2x+n上，n≠10，所以直線1是由直線1向上平移（n-10）個單位長度得到的，所以l∥l2

（2）代數解法

解法5（正面解方程組）由得直線k：）=n，交ノy=-2x+10由℃+n≠10，得方程組無解，所以1與l2無交點、所以l1∥l2

解法6（反證法）若l1與2不平行，則和2必相交，可設交點為P（x0，y0）.由0=-2xo+10解得n=10，與已知n≠10y0=-2o+n，

矛盾，所以l1與2不相交.所以1∥l2解法7因為n≠10，所以對于任意的x，均有-2x+10≠-2x+n，即y1≠y2.所以1與l2永不相交.所以1∥l2

2.第（3）小題的解答

在第（2）小題的基礎上，易得1∥l通過對幾何圖形的觀察，易得△ABE與△CEF相似，再由相似三角形的性質可得這兩個三角形面積之間存在的數量關系.這就讓我們聯想到，兩三角形的面積之和可以用含某個変量的式子來表示.因此，本題基本明確用函數表達式的方式求最小值.那么，我們設哪個元更容易計算呢？由于相似三角形相似比的知識與分式計算息息相關，而分式問題，分母越小越容易算，因此設分母為未知數是最合適的方法.不過本題所構建的函數解析式不是學生所熟悉的函數，碰到這樣一個陌生函數，它的最值又該如何求呢？從學生的反饋來看，學生普遍由于配方法及主元思想不足、計算能力不夠，導致面積的最小值求錯

（1）幾何方法

教學導向思考

1.立足于教材的同時，注重知識的發生、發展過程，提高學生的理性思維能力教材是教學的根本，作為教師，我們應該仔細分析數學課程的教材體系，不能簡單地教材安排什么就教什么.我們可以多想想教材為什么這么安排，以及這樣安排的合理性和科學依據是什么.備課時，我們不僅要把握每節課的知識教學目標，更要注重前后知識聯系和思想方法的傳承，這樣教師充當的角色就不僅僅是“知識的搬運工”了.如果學生能親自動手探究問題并進行驗證，那么他獲得的將不僅僅是知識，更是學習的方法與手段.

如上述中考題第（2）小題中k的意義，教學中從新課的“直觀感知”到“理性思維”，要螺旋式地發展：新課中感知k相等，則兩直線可以通過平移得到;章節復習中要提煉出“x每增加1，y的增加量即為k”并能解釋;總復習時就要進一步提升到“k”與“tanc”的關系并能解釋.通過知識的拓展延伸，先讓學生感知知識的發生、發展過程，再在知識的相關處、來龍去脈處及形成上多下功夫，這樣學生對各知識的理解才能更加透徹，知識脈絡才會更清晰，分析試題時才能在知其然的基礎上更知其所以然，從而促使解題更“快”、更“準”

如，上述中考題第（1）小題，為什么那么多的學生二次函數的表達式求錯呢？為什么有學生判斷出點C的坐標是（9，0）呢？究其原因，是學生沒有知其所以然.由BC=4，B（5，0），點C在x軸上，我們可以判斷出點C在點B的左側或右側，于是可得C（1，0）或C（9，0）.又由x》x2≥5時，總有y1》y2，可以聯系對稱軸知識，判斷出對稱軸=-≤5，進而判斷出點C的坐標只能為（1，0）

2.強化運算能力培養

運算能力不是單一、孤立存在的數學能力，其與數學邏輯思維有著密切的聯系.學生往往會認為運算即機械的計算，不懂得概念、公式理解的重要性.其實，對于公式，我們不但要懂得“正用”，還要學會“逆用”，更要“活用”，這就需要學生能夠理解概念，并懂得公式的推導，從而提高運算能力，減少錯誤.比如，上述中考題的第（3）小題，配方、均值不等式等計算方法的運用學生就會錯誤百出.另外，我們還應指導學生重視簡捷運算和靈活運算.要提高學生的運算能力，“一題多解”就是一種很好的訓練方法，因為通過不種解法的區別、篩選，他們可以比較哪種解法既正確又簡捷，從而在有限的時間里確定更加合理的解法.

3.關注學生作圖能力，重視數形結合思想方法的運用

在學習過程中，學生經常會碰到些數量關系比較隱蔽的實際問題，此時若能指導他們用圖形把其中的變化關系表示出來，就能更直觀形象地解釋題意，幫助他們及時發現數與數之間存在的內在聯系，這對題目的難度降低與突破有莫大的好處.而數形結合的實質就是把抽象的數學符號語言與直觀形象的圖形語言結合起來，實現“以形助數”與“以數輔形”，它要求課堂上要重視數學三種語言的轉化訓練.函數問題無疑是數形結合思想運用的典范，為此，課堂上我們要有意識地為學生創造畫圖機會，別因為所謂的課堂效率而常常由教師代勞，顯然此中考題就考查了數形結合思想方法的應用.

4.關注初高中知識的銜接近年來，注重初高中知識銜接問題是中考數學的一大特點，很多高中學習的知識點在初中的學習中也稍有涉獵.比如，初中教材中的“統計和概率”，試題中時有出現的含有參數的函數、方程、不等式等問題，在初中階段的學習中它們更側重于定量的計算，而高中階段還需要做定性的研究.解答上述中考題，對陌生函數的最值進行研究時，所使用的配方法、均值不等式法等，就需要我們做好初高中知識方法銜接的講解與應用.

綜上所述，中考、高考這些選拔性的考試具有較強的導向性，因此，如何培養、提高學生的數學思維能力，有效地將培養核心素養貫穿數學教學的全過程，是實際數學教學的重要一環.作為一線教師，我們既要授之以“魚”，更要授之以“漁”，讓學生真正高效地學好數學.