數(shù)學(xué)建模活動(dòng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

耿熹

摘 要：在新課程改革體系中，越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模是幫助學(xué)生在自身認(rèn)知與數(shù)學(xué)知識(shí)之間構(gòu)建一座橋梁，促使學(xué)生通過(guò)建模活動(dòng)真實(shí)感受到數(shù)學(xué)與生活的內(nèi)在聯(lián)系與應(yīng)用價(jià)值，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模活動(dòng)中存在的不足進(jìn)行分析，并提出數(shù)學(xué)建模思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略，為相關(guān)建模活動(dòng)建設(shè)提供有效依據(jù)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);教學(xué)模式

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)相關(guān)理論知識(shí)學(xué)習(xí)中或相應(yīng)解題過(guò)程中都具有非常重要的作用，前者在應(yīng)用時(shí)可以讓學(xué)生將比較難懂的部分轉(zhuǎn)化成模型形式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效理解與吸收;后者在應(yīng)用時(shí)可以幫助學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題，提煉出重要信息，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的突破口。因此，利用此形式進(jìn)行學(xué)習(xí)與解題已成為目前數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中存在的不足

（一）相關(guān)技術(shù)應(yīng)用不足

當(dāng)下是信息化的時(shí)代，信息相關(guān)技術(shù)在各學(xué)科教學(xué)中得到了廣泛的普及，且已經(jīng)成為當(dāng)下教學(xué)中重要的應(yīng)用工具。相關(guān)的信息技術(shù)工具可以用于展示相應(yīng)的圖形變化過(guò)程或進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的計(jì)算等，這些都是數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)常運(yùn)用的功能，但目前多數(shù)學(xué)校在技術(shù)與課程應(yīng)用方面的融合應(yīng)用較不充足，兩者之間的發(fā)展出現(xiàn)不對(duì)等情況。一方面體現(xiàn)在相應(yīng)課程實(shí)施方面，部分學(xué)校出現(xiàn)相關(guān)設(shè)施建設(shè)不足，與實(shí)際教學(xué)需求存在偏差;另一方面體現(xiàn)在學(xué)生課程安排上，高中學(xué)習(xí)時(shí)間有限，教師難以留出較多的時(shí)間給相關(guān)技術(shù)的學(xué)習(xí)。在此背景下，相關(guān)信息技術(shù)與課程的結(jié)合是必然發(fā)展趨勢(shì)，因此教師要加強(qiáng)對(duì)此部分的重視，加強(qiáng)對(duì)相關(guān)技術(shù)的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課堂教學(xué)兩者的高度融合。

（二）建模活動(dòng)連續(xù)性不夠

在2017年發(fā)布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，但在實(shí)際應(yīng)用中由于其內(nèi)容的綜合性，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)處于時(shí)斷時(shí)續(xù)的狀態(tài)，難以形成全面系統(tǒng)的應(yīng)用。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的價(jià)值容易被教師與學(xué)生忽視，使得實(shí)際課堂教學(xué)的連續(xù)性不足，無(wú)法形成對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的有效認(rèn)知。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，高考相應(yīng)考核范圍內(nèi)對(duì)此形式的應(yīng)用題型較少，導(dǎo)致對(duì)此方面的學(xué)習(xí)重視度不高。在評(píng)價(jià)機(jī)制中，對(duì)此形式應(yīng)用的考核內(nèi)容與范圍操作上難度較大也不夠全面。

（三）應(yīng)用體系尚不成熟

目前數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的課堂教學(xué)研究較少，尤其是在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的教學(xué)研究更是少之又少。就教學(xué)資源而言，目前社會(huì)資源中存在一定的模式教學(xué)研究，但大多數(shù)是在相關(guān)觀點(diǎn)或定義概念的研究，對(duì)實(shí)際應(yīng)用的研究較少，難以為實(shí)際教學(xué)提供參考價(jià)值。教師可以應(yīng)用或借鑒的實(shí)際案例很少，且其自主研發(fā)能力不足，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)容易出現(xiàn)多種矛盾問(wèn)題，難以得到全面普及。

