以問題為導向的數學教學設計實踐與反思

孫玲

[摘 ?要] 以“等比數列”起始課為例，嘗試進行以問題為導向的教學設計實踐與反思，以牽引學生的思維，在問題的解決中，提升學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 問題;導向;教學設計;反思

問題是數學的心臟. 離開了數學問題，數學教學如一潭死水，無法激起思維的漣漪. 因此，數學教學設計可以問題為導向，牽引學生的思維，在問題的解決中，提升學生的數學核心素養[1]. 以“等比數列”起始課的教學設計實踐為例，談談筆者的做法與想法，供大家參考.

[?] 以問題為導向的等比數列教學設計

1. 創設問題情境，初識等比數列

師：前面我們已經學習了等差數列，并研究了等差數列的一些性質. 其實等差數列還有一個“孿生兄弟”叫等比數列. 什么是等比數列呢？請看下面的問題：

（1）細胞是如何分裂的？假如開始只有一個細胞，且每分鐘分裂一次，那么一分鐘后有幾個細胞？兩分鐘后有幾個細胞？三分鐘后有幾個細胞？……n分鐘后有幾個細胞？

（2）把剛才得到的一串數據按序排列得到一個數列，它具有什么特征？

設計意圖：從學生熟悉的問題入手，引發一串神奇的數字，激發興趣，培養分析與歸納的能力.

生1：剛才得到的一個數列2，4，…，2n，具有如下特征：從第二項開始，后一項與前一項的比值都是2，難道它就是等比數列？

師：對！這個數列就是等比數列. （學生嘗試歸納等比數列的定義，并打開課本，看自己給等比數列下的定義是否與教材上的一致，并推導等比數列的通項公式a=aqn-1（q≠0））

師：通過探究，我們已經知道了什么是等比數列，那么你能否說出等比數列的具體例子.

生2：數列3，1，，，，…是等比數列，它的公比是，它的通項是a=3×

=32-n.

生3：數列-1，1，-1，1，-1，1…是等比數列，它的公比是-1，它的通項是b=（-1）n.

生4：數列a，a，a，a，…是常數數列，是等差數列，也是等比數列，它的公比是1，它的通項公式是c=a.

生5：我對生4的觀點有異議，我認為常數數列不一定是等比數列，非零的常數數列才是等比數列，所以必須要加上條件：a≠0.

師：生5的回答非常好，等比數列中不含零項，因此，等比數列的公比永不為0.

設計意圖：數學概念或定義，是數學學習的起點，但對概念或定義不可死記硬背，應靈活應用. 讓學生舉例等比數列，目的就是考查學生是否真正理解了等比數列的定義，包括等比數列的內涵與外延.

2. 借助類比思想，再探等比數列

師：剛才我們已經用歸納的方法得到了等比數列的通項公式. 那么我們能不能用更嚴謹的方法來推導這個公式呢？

探究1：對照等差數列推導通項公式的方法，觀察等比數列相鄰兩項之間有什么共同特征，你能用符號準確地表示出來嗎？

生6：等比數列的共同特征：=q，=q，=q，…，=q，=q（n≥2）. 等差數列是用累加法推出通項公式的，而等比數列可以用累乘法推出通項公式，即···…·=qn-1?a=aqn-1.

師：等差數列有等差中項，任何兩個數都有等差中項，即實數a，b的等差中項是，那么等比數列也有類似的結論嗎？

探究2：與等差中項的概念相類比，若在實數a與b中間插入實數A，使a，A， b成等比數列，則A必須滿足什么條件？實數A唯一嗎？是否任何兩個實數都存在這樣的項？

生7：由等差數列的等差中項可以類比得出等比數列的等比中項，即A2=ab，a=aa，但A不唯一，應該有兩個，即±. 既然ab是被開方數，所以a與b必須同正或者同負，否則它不存在等比中項. 從這里我們可以發現，除首項外，等比數列任何一項的前后兩項一定是同正或同負.

設計意圖：通過引入探究1，啟發學生利用等差數列方法去解決等比數列的通項問題，此外滲透類比思想，培養學生直觀想象素養.通過引入探究2，啟發學生利用等差中項的概念去得出等比中項的概念，并再次滲透類比思想. 通過兩者的比較，發現認識的方法相同但本質不同.

