從數學概念教學設計的視角談抽象思維能力培養

付欣

[摘 ?要] 數學概念教學設計的視角下進行抽象思維能力的培養是高效的. 文章介紹了概念教學設計與抽象思維能力的含義，并以“曲線與方程”一課為例，闡述了數學概念教學設計視角下抽象思維能力培養的教學實踐及思考.

[關鍵詞] 數學概念教學;抽象思維能力;曲線與方程;培養

[?] 問題的提出

高中數學課堂教學中，教師不僅需要關注學科知識，還需要關注到學生的感知、體驗和思維，更需要關注到學生抽象思維的發展. 這是因為高中生的腦力勞動已經具有一定的特征，抽象思維已經逐漸成形，這就對教師知識傳授的質量提出了較高的要求. 那么，該從哪個角度切入呢？數學概念教學于知識的傳授和抽象思維的提升來說意義重大. 筆者認為，從數學概念教學的視角下加以培育是高效的.

[?] 數學概念教學設計與抽象思維能力

數學概念是在實踐中高度概括而成的，是知識體系的基本元素，是數學抽象的起點. 正是由于概念的高度概括，才使得數學概念難教和難學[1].

抽象思維是一種以概括和推理的形式進行的一種思維，就是從具體事物中抽象和概括出共同的、本質的方面，而舍棄非本質的、個別的方面. 從學生的思維發展的進程可以發現，學生都是由形象思維逐步向抽象思維過渡的，這是高中生思維發展的需求. 不同的概念內容中的概括和抽象適合抽象思維教學，這樣還能完善學生的知識結構，提高數學核心素養.

[?] 抽象思維能力培養的案例及反思

正是由于概念教學是發展學生抽象素養的重要載體，以探究為方式的概念教學是發展學生抽象思維能力的有效方式. 因此，教師在概念教學中應力求從教學內容本身去探尋概括和抽象的“食糧”， 推動抽象思維的發展. 下面結合“曲線與方程”一課為例，從以下方面來談如何培養學生的抽象思維能力.

1. 獨特的情境——數學抽象的起始點

師：大家來看這張圖片，有沒有一種熟悉感？（PPT展示百歲山廣告的插圖）

生1：認識，這是百歲山.

師：這個廣告的背后有著一個沁人心脾的故事，大家有沒有興趣聽一聽？

生（齊）：有.

師：數學家笛卡爾和瑞典公主克里斯汀相愛了，但卻無法得到國王的祝福. 笛卡爾無奈，就書信一封給公主，信中只有這樣的一個公式“x2+（y-）2=1”，你們猜這個公式是什么意思？代表一個什么圖形？

生：不知道. （大家一臉茫然）

師：聰明的公主在建立坐標系和作圖之后，得到了一條動人的心形線，立刻感動得淚流滿面. （學生立刻發出“哇”的一聲歡呼）

師：事實上，一條曲線對應一個方程，今天這節課就讓我們一起來了解二者之間是一種什么樣的對應關系……

反思：在給出概念時，越能讓學生覺得“很有意思”，就越利于概念的構建，可以促進學生更多的數學思考，更大可能地讓抽象發生. 因此，在教學過程中采用獨特而有趣的情境可以激活聯想，讓學生感覺到概念的“回味無窮”，從而為進一步抽象奠基，使得之后的構建與抽象水到渠成.

2. 歸納和類比——數學抽象的著力點

師：在平面直角坐標系中，有一條直線平分第一和第三象限，試著寫一寫它的直線方程.

生2：x-y=0.

師：無數個點組成了一條直線，那么方程x-y=0的解就有無數個. 這些點與方程的解有何關系？

生3：直線上點的坐標滿足方程.

生4：坐標是方程的解的點在直線上.

師：設點M（x，y）在直線上，則有

x=

y. 又因為x-y=0平分第一和第三象限，則有x=y，x-y=0，滿足方程x-y=0.

反之，滿足方程x-y=0的解（x，y）有x-y=0，則有x=y，所以（x，y）所對應的點在直線上.

師：在平面直角坐標系中，試求出以（a，b）為圓心、以r為半徑的圓的方程.

生5：（x-a）2+（y-b）2=r2.

師：設點M（x，y）在圓上，則有=r，平方后可得（x-a）2+（y-b）2=r2，則圓上點的坐標都是方程的解.

（x，y）為方程（x-a）2+（y-b）2=r2的任意一解，開方則有=r，以方程的解為坐標的點都在圓上.

