提升小學生運算能力的實踐探索

陳晶

[摘? 要] 我國學生的計算能力一直都被全世界認可，但教師過多地把關注的焦點放在計算是否正確與方法和技巧是否熟練上，也被人們所詬病。我們要追求的是具有核心素養（理解算理、含有數學思想）的運算能力。因此，提升學生的運算能力，必須發展學生的思維能力。

[關鍵詞] 小學數學;運算能力;數學基本思想

數學是研究數量關系的一門學科，“數與代數”領域占小學數學課程的比例較高。長期以來，“計算又對又快”是評價學生運算能力的重要指標。因此目前不少運算教學還停留在“基本技能”層面，一味地追求效率、正確率。特別是在部分教師的觀念中，認為計算教學最簡單，學生做著做著就會了，算著算著就對了;教師不必大費周折，簡單演示一遍計算過程，然后學生鸚鵡學舌地練習，學生就能熟練掌握計算方法。然而反復、機械的訓練容易產生負面影響。例如，“25×4÷25×4=1”是小學生普遍存在的運算錯誤。因為學生過度接受訓練，一看到25和4就產生了條件反射，腦海馬上浮現了100。接受式學習、機械式練習的課堂模式，無法培養出創新型人才。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心詞中，運算能力是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力不是簡單的加、減、乘、除的計算，而是觀察能力、理解能力、推理能力、表達能力等綜合能力。例如，計算0.7×72+5.6，有個別學生是這樣計算的：0.7×8×9+5.6=5.6×9+5.6=5.6×10=56。若不具備很好的運算能力，則無法敏銳地觀察和靈活地解決。因此，運算教學要從簡單的計算技能練習轉向學生運算能力的提升和學生思維品質的提高。

一、借助幾何直觀理解算理，提升運算能力

華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”借助幾何直觀讓學生對運算本質的認識與理解不再停留在感性認識階段，而是創新思維和高階思維的結果，更是理性認識的升華。

在以往計算教學過程中，教師的教學重心往往落在學生會算上（算得又對又快），即更關注學生對算法的掌握（這是程序性思維），而忽略了學生對算理的理解。以人教版三年級上冊第四單元“萬以內的加法”為例，部分教師特別重視學生對算法的總結，讓學生回顧“271+31”是怎樣計算的，即使學生總結算法時指著算式“271+31”說“末位對齊”，老師還是不厭其煩地糾正：“不是末位對齊，是相同數位對齊。”在教學時，我們是否可以不要過多地在意學生算法概括的標準化，而是應該探究算法背后的算理呢？此時與其咬文嚼字地表述算法，不如直達數學本質地追問：“為什么要對齊？”教師可以出示各級計數單位的立方體模型（如圖1所示），學生直觀地觀察一層對應的計數單位“百”，一行對應的計數單位“十”。如果是首位對齊，那么就是2層立方體模型加上3行立方體模型得到“5”，這個“5”既不表示5層，也不表示5行。以此類推，7行立方體模型加上1個立方體模型，結果“8”既不表示8行，也不表示8個。如果是相同計數單位對齊再相加，那么3行加7行得到10行，10行滿一層應該向前進一位;1個加1個得到2個。它們表示的都是相同計數單位的累加。通過幾何直觀可以把復雜、枯燥的算法文字變得簡明、形象，有助于學生深刻地理解算理。從起步的會算和知道，走向深層意義和內在本質的理解。史寧中教授曾說：“數學教育的根本是培養學生的數學直觀。”依賴幾何直觀可以讓學生“看”出運算中蘊藏的算理，并正確地進行運算。

分數是公認的小學階段學生學習的難點，分數的四則運算借助幾何直觀能讓學生更好地理解蘊藏在算法背后的算理。筆者在教學“分數乘法”時，有學生提出：“為什么分數乘法要分母相乘作分數分母，分子相乘作分數分子？”還有學生通過畫簡單的長方形圖（如圖2所示）解釋×的算法，其他學生觀察圖形后得到啟發：“分數乘法因為是分了又分，一共分了5×2=10（份），所以是分母乘分母;因為是取了又取，一共取了4×1=4（份），所以是分子乘分子。”學生運用數形結合思想，借助直觀圖形解釋分數乘法的算理，提高了課堂教學效率，提升了運算能力。

