淺談從推理的視角思考小學計算教學

摘 要：“對算理的理解上升到推理的高度，才能達到事半功倍的效果。”小學計算教學中培養學生推理能力可以通過研讀教材，分析教材中計算推理的足跡;根據教材編排，在計算教學中讓學生經歷推理過程;根據學習情況，在練習設計中滲透推理思想。

關鍵詞：推理;計算教學;尋找;經歷;滲透

王永春教授認為：“對算理的理解上升到推理的高度，這樣才能達到事半功倍的效果。計算教學的價值不只是計算的正確與熟練，理解、體會計算中的原理、推理的思想，知識間的邏輯關系等才是更為重要的。”如何在小數計算教學中培養學生運用推理獲得算理的理解與算法的掌握？筆者結合教學實踐進行了新的思考。

一、 在教材中尋找推理的足跡

數的計算內容貫穿在小學計算學習的全過程，從知識結構角度分析，數的運算可分為整數的計算、小數的計算、分數的計算;從運算法則的角度分析，這三種數的運算又有著一定的聯系（如小數的四則運算可從整數的四則運算法則中類比，推理）;從計算方法的視角看，各計算方法（如口算、筆算、簡便計算，橫式、豎式）間彼此相連。關于計算知識的編排，編者在多處滲透關聯、類比，歸納的推理思想方法引導。

如，人教版四年級上冊第六單元“整十、整百數除以兩位數的口算”例1中的80÷20，教材通過：①實物表征（8捆小棒，每2捆分一份，一共分成4份）;②語言表征（ ?）個20是80，80÷20=（ ?）;③符號表征8÷2=4，80÷20=4進行編排，其用意很明顯，就是要讓學生先通過直觀的小棒圖，將“整十、整百數除以整十數的口算”轉化成學過的“表內除法”知識，然后結合圖，通過語言，符號表征，對8÷2=4，80÷20=4進行類比，明白計算80÷20想8÷2的道理，例2中編排一道與之相關的口算（幾百幾十數除以整十數），再次引導學生對例1，例2進行類比推理，通過歸納推理，抽象出“整十、整百數除以整十數的口算”的計算方法。三種方法都在引導學生將新知化成舊知，分析推理，重在引導學生用舊知分析、推理新知，理解算理，掌握算法。“表內除法”“整十、整百數除以整十數的口算”之間的聯系，與類比、歸納的推理相呼應。

二、 在教學過程中培養學生的推理能力

（一）歸納推理能力的培養

歸納推理是合情推理中的一種，是一種從特殊到一般的推理方法，突出整體觀察思考，比較異同，抽出共性。實際的教學中，學生通常先認識不同點，再以不同點為參照標準發現相同點，這樣的思維有助于學生在思考辨析中找到共同點。

如加法交換律，人教版教材以“李叔叔準備騎車旅行為情境，根據上午騎車與下午騎車的路程，求今天一共行了多少千米？”引出兩道算式“40+56=96”“56+40=96”，在此基礎上引導學生通過觀察算式的得數寫出等式，而后引導學生觀察等式左右兩邊的算式，照例寫幾個這樣的算式，觀察、比較、發現得出規律，這是教材中的編排。實際的教學中，可以借助李叔叔騎車情境，借助計數知識掌握其內在本質。具體教學如下：學生根據情境列出兩道算式40+56=96，56+40=96后，引導學生思考：“為什么都等于96？”接著將題目改成“李叔叔上午騎25千米，下午騎71千米，求一共騎了多少千米？”學生列出算式25+71=96，71+25=96。在同一個情境中兩個不同的活動，讓學生初步體會到交換兩個加數的位置，和不變。接著出示“40+56=56+40，25+71=71+25，40+56=25+71”三個算式，引導學生觀察比較異同，識得加法交換律外在的形。而后借助數軸，從計數的角度思考，要從0數到96，可以怎么數，引導學生說數，先數到40，再往后數56;也可以先數到56，再往后數40。兩種計數的順序不同，但都是數了96個單位，從而理解了交換加數位置和不變的內在的本質。學生的歸納推理能力在教師的有意引導中得到了培養。

（二）類比推理能力的培養

類比推理是合情推理中的另一種推理方法，它是一種從特殊到特殊的推理方法。計算教學中，可將知識分模塊進行類比教學，這樣既可以讓學生學會將新知轉化為舊知，在新舊知識間建立勾聯，自主建構知識網絡;又很好地培養了學生的數學思想，類比推理的能力。