二、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

（一）注重課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，營(yíng)造建模環(huán)境

課堂導(dǎo)入以往形式中是以學(xué)生預(yù)習(xí)為主，教師對(duì)上課內(nèi)容或例題進(jìn)行總結(jié)與涉及。但在當(dāng)下教學(xué)環(huán)境中，教師在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)的應(yīng)用與設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要考慮相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的融入，還要注重對(duì)相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的引入，提前為學(xué)生營(yíng)造出建模的環(huán)境，讓此環(huán)節(jié)成為學(xué)生很好進(jìn)入課程的有效途徑，其中主要包括這幾點(diǎn)：

一是深入分析教材內(nèi)容。此內(nèi)容是建模內(nèi)容的有效填充與關(guān)鍵所在，為了能夠更好定位教材中隱藏的相關(guān)信息，教師首先要了解相關(guān)課程指標(biāo)，這樣才能確定實(shí)際使用的開(kāi)展方向。其次要從相關(guān)信息中分析出其背后意義，經(jīng)過(guò)對(duì)相關(guān)建模素材的分析，從不同角度實(shí)現(xiàn)對(duì)教材內(nèi)容的理解與把握。從提取材料分析，目前教材中的很多內(nèi)容都是和社會(huì)問(wèn)題或生活場(chǎng)景密切相關(guān)的，且在社會(huì)推動(dòng)下，其隱藏著大量的教育信息，在學(xué)習(xí)中為學(xué)生建立良好思想做準(zhǔn)備。從展示形式分析，教材內(nèi)容中很多形式中都滲透了建模素養(yǎng)，例如：相應(yīng)的解題情境或相關(guān)專(zhuān)題專(zhuān)欄部分等，這些都可以通過(guò)對(duì)相關(guān)信息的提取實(shí)現(xiàn)模型的構(gòu)建。從實(shí)際應(yīng)用分析，教材內(nèi)容中涉及完全的建模過(guò)程，只有教師充分了解并分析透徹相關(guān)信息，才能真正了解教材含義與用意，才能體會(huì)到建模方法的實(shí)際應(yīng)用，才能讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際內(nèi)容進(jìn)行處理。

例如：在2019班人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“研究茶水溫度隨時(shí)間變化規(guī)律”的過(guò)程中，在課堂引入環(huán)節(jié)教師可以設(shè)計(jì)觀察實(shí)際情境，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題這個(gè)環(huán)節(jié)，在教學(xué)之前讓學(xué)生提前了解該問(wèn)題的背景、過(guò)程、方法和意義，并對(duì)建模的對(duì)象在生活中的場(chǎng)景進(jìn)行介紹，認(rèn)識(shí)到該問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后開(kāi)展建模活動(dòng)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光來(lái)觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)問(wèn)題。

二是重新整合教材內(nèi)容。經(jīng)過(guò)上述分析我們知道教材中隱藏了大量的建模資源，此環(huán)節(jié)教師要將其充分提煉出來(lái)，結(jié)合例題或相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，尤其是具有一定探究含義的內(nèi)容等進(jìn)行創(chuàng)造與利用。在實(shí)際應(yīng)用中，這些內(nèi)容只是教師實(shí)現(xiàn)建模或教學(xué)活動(dòng)的相關(guān)素材，教師不光是在傳授學(xué)生相關(guān)內(nèi)容，更是在應(yīng)用與創(chuàng)造內(nèi)容。這些內(nèi)容都是經(jīng)過(guò)相關(guān)工作人員大量搜尋且精煉出來(lái)的，教師只需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行整合與加工，便能實(shí)現(xiàn)對(duì)內(nèi)容的充實(shí)，實(shí)現(xiàn)相關(guān)建模活動(dòng)的有效開(kāi)展。

例如：通過(guò)教材分析發(fā)現(xiàn)，教材必修第一冊(cè)中缺少模型檢驗(yàn)和模型修正步驟的相關(guān)部分。為了讓學(xué)生體驗(yàn)完整的建模過(guò)程，可以對(duì)教材中的缺失進(jìn)行補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)對(duì)部分建模內(nèi)容的再開(kāi)發(fā)。以“貨船進(jìn)出港口問(wèn)題”為例，結(jié)合相應(yīng)相關(guān)圖表數(shù)據(jù)可以判斷水深和時(shí)刻之間的函數(shù)關(guān)系是三角函數(shù)關(guān)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生考慮用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b描述水深與時(shí)刻關(guān)系，而后對(duì)相應(yīng)模型求解與檢驗(yàn)，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思并填寫(xiě)相關(guān)報(bào)告。

