學習進階視域下的數學教學設計

范友彬

[摘 ?要] 學生的數學學習是一個循序漸進、螺旋上升的過程，是一個不斷進階的過程。基于進階學習理論視角，教師在教學中要注重學生數學學習的階梯性、連續性和結構性。通過學習進階，讓學生的數學學習從現象走向本質、從低階走向高階、從復制走向創新。通過進階學習，培育學生的高階思維、高階認知，最終彰顯數學學科的育人價值。

[關鍵詞] 小學數學;學習進階;教學設計

“學如登山”（三國·魏·徐干《中論·上·治學》）。學生的學習是一個循序漸進、螺旋上升的過程。在不同的學習階段，學生有著不同的具體學情。同樣，在不同的學習階段，學生有著不同的學習目標、要求等。“學習進階”理論正是基于這樣的學習事實而提出的。“學習進階”作為一個教育學概念，是由科學家史密斯首次提出。他認為，一個人的學習就是不斷地進階。他將“學習進階”定義為“學生在學習某一核心概念過程中所遵循的一系列逐漸復雜的路徑”。在小學數學教學中，學習進階就是指學生的學習從簡單到復雜、從現象到本質、從低階走向高階、從復制走向創新的過程。

一、拾級而上，注重學習的階梯性

美國教育心理學家布魯姆將學生認知領域的學習目標分為六個層次，即“記憶”“理解”“應用”“分析”“評價”“創造”等。學習進階，就是要求教師在教學中要搭建學習階梯，引導學生在學習中拾級而上。作為教師，不僅要了解學生的數學學習起點，對學生的進階起點進行分析，從而設定科學、合理、適恰的進階目標。通過進階起點、進階目標，研發、設計學生最佳的學習路徑。

比如“3的倍數的特征”（蘇教版五年級下冊）這一部分內容，是在學生學習了“2的倍數的特征”以及“5的倍數的特征”基礎上展開的。因此，教師可以對接學生的認知、活動經驗等，引導學生對“3的倍數的特征”進行猜想。這里，學生的一般性的猜想、舉例驗證等就是第一階段的教學。在這個階段中，學生首先猜想“3的倍數的特征”就是個位上是3的倍數，這個數就是3的倍數。通過驗證自我否定之后，學生再次猜想。在這個過程中，筆者積極跟進、適度介入，通過計數器、百數圖等輔助、催生學生的猜想。在學生形成“一個數是否是3的倍數可能與各個數位上數字的和有關”的新猜想之后，學生再次展開驗證。在完成一般性的對“3的倍數的特征”的認知基礎上，很多教師的數學課堂教學往往戛然而止，以至于學生對“2、3、5的倍數的特征”的認知始終知其然，而不知其所以然。筆者在教學中，進一步引導學生追問：為什么2、5的倍數的特征與個位上的數有關？為什么3的倍數的特征與各個數位上數字的和有關？從而催生學生深度思考、探究，促進學生的數學學習不斷進階。通過深入研討，學生認識到“對于任何一個數，判定其是否是某一個數的倍數的特征，都是將這個數分成兩個部分。其中一個部分一定是這個數的倍數，另一個部分可能是這個數的倍數。”如“2、5的倍數的數都是分成了整十數和個位上的數”，如“3的倍數的數都是分成了幾個9、幾個99、幾個999等以及各個數位上數字的和”。通過這樣的分析，學生深刻認識到“2、3、5的倍數的特征”，不僅知其然，更知其所以然。

在數學教學中，教師要立足于學生數學學習整體、全局，要站在學生立場上，對學生的學習進階進行整體性謀劃。要扎實階梯性目標、內容的建構，從而為學生的進階學習奠定堅實基礎。要避免低水平的重復，引導學生數學認知不斷地爬坡，充分經歷數學知識形成、發展、創新的過程。

二、瞻前顧后，注重學習的連續性

美國著名教育家杜威先生曾經這樣說，學生的經驗是連續性的。進階視域下的數學教學，不僅要求學生的數學經驗走向連續，而且要求學生的認知走向連續。只有基于學生數學學習的連續性，才能引導學生的數學學習不斷進階。學習進階不僅僅要解決學習者認知發展的路徑，還要解決學習者在學習過程中用以“踏腳”的具體“附著點”。“階”是一個迭代的過程，要以學情分析和把握為依據，通過瞻前顧后，注重學生的數學學習的連續性。