師：到此為止，我們發現等比數列與等差數列看似孿生兄弟，但它們還是有著根本的區別，這也驗證了那句老話：一母生九子，九子各不同. 但無論如何，它們還是“近親”，你能否依據等差數列的有關性質，提出類似的關于等比數列的性質，并加以證明.

探究3：等比數列有哪些性質？（開放題）

生8：在等差數列{a}中有：若m+n=p+q，則a+a=a+a;類似地，在等比數列{b}中有：若m+n=c+d，則b·b=b·b. 證明如下：設等比數列{b}的公比為q，則b·b=bqm-1·bqn-1=bqm+n-2，b·b=bqc-1·bqd-1=bqc+d-2. 因為m+n=c+d，所以b·b=b·b.

生9：既然等差數列的通項可以寫成a=a+（n-m）d，那么等比數列的通項就可以寫成bn=bmqn-m……

生10：若一個數列是等差數列，那么它的奇數項（偶數項）也依次構成等差數列，于是等比數列中類似有：若一個數列是等比數列，那么它的奇數項（偶數項）也依次構成等比數列.

……

設計意圖：按照通常做法，這個內容應放在下節課學習，但數學上的有關性質往往都是定義引發的，這里趁熱打鐵不僅體現了學生思維的延續性，更能使他們對等比數列的認識更清晰. 另外，具有發散性的問題也更能引發學生的思考.

3. 理論聯系實際，編擬相關問題

師：學到現在，我們已經對等比數列有了一個清晰的認識，那么你能否類比等差數列編擬幾個相關的等比數列的題目，并作出解答？允許合作完成.

十分鐘后，學生交流.

生11：（1） a=2，且2a=4a，求a.（2）在等比數列{a}中，a=2，a=32，q=2，求n.

解：（1）由2a=4a和a=2知，數列{a}是首項為2，公比為2的等比數列，所以它的通項公式是a=2n;（2）由題意有32=2×2n-1?n=5.

生12：假如某等比數列的第3項是12，第4項是18，那么它的第1項和第2項分別是多少？

解：設這個等比數列的第1項是a，公比是q，那么aq2=12①，aq3=18②，由 ②÷①得q=③. 把③代入①得a=，因此a=aq=×=8.所以這個數列的第1項和第2項分別是與8.

……

設計意圖：一般來說，新授知識完成后，往往由教師給出相關問題讓學生解決，以達到鞏固新知的目的. 但這里采用了學生“自問自答”的形式，更能體現出學生學習的主動性與主體性，也切實可行[2].

4. 課堂小結與作業布置

課堂小結：（1）等比數列的概念和等比數列的通項公式;（2）思想方法：類比等差數列也可以得到等比數列概念和通項公式.

作業布置：（1）網上搜集實際生活中與等比數列有關的問題;（2）編擬兩道與本節課內容有關的題目，并加以解答.

[?] 教學反思

任何科學的發展都離不開問題的產生與解決. 筆者將等比數列的起始課設計成問題，并通過問題的遞進驅動課堂教學，用聯系的觀點和類比的方法揭示了數學知識的發生與發展過程. 一是問題的設計遵從教材，遵從學生的認知規律，且由淺入深，把學生的思維引向深入;二是本節課的設計又不拘泥于教材，將等比數列的性質提前到本課中學習，更能體現出數學學習的連貫性. 三是本節課始終以問題為主線，遵循以生為本的原則，引導學生思考，并付諸實踐[3]. 同時，注重學生學習主動性的激發，把提問題的權力交給學生，讓他們培養發散性思維，取得較好的教學效果.

教學設計是課堂教學的謀劃與體現. 只有不斷實踐與總結，才能日臻完美，才能與學生的認知產生共鳴. 需要注意的是，以問題為中心的教學設計，問題不能浮于表面或流于形式，否則教學設計只是一種設想，無法產生效益，無法把學生推向核心素養的軌道.

參考文獻：

[1] 于鶯彬. 基于問題導向的高中數學核心素養培養策略[J]. 數學通訊，2019（05）.

[2] 陳文彩，蘇建偉. 高中數學課堂自主學習問題設置的探究[J]. 新教育，2017（07）.

[3] 呂秀芹. 問題導向法在高中數學教學中的實踐應用[J]. 高中數理化，2015（16）.

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