二、設計挑戰性問題，提升運算能力

史寧中教授提出：“為了培養學生的思維能力，為了發展學生的核心素養，應當設計一個開放的、有挑戰性的問題。”在運算教學中，設計有挑戰性和多元化的問題容易激發學生的探究興趣，讓枯燥的計算變成有意義的探究，從而提升學生的運算能力。例如，教學“整數乘法運算定律推廣到小數”，筆者在課堂“鞏固練習”設計了這樣一道開放性的挑戰題：“請補充算式5.3×0.25_________，并計算，使算式可以簡便計算。”該道題是乘法運算定律的逆向變式，改變了傳統單一的解答，答案是不確定的、多元的。該道題不能簡單地應用某個乘法運算定律解決，真正做到讓學生一題多練，體現解決問題策略的多樣化。學生深刻理解乘法運算定律后，能綜合運用所學知識和技能，尋求合理、簡潔的運算途徑解決問題。課堂上先讓學生觀察算式中數的特點，然后讓學生獨立思考、小組交流后創造出多種解題方法。方法一，乘法結合律：5.3×（0.25×4）;方法二，乘法分配律：①5.3×0.25+0.25×4.7;②5.3×0.25-0.25×1.3;③5.3×0.25+5.3×0.75。學生能分析算式中數的特點，從整體考慮各個運算定律之間的聯系與區別，從而培養學生解決問題的能力、應用意識和創新意識。學生的整個學習過程告別了“記憶、理解、應用”的低階認知思維的過程，達到了《布魯姆教育目標分類法》中的“分析、評價、創造”的高階認知思維的過程。課堂上的挑戰性、開放性問題，能夠打開學生的思維空間，發散學生的思維，讓學生對運算的理解更加透徹，從而提升學生的運算能力。

三、滲透數學思想，提升運算能力

史寧中教授指出：“數學基本思想歸結為三個核心要素，即‘抽象、推理、模型’。”人民教育出版社小學數學編輯社王永春主任認為：“抽象、推理、模型中最重要的是邏輯推理，這是數學本質里最核心的部分。”數學運算的算理與算法的本質都是邏輯推理。

教師在運算教學中應滲透歸納推理，例如，“兩位數乘兩位數的筆算乘法”是在口算乘法、多位數乘一位數的筆算乘法的基礎上，先通過學習12×20、14×12、48×37等幾個有限例子再探索計算的方法，接著讓學生小組交流，然后總結出算法。學生經歷這個過程得到運算法則，其實就運用了歸納推理。小學數學教學中發現規律（如分數的基本性質、積的變化規律），通常是先出示一些例子，然后觀察、猜測、驗證（舉更多的例子），這其中也運用到了歸納推理。筆者在教學生如何發現規律時，嘗試讓學生先觀察“13+31=44，29+92=121，54+45=99”這組算式，然后小組交流、討論：“你有什么發現？”全班開始匯報發現的算式規律：“加數都是兩位數，兩個加數個位與十位交換位置，加數的數字不變。”還有學生補充道：“它們的和都是11的倍數。”此時引導學生大膽猜想并歸納結論：“將一個兩位數的個位數與十位數交換后得到一個新數，它與原數相加，和是11的倍數。”之后讓學生自己嘗試舉幾個不同的例子，驗證結論是否正確：56+65=121（11的11倍），23+32=55（11的5倍）……同樣在發現算式規律的教學中，也滲透了歸納推理。在學生學習了整數運算定律后，教學小數、分數的運算定律時，通過與整數的運算定律類比得到整數運算定律在小數、分數中同樣適用。學生通過大膽猜想、舉例、觀察、驗證，最后得到結論。此時在運算教學中就滲透了類比推理的數學思想，提高了學生的運算能力。張景中院士曾說：“計算是具體的推理，推理是抽象的計算。”推理是重要的思想和方法，是數學基本的思維方式。無論是找規律、理解算理、總結法則等，都運用著推理的基本思想，從而促進學生運算能力的提升。

運算不單是一種技能，而且是一種基本的數學方法和數學意識。因此，在數學學習中，通過數的運算能促進、加深對所學數學知識的理解，發展數感，提升學生的思維品質。

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