比如教學“多邊形的面積”（蘇教版五年級上冊）這一部分內容，基于學生已經學習的“長方形的面積”，筆者在教學“平行四邊形的面積”時，啟發學生進行推導。引導學生通過剪拼法將平行四邊形轉化成長方形;教學“三角形的面積”時，立足于學生已有的知識經驗，筆者啟發學生將三角形通過剪拼法轉化成長方形、通過倍拼法轉化成平行四邊形等;在教學“梯形的面積”時，由于學生已經掌握了長方形、平行四邊形、三角形等圖形的面積計算方法，因而筆者就致力于引導學生將梯形轉化成三角形、平行四邊形和長方形再求面積。由于學生擁有了剪拼、倍拼等活動經驗，因而都能主動地將梯形轉化成平行四邊形、長方形等。為了進一步引導學生的學習進階，筆者引導學生將梯形采用分割法轉化成兩個三角形。這樣的一種教學，充分體現了連續性的教學原則。學生在學習中獲得的不再是碎片式的數學知識，而是整體性的數學知識，即多邊形的面積推導都是采用轉化思想方法，將復雜轉化成簡單，將陌生轉化成熟悉，將未知轉化成已知等。連續性是學生數學學習的基本品性。瞻前顧后，讓學生的數學學習走向連續，這是學生學習進階的根本保障。在數學教學中，教師要樹立“大觀點”，從“大視角”觀照學生的數學學習，從更大的、更長遠的時間跨度上來實現對學生數學知識的認知建構。

在數學教學中，教師不僅要關注知識“點”的提升，更要將相關的知識點串接成線、連接成面、結構成體。在數學教學中，教師要引導學生通過不同的“階”連續攀爬，從而讓學生從低階學習邁向高階學習。作為教師，要盡可能地避免作為教學工作者的“一廂情愿”的單向設計，而應當讓教學踩著學生“學的節拍”，更好地為學生的“學”服務。

三、左顧右盼，注重學習的結構性

學生數學學習的進階，不僅是學生數學學習的結果性標志，更是過程性標志。作為教師，在數學教學中不僅要瞻前顧后，更要左顧右盼。瞻前顧后，就是注意數學知識點的前后學習的連續性，而左顧右盼就是注重數學知識之間的關聯性、結構性、系統性。北京師范大學郭玉英教授深刻地指出：“在一段時間內，學生針對某個具體概念的學習需要經歷從經驗到映射到關聯到系統到整合的變化。”顯然，系統化、結構化的數學認知還只是學生整合學習的基礎。

整合是一種跨越知識點建構知識網的過程。作為教師，不僅要注重知識點的本質，更要由點及網，幫助學生建構良好的認知結構。數學教學中，教師要設定不同的階段性的能級水平，讓學生的數學學習成為一種不斷的“躍遷過程”。比如教學“公頃和平方千米”（蘇教版五年級上冊）這部分內容，基于學生對平方米、平方分米、平方厘米等面積單位的認知，筆者引導學生到操場上感受“邊長為100米的正方形的大小”，從而幫助學生建立公頃的表象，形成對公頃和平方米的進率的認知。同時，引導學生思考平方千米的大小，并推導平方千米和公頃的進率。在此基礎上，將其他面積單位包括公畝等引入其中。不僅如此，筆者還將系列長度單位包括百米、十米等引入其中，從而讓學生認識“相鄰兩個長度單位之間的進率是10，相鄰兩個面積單位之間的進率是100”。這樣的結構化學習，為學生后續學習體積單位奠定了堅實的基礎。長度、面積、體積等知識看似不同，實則蘊含著相同的本質，都是要去測量被測量對象中所包含的測量單位的個數。結構性學習讓學生不僅學會了“計算”，同時也對它們的本質有了更為深刻的認知。

學習進階，對于學生的意義和價值正如北京師范大學郭玉英教授所指出的“是學生學習數學所需要經歷的‘攀爬’”。學習進階視角下的小學數學教學，關注學生認知水平和思維發展的雙重提升。作為教師，不僅要注重學生的知識進階、認知進階、思維進階，更要滲透數學的思想方法，滲透學習方法、策略等。通過進階學習，培育學生的高階思維、高階認知，最終彰顯數學學科的育人價值。

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