師：之前所學的橢圓+=1中，也可以得出與直線和圓相同的結論，這就是我們熟悉的特殊曲線，從中可以得到更一般的情形.

反思：“曲線與方程”的概念難懂、抽象，其外延對于學生來說更是陌生的，而課堂中若教師不能給予學生足夠的時空思辨，則會導致掌握不透或理解不清. 通過復習一系列曲線與其方程的對應關系，引導學生親歷數學抽象過程，在類比中抽象和概括，從特殊到一般地進行概括，從而自我建構起概念.

3. 反例指引——數學抽象的助推點

師：曲線：過點（1，1）的直線，其斜率為1;方程：=1. 上述曲線與方程可以相互表示嗎？

生6：不能.

師：為什么？

生6：因為點（1，1）并不在直線上.

師：由此可見，多一個是不行的.

師：曲線：△AOB中AB上的中線，且O（0，0），A（1，0），B（0，2）;方程：x-y=0. 上述曲線與方程可以相互表示嗎？

生7：不能. △AOB的中線是一條線段，而方程x-y=0所表示的是一條直線.

師：由此可見，少一個也是不行的. 所以，只有在一一對應的情況下才能確定.

反思：從直觀到抽象的過程，需要理解其內涵和外延. 而“曲線與方程”定義中兩個關系的規定是本節課的難點問題，學生需充分認識到二者缺一不可. 事實上，學生的腦海中早已積累了實際模型，也具備了感性認知，這里以反例為指引充分揭示其中的矛盾，促使學生在探究中獲得對概念的理解，在反例的溝通中生成對概念的應用. 這樣感悟而得的思維才是深刻的，這樣逐步抽象得出的結果才是具有價值的，才能讓學生理解深刻.

4. 開展探究活動——數學抽象的生長點

例題：證明：圓心是M（3，4），半徑是5的圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=25，并判斷點O（0，0），A（-1，0），B（1，2）是否在該圓上.

反思：探究活動是數學學習的重要方式，建構主義更加強調“做中學”，因此，學生積極的參與和獨立的思考是不可或缺的，教師不可以將抽象的結論直接拋出，而應讓學生通過自主參與，利用自己的深度思考，去發現和習得知識，形成抽象的結果. 這里，數學知識資源豐富，運用好合作學習和分組匯報的方式，讓學生在積極思維和自主探究中進行抽象思維的碰撞，積蓄抽象思維的深度力量，獲得深刻的抽象經驗.

[?] 一些感悟

1. 把握概念教學的內容，凸顯直觀到抽象的過程

高中生有著近十年的學習經歷，并掌握了一定量的知識，具有一定的抽象能力. 教學過程中，教師應引導學生自主探究，凸顯直觀到抽象的過程，激活學生的數學思維，促使學生能夠自主地進行數學抽象，更好地孕育數學抽象素養的生長.

2. 不能將抽象思維能力孤立培養

任何方法都不是孤立存在的，只有抽象沒有類比也無價值可言，因此在概念教學中要努力讓學生經歷“類比+概括+抽象”的數學活動. 在概念教學中，注重發展抽象思維能力時也應讓學生對數學探究和歸納概括的應用與價值有清醒的認識.

3. 只有經歷探究過程，才能積淀有價值的抽象活動經驗

教學的過程就是經驗改造和積累的過程，在抽象思維培養的過程中，教師的情境創設需獨特而開放，給學生足夠的探究和思考的時空，讓學生自主自發地進行抽象. 在抽象的過程中發揮教師的引導作用，讓學生在不斷經歷豐富的抽象過程中積淀充滿感悟的抽象經驗[2].

總之，抽象素養是高中數學核心素養之一，而需要以概念課教學為依托，在教學過程中水到渠成地孕育. 通過概念課教學[3]. 讓學生經歷數學抽象的過程，讓學生在體驗數學情境、類比歸納、聯系反例和經歷探究活動的過程中提升數學抽象素養.

參考文獻：

[1] ?李祎，曹益華. 概念的本質與定義方式探究[J].數學教育學報，2013，22（6）.

[2] ?張永明. 高中生數學抽象概括能力培養的途徑與策略[J]. 數學學習與研究，2015（5）.

[3] ?甘小生，李朝暉. 在探究中培養學生抽象概括能力——以《平行與垂直》教學為例[J]. 湖北教育（教育教學），2017（3）.

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