（二）強(qiáng)化課內(nèi)教學(xué)部分，構(gòu)建建模情境

課堂環(huán)節(jié)是教師展示相關(guān)內(nèi)容與學(xué)生提升自我的主要途徑。在日常教學(xué)的歷程中加入建模活動(dòng)，保留原有的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)與相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)，可以選在導(dǎo)入環(huán)節(jié)或練習(xí)環(huán)節(jié)，這樣可以在確保原有秩序的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)此教學(xué)方式的有效運(yùn)用。導(dǎo)入環(huán)節(jié)上述內(nèi)容中已經(jīng)提到，此部分是為學(xué)生構(gòu)建了一個(gè)主動(dòng)思考的環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生多運(yùn)用此模式去思考。課內(nèi)部分是對(duì)上一環(huán)節(jié)的延續(xù)與擴(kuò)展，是在導(dǎo)入環(huán)境的情境下進(jìn)行的，其主要包括這幾種：

一是構(gòu)建生活化建模情境。在實(shí)際應(yīng)用中，部分學(xué)生會(huì)對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程產(chǎn)生懷疑，認(rèn)為大部分內(nèi)容對(duì)自己今后的生活沒(méi)有太大幫助，使得這些學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)暫時(shí)落后的問(wèn)題。針對(duì)此現(xiàn)象，教師要注重將此部分學(xué)生引入到實(shí)際教學(xué)情境中，借助多種情境形式幫助學(xué)生建立正確的認(rèn)知。例如：教師結(jié)合學(xué)生實(shí)際生活引入身邊常見(jiàn)的元素或問(wèn)題，讓學(xué)生借助建模過(guò)程來(lái)逐一找出問(wèn)題的解決方法，強(qiáng)化兩者之間的聯(lián)系，讓學(xué)生打消內(nèi)心的懷疑，了解到自己思想的錯(cuò)誤之處。以實(shí)際生活的交通問(wèn)題舉例，教師可以讓學(xué)生代入自己汽車(chē)司機(jī)的角色，或者讓學(xué)生回想自己騎自行車(chē)的經(jīng)歷，并向?qū)W生提問(wèn)：在開(kāi)車(chē)或騎行過(guò)程中遇到緊急情況能否立即停下來(lái)？學(xué)生基本會(huì)回答不能，以生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)還會(huì)往前行駛一段距離才能停下。此時(shí)便出關(guān)于行駛的習(xí)題，給出學(xué)生幾個(gè)關(guān)鍵信息，讓學(xué)生結(jié)合這幾點(diǎn)構(gòu)建出相應(yīng)的模型，以解答出在不同情況停止前行駛距離與時(shí)間等，讓學(xué)生了解生活場(chǎng)景在數(shù)學(xué)里的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，并學(xué)習(xí)到如何將相關(guān)公式運(yùn)用到相應(yīng)的場(chǎng)景中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。

二是小組形式開(kāi)展課堂展示活動(dòng)，此活動(dòng)形式是以學(xué)生小組為單位展開(kāi)的問(wèn)題研究，教師在實(shí)際應(yīng)用中將學(xué)生分為多個(gè)小組，給予相應(yīng)的任務(wù)或話(huà)題，讓多名學(xué)生圍繞同一問(wèn)題進(jìn)行分析并協(xié)助完成，這樣可以確保該小組學(xué)生的水平處于相對(duì)統(tǒng)一的位置，實(shí)現(xiàn)對(duì)彼此提升的促進(jìn)。例如：在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)商場(chǎng)進(jìn)貨的相關(guān)問(wèn)題，讓各個(gè)小組構(gòu)建相應(yīng)的模型，來(lái)解決影響商場(chǎng)銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題。不同的學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際的情況開(kāi)始研究，其研究的變量可能是商場(chǎng)的人流量與利潤(rùn)的關(guān)系、商品的銷(xiāo)售價(jià)格與利潤(rùn)的關(guān)系、商場(chǎng)的促銷(xiāo)活動(dòng)與利潤(rùn)的關(guān)系等多個(gè)角度，在提出這些角度之后，劃分不同的小組，利用課余時(shí)間開(kāi)展研究，并以小組為單位學(xué)生們結(jié)合問(wèn)題對(duì)相應(yīng)的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行討論，最后得出評(píng)價(jià)與解釋?zhuān)踔量梢钥紤]多因素對(duì)利潤(rùn)的影響，拓展學(xué)生的思維廣度，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的興趣。

