以“解直角三角形”為例踐行“學材再建構”

吳才東

摘要：在習慣了“以本為本”的教學思路之后，將教學的視角從教師轉向學生，將教材的認識轉化為對學材的認識，認識了學材之后再重新建構學材，這顯然是一個重大的突破。在這個突破的過程中結合課例研究，既可以有效地實現對“學材再建構”的理解，又可以讓教師更好地反觀自己的日常教學，從而實現自身的專業成長。本文以“解直角三角形”為例，探討如何踐行“學材再建構”。

關鍵詞：“解直角三角形”;初中數學;“學材再建構”

一、第一次試教——教教材

環節1：上課伊始，教師出示人教版教材九年級下冊第72頁比薩斜塔材料：我們回到本章引言提出的比薩斜塔傾斜程度的問題。1972年的情形：設塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C。在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，因此sin∠A= = ≈0.0954，利用計算器求得∠A≈5°28′。

教學組織：教師先帶學生復習了∠A正弦的定義，了解了求∠A的方法;接著請學生在教材中找出解直角三角形的定義，并在活動單中填空。

筆者觀課思考：從教材章前圖的閱讀材料中，我們抽象出在直角三角形中，已知一角的對邊和斜邊，求該角。從閱讀材料到解直角三角形的定義，筆者認為這里缺少必要的過渡，對這段章前圖閱讀材料的教學價值挖掘不夠，完全可以從一般走向特殊，再擴充到已知其他元素，求其余所有元素;此處由已知元素到其余未知元素，類比解方程引導學生自主歸納定義，從而對定義有更深刻的理解，而不是直接閱讀解直角三角形的定義，對定義的理解不深刻，一帶而過，會給后續解直角三角形帶來極大的障礙（這一點在這節課后續練習中得到驗證），這激發了筆者進一步梳理教材內容的思考。

環節2：教師出示教材第72頁探究：（1）在直角三角形中，除直角外的五個元素之間有哪些關系？（2）知道五個元素中的幾個，就可以求其余元素？

教學組織：對于探究（1），教師請學生分小組在教室四周的白板上討論并展示，結合圖形寫出了勾股定理、銳角三角函數、兩銳角互余，其中還有學生寫出了∠A+∠B=1、sin∠A=cos∠B等結論;對于探究（2），教師同樣請學生分小組在教室四周的白板上討論并展示，學生對五種情況（三邊、兩邊、一邊、一邊一角、一角）進行了討論，最后得出已知兩個元素，即兩邊或一邊一角，就可以求出其余所有元素。

筆者的思考：對于探究（1），孤立地討論除直角外的五個元素之間的關系，效果真的好嗎？為什么不在問題解決中穿插進行呢？這些都是解直角三角形的基礎知識。如果在章前圖的材料中加以拓展延伸，自然就得出了除直角外的五個元素之間的關系。關于學生寫出的∠A+∠B=1、sin∠A=cos∠B等結論，筆者認為，首先，學生對解直角三角形的定義不清，沒有明確探究（1）設置的目的是服務于解直角三角形;其次，沒有充分運用圖形進行元素之間彼此的轉換。對于探究（2），又回到了添加幾個元素可以求出其他所有元素的問題，此處如果在章前圖材料的基礎上加以拓展延伸，學生已經掌握了已知兩邊（包含兩直角邊、一直角邊和斜邊），求其余所有元素，有了這樣的基礎作為生長點，自然聯系減少到一條邊，必然再添加一條邊或一個角，由此自然生成，而不是又回到原點讓學生耗費大量時間討論。

二、研磨后的教學設計——學材再建構

活動1：復習回顧、自主建構

（1）閱讀比薩斜塔材料，從中抽象出數學問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，求∠A。

追問1：在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，在這個問題中，已知元素有一條直角邊BC和斜邊AB，在未知元素中，已經求出了∠A，還有∠B、AC，怎么求？

追問2：我們把由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形。結合前面學習的經驗，請談談對解直角三角形定義的理解。

設計意圖：通過追問1把章前圖的閱讀材料成果擴大化，從求∠A擴大到求其余所有未知元素，在求其余所有未知元素的過程中，梳理除直角外五個元素之間的聯系;通過追問2，一是類比解方程的定義理解解直角三角形的定義，二是明確定義既是基本判定，又是基本性質。

（2）例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，AB=2，解這個直角三角形。變式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個直角三角形。

設計意圖：例題是閱讀材料的延續，一是從用計算器計算一般角到特殊角，二是鞏固解直角三角形的定義，三是強調書寫格式;變式（原教材中例題）將例題中的一直角邊和斜邊轉化為兩條直角邊，為下面歸納已知兩邊，求其余所有未知元素做鋪墊。

（3）追問：前面我們研究了已知兩邊，求其余所有未知元素，還可以通過哪些未知元素，求其余所有未知元素呢？

設計意圖：通過自主討論，學生自然想到減掉一條邊，再增加一個角，即已知一邊一角，求其余所有未知元素。追問：請針對已知一邊一角，求其余所有未知元素。小組之間交叉命題，交叉批閱。

設計意圖：通過小組命題，鞏固解直角三角形的定義;通過交叉批閱，調動學生的積極性，深化理解解直角三角形的定義。

活動2：分層練習、提升能力。學生做教材習題，當堂反饋。

活動3：課堂小結，如：這節課學了什么？怎么學的？學得怎么樣？

設計意圖：學了什么指向知識和技能，怎么學指向數學思想和活動經驗，學得怎么樣指向學習效果。

三、進一步的思考

我們的課例實踐表明，踐行學材再建構，可以更好地服務于學生的學，完成學生知識的自主建構，自然生長，使學生能力的自主提升得到有效落實。

參考文獻：

[1]李群.反比例函數單元教學起始課教學研究[J].中學數學（下），2019（8）.

[2]林庾升.學材再建構，讓初中數學教學更具質感[J].江蘇教育，2019.

[3]康永.“學材再建構”在初中數學教學中的實施淺談[J].新課程導學，2020.

“基于學生認知基礎的初中數學“學材再建構”的案例研究”南通市課題主持人研究成果（課題編號：ZX2020002）