整合資源，增強習題設計的有效性

劉嫣

[摘? 要] 習題設計和研發應注重引導學生的知識進階、知識融合，啟迪學生的數學智慧。習題不僅能幫助學生鞏固數學知識，而且能質化、活化數學知識，促進學生對數學知識的理解。在小學數學教學中，基礎性設計能夯實學生的知識根基，綜合性習題能促進學生的知識遷移，探究性習題能促進知識創新。習題設計要立足于數學，以學生為中心，以發展為核心。通過習題設計，來提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

[關鍵詞] 小學數學;習題資源;資源整合;習題設計;有效性

習題是數學教學的重要組成部分，它不僅能幫助學生鞏固、質化、活化數學知識，促進學生對數學知識的理解，而且能培育學生的數學思維，提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。在小學數學教學中，教師要整合相關的課程資源，包括教材資源、經驗資源、生活資源等，增強習題設計的有效性，同時還可以通過一題多問、一題多變、一題多解等方式，來讓習題設計經濟化、效益化。

一、基礎性習題，夯實知識根基

習題設計，首先要圍繞課堂教學內容展開。一般來說，在教學完每一個知識點、知識章節之后，教師都應該安排一定量的基礎性習題，以鞏固學生的數學認知。基礎性習題，有助于夯實學生的知識根基。一般來說，數學教材中的絕大多數習題都是基礎性習題。基礎性習題，應當具有一種內在的“齊性”，應當發揮“正能量”的導引、示范作用。這種導引、示范作用不僅體現在內容層面，更體現在形式層面，如書寫的格式、書寫的步驟等。

基礎性習題應當面向全體學生，因而要求其具有普適性。比如教學“化簡比”（人教版六年級上冊）之后，筆者分層次出示了“整數比”“小數比”“分數比”和“混合比”，引導學生化簡比。針對不同數組成的比，引導學生鞏固、提煉化簡方法。比如“整數比要同時除以它們的最大公因數”，比如“小數比要先同時乘10，100，1000……再化成最簡整數比”，比如“分數比要同時乘分母的最小公倍數”，比如“混合比要先化成分數比或小數比，再將分數比、小數比化成最簡單的整數比”，等等。基礎性習題，注重深化學生對概念本質的理解，注重深化學生對法則、定理等的把握。在基礎性習題學練中，習題通常都是以題組的形式出現，從而形成有效的聚焦。換言之，基礎性習題的設計，本質上是一種“聚類分析”。通過聚焦集中的題組學練，讓學生牢固地掌握數學知識。“一例題、一集結”，是基礎性習題的主要特征。借助于這個“一例題、一集結”，能有效地鞏固學生的數學基本知識、技能，讓學生獲得基本活動經驗，形成基本的數學思想方法。

基礎性習題是學生數學學習的根基，必須堅持不懈地筑牢、抓實。小學數學是一種質性數學，對于學生的發展具有筑基的性質。由于受年齡和心理特征的影響，小學生掌握一個知識點、形成一項數學技能都需要一個過程。題組設計要循序漸進，引導學生數學學習不斷進階。教師要通盤考慮，通過對資源的集結、整合，讓學生有所感悟、有所得。

二、綜合性習題，促進知識遷移

綜合型習題的安排，應該著眼于學生數學知識的具體應用。數學知識是總體性、概括性、抽象性的，如何將數學知識應用于具體的問題解決，是教師在習題設計中要考慮的問題。綜合性的習題，就是要著眼于學生知識應用力、類比遷移力的培育。在學生實踐綜合性習題的過程中，教師要主動跟進、適度介入，不僅要激發學生的數學思維，催生學生的數學想象，而且要致力于培育學生的說理表達能力。如“我是怎樣做的”“我為什么這樣做”“我還可以怎樣做”等等。通過這樣的表達，還能培育學生的數學反思力、批判力。