（三）設(shè)計(jì)長(zhǎng)作業(yè)，完善課后活動(dòng)內(nèi)容，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程

為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師可以在課后活動(dòng)內(nèi)容中加入數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，充分利用課余時(shí)間，設(shè)計(jì)長(zhǎng)作業(yè)，使其與課堂活動(dòng)有效銜接起來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過(guò)程。與此相關(guān)的課后活動(dòng)往往以競(jìng)賽活動(dòng)或相應(yīng)的興趣活動(dòng)為主要載體形式，前者設(shè)置在不同時(shí)期階段，其可以作為學(xué)校固定時(shí)期舉辦的競(jìng)賽形式，間隔一兩個(gè)學(xué)期舉辦一次，鼓勵(lì)不同年級(jí)段的學(xué)生參與，其相應(yīng)參與形式可以參照校外舉辦的形式。此活動(dòng)形式注重建模的完整性，可以讓學(xué)生更好體驗(yàn)到參與的樂(lè)趣，且具備一定的自主性，學(xué)生可以結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)與自身處理能力選取不同難度或不同題目的活動(dòng)。在實(shí)際開(kāi)展中，教師可以鼓勵(lì)整體水平較高學(xué)生參與到校外的競(jìng)賽形式中，與不同學(xué)校或不同水平的學(xué)生共同參與，這樣可以提升整體過(guò)程的成就感，競(jìng)賽結(jié)束后可以舉辦相應(yīng)的班級(jí)討論會(huì)，向參與過(guò)或未參與的學(xué)生講述整體感受，講解參與經(jīng)驗(yàn)。課后環(huán)節(jié)是進(jìn)行綜合運(yùn)用的部分，非常考驗(yàn)學(xué)生自身的應(yīng)用能力，同時(shí)也為教學(xué)過(guò)程提供了另一種考評(píng)途徑。后者設(shè)置在對(duì)某一專(zhuān)題內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生實(shí)際掌握內(nèi)容的檢驗(yàn)，以此為基礎(chǔ)建立相關(guān)案例的學(xué)習(xí)。此環(huán)節(jié)的訓(xùn)練往往是將日常課堂內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)榻＿^(guò)程，以果農(nóng)進(jìn)貨水果種類(lèi)為例，其在實(shí)際應(yīng)用中分為這幾個(gè)環(huán)節(jié)：一是提煉相關(guān)信息，從原有問(wèn)題中找出有效地?cái)?shù)字內(nèi)容，將已知的信息確定出來(lái)。二是弱化難度，找出信息中缺少的關(guān)鍵內(nèi)容，利用假設(shè)形式將內(nèi)容簡(jiǎn)化。三是計(jì)算環(huán)節(jié)，將可利用數(shù)字或信息整理成相關(guān)關(guān)系式，并計(jì)算出各個(gè)變量的關(guān)系。四是對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋與評(píng)價(jià)。上述各個(gè)步驟可以幫助學(xué)生梳理正確的方法思路，也可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，在不斷練習(xí)中摸索出相應(yīng)規(guī)律，提升自我數(shù)學(xué)建模思維。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模思維是綜合多種數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)上從原有知識(shí)中建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將原有特殊的相應(yīng)符號(hào)轉(zhuǎn)化為自身知識(shí)的思維能力，對(duì)學(xué)生自身具有非常大的幫助。此能力的運(yùn)用不僅限于教材內(nèi)容中，教師要及時(shí)更新與開(kāi)發(fā)出多種形式的教學(xué)，首先從教學(xué)內(nèi)容入手，提升自身相關(guān)意識(shí)，在教材資料中挖掘出有效的信息并構(gòu)建成相應(yīng)的模型形式，提出相應(yīng)的問(wèn)題方法;其次要將日常教學(xué)活動(dòng)完整滲透至建模中，結(jié)合學(xué)生自身吸收能力與階段性成長(zhǎng)水平不斷調(diào)整講授方法，以此發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的功能作用，讓學(xué)生在不斷參與中感受到以數(shù)學(xué)建模解決自己難題的成功喜悅。

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