如，小學階段的整數多位數乘法的筆算這一模塊，涉及的內容有三年級上冊的多位數乘一位數，三年級下冊的兩位數乘兩位數及四年級上冊的三位數乘兩位數的學習。多位數乘法的筆算的本質是十進位值計數法的應用及乘法分配律的推廣，涉及兩種計算（口算和筆算），口算乘法是通過多項式將其轉化成表內乘法計算，筆算乘法是根據十進位值計數法和乘法分配律將其轉化成“多位數乘整十數”及“多位數乘一位數”。在三年級教學多位數乘一位數時，教師可以引導學生根據十進位值計數法及乘法的意義將其轉化成表內乘法及整十、整百數乘法，如132×2表示2個132的和，即2個100+2個30+2個2，再以橫式的形式出現幫助學生理解算理，132×2=100×2+30×2+2×2，此知識教學與口算乘法，整十、整百數乘法，乘法分配律，十進位值計數法，乘法的意義關聯，很好地培養學生演繹推理的能力。到了三年級下冊的兩位數乘兩位數及四年級上冊的三位數乘兩位數的學習時，則可以引導學生與多位數乘一位數進行類比，實現轉化，進而抽象概括得出結論：不管是幾位數乘幾位數的整數乘法，都是根據位值計數思想及乘法分配律將其轉化成表內乘法及整十、整百數乘法，其思想方法都是先分后合。至此，對多位數的筆算乘法實現了整體建構，知識，算法，算理在類比推理中實現統一。

（三）演繹推理能力的培養

在小學數學學習中，雖然不要求嚴格的演繹推理，但對于計算教學而言，學生理解算理，掌握算法的過程就是演繹推理的過程。

如，人教版五年級下冊中關于“2，3，5”的倍數特征，在學生學習了這一知識后，安排了“你知道嗎”這一內容。羅鳴亮老師所執教的這一課給了筆者深刻的啟發。在實際教學中，對于2，5倍數特征的推理可以如下：判斷2，5的倍數，將一個自然數根據十進位值計數法寫成幾個數相加的和，如，2的倍數特征可以如下引導，首先以36為例，36=30+6，因為30是2的倍數，6也是2的倍數，所以36是2的倍數，繼續舉幾個是2的倍數的自然數，引導學生用推理36的方法進行再次推理，學生通過所舉例子，觀察，比較后發現2的倍數特點（只要看個位），即幾十，幾百……都是2的位數，如果一個自然數的個位上的數是2的倍數，那么這個數就是2的倍數。而對于5、3的倍數本質的推理，學生就能根據前面2的倍數進行類比，進而推理得出結論。在這個過程中，學生對于“2，3，5”倍數特征的認識不再浮于外在的形，而是自主關聯十進位值制計數法的知識，倍數的特征等，在語言表征中進行演繹推理，有理有據。這樣的教學對于培養學生的思維起到推波助瀾的作用。

三、 在練習設計中滲透推理

從知識與技能層面看，練習能讓學生對所學知識得以鞏固;從能力發展角度思考，練習的設計更應注重對學生數學思想方法的指導。因此，練習設計要以學生的長遠發展為目標，注重學生的數學思維、解決問題的能力等的培養與提升。

一方面，練習的設計既要注重培養學生的推理能力，同時也要注重學生思維的自主性，發散性的培養。如，學生在學習了小數乘法的知識后，可以讓學生思考這樣的題目：請獨立寫一道整數乘法算式，并嘗試寫幾道與此算式相關的小數乘法算式。如，學生寫出整數乘法算式23×2=46，根據題目要求寫出2.3×2=4.6，0.23×2=0.46，2.3×0.2=0.46……在完成此道練習中，通過觀察乘數中小數點的位置變化，結合積的變化規律或小數點位置移動變化規律、小數乘法中積小數位數的確定等知識分析，推理得到正確的積，此練習既培養了學生演繹推理的能力，又培養了學生思維發散性。

另一方面，小學數學數與代數各有特點，又彼此聯系，如能借助二者的聯系，將學生的思維從數的計算思維走向代數思維，注重體現思維發展的連貫性與整體性，有意溝通數與代數間的內在聯系，在發展學生的計算推理能力的同時，對發展學生的代數思維，發展計算推理則有可能達到事半功倍之效。

如，人教版六年級下冊的一道練習（圖1），此題是培養學生關系推理的好時機。第一小題可以先引導學生將前兩個算式相加，整理后得到△+○+2□=154，將第三個算式通過等量代換到△+○+2□=154，得到46+2□=154，最后根據等式的性質及解方程的知識得到□、△、○的值。到了第二小題則可以讓學生用同樣的思想方法推理計算。學生在教師的引導及自己的思考中完成了等量代換，關系推理，在培養學生的演繹推理的同時還培養了學生的代數思維。學生的能力再一次得到提升。

9. ○、□、△各代表一個數，根據下面的已知條件，求○、□、△的值。

四、 總結

總之，教材內容是教師培養學生計算推理的根本，在課堂教學中讓學生經歷計算推理過程，是理解算理、掌握算法的基礎保障，練習中設計相關的計算推理是提高學生思維靈活性的必要條件。至此，學生對計算就有可能達到“知”法“明”理的水平，學生的核心素養才能真正落地生根。

注：文章系福建省三明市基礎教育科學研究2019市級課題“基于‘深度學習的小學數學計算教學研究”成果（立項號：JYKT-19056）。

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作者簡介：王榮香，福建省三明市，大田縣第二實驗小學。