相對于基礎性的習題，綜合性習題的學練旨在培育學生數學問題解決的靈活性。如果說，基礎性習題注重聚類分析，那么，綜合性習題則側重于分類分析。編織綜合性習題，要求教師對相關資源進行整合，對習題進行深度加工，讓習題具有開放性、啟迪性。相對于基礎性習題，編織綜合性習題需要教師付出更多的勞動，投入更多的智慧。比如教學“分數乘法應用題”（人教版六年級上冊）時，筆者將行程問題、工程問題等引入其中。在設計行程問題時，筆者將之分成兩類，一類是相遇問題，另一類是追及問題;在設計工程問題時，筆者也將之分成兩類，一類是合作性的工程問題，另一類是搗蛋型的工程問題。在解題過程中，筆者引導學生將之對比，讓學生感悟到“相遇問題”與“合作工程問題”的內在解題思路、方法等的一致性，如“速度和×相遇時間=路程和”“工效和×工作時間=工總和”;“追及問題”與“搗蛋工程問題”的內在解決思路、方法的一致性，如“速度差×追及時間=路程差”“工效差×工作時間=工總差”，等等。值得一提的是，過去有專家認為，像這樣的習題（一池水，單開甲管12小時放滿，單開乙管15小時放完。如果同時打開兩管，多少小時注滿）繁難偏舊，是一個偽問題。對此，筆者不敢茍同。在生活中，像這樣相對立的事情很多，比如人體細胞的同時誕生與死亡，比如牧場不斷長草和草被牛羊吃掉，比如世界上每時每刻都同時有人出生和有人死亡，等等。有時候，生活中不存在的可能，在數學中還有可能存在。比如在出示這樣的習題時，筆者引導學生用假設的策略來解決問題：習三支鉛筆和一支鋼筆一共需10.8元，鋼筆的單價是鉛筆的6倍，鋼筆和鉛筆的單價各是多少？在假設成全都是鋼筆時，三支鉛筆就可以看成是0.5支鋼筆。

設計、研發綜合性習題，教師還要注重變式的應用。在小學數學教學中，通過一組題可以生發出幾類題。通過綜合性習題的實踐，能引導學生將相關的數學知識串接成線、連接成片、編織成網。綜合性習題，不僅有助于學生的知識遷移，而且有助于學生感悟數學的思想方法，從而能在綜合性的習題實踐中舉一反三、觸類旁通。

三、探究性習題，促進知識創新

數學習題教學，不僅要注重數學知識本身，更要注重對學生思維能力的培養。探究性習題，著眼于發展學生數學思維，促進學生知識創新。通過探究性習題學練，能有效地培養學生數學的眼睛，讓學生擁有數學的大腦。借助于探究性習題學練，能有效地引發學生的數學猜想，發展學生的合情推理、演繹推理能力。教師要引導學生積極尋求多元化的習題解決策略，從而發展學生的創新性思維力。

設計習題不能搞機械的、盲目的“題海戰術”，而必須注重習題的開放性、科學性、挑戰性和思維性，必須注重通過習題催生學生的反思。教師在選擇練習題時，應摒棄機械的“題海戰術”， 應注重練習本身的開放性、科學性、挑戰性和思維含量。設計探究性習題，要能激發學生提出問題的熱情，以謀求學生最大空間的發展。設計探究性習題還要打破學生思維的固有格局，激發學生的創新思維。探究性習題能為學生打開一扇窗，讓學生窺見不一樣的精彩。比如教學“可能性”（人教版五年級上冊），筆者在學生認識了可能性之后，設計了這樣的習題：在體育比賽中，你覺得用拋硬幣的方法決定誰先發球公平嗎？學生異口同聲地說“公平”。在此基礎上，筆者出示了外國數學家拋硬幣的數據。再次催生學生思考：為什么這些數學家做了這么多的實驗，正反兩面朝上的次數沒有一次完全相同？有學生說，可能性不等于拋的次數相等;有學生說，可能性是一種數學理論;有學生開始對可能性相等表示懷疑。基于此，筆者出示了英國《每日郵報》刊登的美國斯坦福大學教授伯爾斯·迪亞科尼的研究成果《拋硬幣正反面概率不一樣》。通過閱讀，學生認識到，拋硬幣前哪面朝上，落地后該面朝上的概率高1%。通過閱讀，開闊了學生的視界，讓學生感受、體驗到創新就是在平凡中發現不平凡。

綜上所述，習題設計、研發，不能將知識人為地隔斷，而應注重引導學生知識進階、知識融合，啟迪學生的數學智慧。好的習題設計要立足于數學，以學生為中心，以發展為核心，從而將學生的數學思維引向縱深之處，讓學生的數學學習向知識更深處漫溯。同時，教師要將相關的資源利用、再利用，放大每一道習題的功能，深度追問每一習題的意義，從而彰顯每一習題的價值。

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