善用數形結合思想促進學生思維發展

【摘要】本文論述利用數形結合思想促進學生思維發展的方法，建議教師利用數形結合思想引導學生理解算理，掌握計算方法，深化圖形認識，精準把握圖形概念，探尋有效的問題解決策略，從而發展學生的數學思維。

【關鍵詞】小學數學 數形結合 思維發展

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）05-0105-02

在數學學科中，數表示數量關系，是抽象的符號化語言;形表示空間形式，是直觀的圖形語言。就小學數學知識而言，能用數來表示的內容有數、運算、方程等，能用形表示的內容有數軸、位置、正比例圖象等。在小學數學教學中，數與形相互補充，兩者各有優勢。這就需要教師在課堂教學中將數與形結合起來，讓數學知識具體化、形象化，從而帶領學生走進數學世界，提高學生的數學學習能力，發展學生的數學思維。

一、利用數形結合掌握計算方法

在小學階段，數的認識和數的運算是十分重要的教學內容。小學生的抽象思維比較薄弱，學習數學需要借助生動具體的直觀形象，因此，教師要從小學生的思維發展特點入手，將數和形結合起來，通過直觀形象的數學特征，幫助學生理解數的運算原理，建構數的抽象概念。

比如，在教學“分數乘分數”的內容時，為了讓學生對算法有更深刻的理解，筆者從三個層次展開教學：

第一層次：畫圖表示

筆者出示一道例題：拖拉機每小時耕地[12]公頃，[23]個小時能耕地多少公頃？學生讀題后，筆者讓學生根據數量關系畫示意圖表示，學生習慣用線段圖表示（如圖1所示）。

筆者引導學生想一想：要表示[12]的[23]用哪一種圖示更好？學生發現用長方形圖示呈現數量關系更為清楚（如圖2所示）。

第二層次：演繹動態過程

筆者讓學生根據圖示動態呈現整個畫圖過程。學生通過動態演示，重新梳理分數乘分數的動態過程：一公頃平均分成兩份，取其中的一份就是[12]公頃;再把[12]公頃等分成三份，取其中的兩份，這就是[12]公頃的[23]（如圖3）。

第三層次：總結算法

筆者讓學生觀察圖示中的結果，學生能很容易得到答案[26]。緊接著筆者引導學生思考：6是什么意思？和2有什么關系？兩個分數的分子和6有什么關系？通過討論，學生重新梳理整個計算過程：[12]×[23]=[1×22×3]=[26]，由此深入理解算理。

在以上環節中，教師把抽象的數學算法轉化為直觀的圖形，學生通過可視化的動態圖形操作，大大提高了學習效率，深刻理解了分數乘分數的算理“分母乘分母做分母，分子乘分子做分子”，在此基礎上對分數乘分數的抽象含義有了更深的認識，從而有效地掌握了計算方法。

二、善用數形結合深化圖形認識

在小學數學教學中，通過直觀的圖形表達，能讓抽象的數更容易被學生接受。與此相對，當教師把具象的圖形提煉成數量關系，并用學生熟悉的數來表達圖形的特征時，會讓學生對圖形的認識更加深入。在進行圖形概念教學時，直觀圖形的表達并不能幫助學生精確認識概念，這就需要利用數的精確性幫助學生加深對圖形的認識，從而有效、精準地把握圖形的概念。

比如，“圖形的放大與縮小”的內容是比例知識的基礎，為了讓學生能夠將其與生活中的圖形變大縮小區別開來，在頭腦中建立精確的放大縮小的概念，筆者特意設計了三個層次的教學：

第一層次：從觀察入手理解本質特征

筆者先給學生出示一張風景圖，然后再將這張風景圖放大，并以另外三種形式呈現，讓學生觀察并找出哪張圖片和另外一張圖片是一樣的。在此基礎上，筆者引導學生繼續思考：這些圖片有什么不同？你能夠從中發現什么？（如圖4）

學生經過觀察比較，發現圖片在本質上并沒有改變，改變的只是大小。學生頭腦中建立了“改變大小，但沒有變形”這個印象之后，筆者繼續引入第二個層次的教學。

第二層次：發現圖形放大的規律

為了讓學生通過觀察自主發現圖形放大的規律，筆者特意在給學生出示的4張圖片中，設置了邊長為1厘米的方格（如圖5所示），并列出了相關的數據，然后讓學生結合數據對照比較，找出圖片大小的變化規律。學生經過比較后發現，擴大后的圖片長和寬都擴大了兩倍，根據已學過的知識，學生認識到擴大后的圖片與原圖的比例為2∶1。這個層次的教學通過學生對數的關系的研究，幫助學生梳理了圖形放大的數量關系，由此對圖形放大的本質有了深刻的理解。

第三層次：運用數據理解抽象概念

筆者讓學生仔細觀察原圖和改變后的圖片，首先隱去圖片的內容，讓學生將圖片的形狀看作是一個長方形，長方形的邊長是1厘米，然后將長方形的每條邊都擴大到原來的兩倍（通過方格顯示數據），讓學生說出擴大后的長方形和原有長方形之間的比是多少。學生結合已有數據，認識到長方形擴大的比例是2∶1。緊接著，筆者讓學生反過來進行比較，將圖形的每條邊都縮短到原來的二分之一，讓學生將其與原圖相比，看看圖形縮小的比例是多少，學生借助這個環節的探究活動認識圖形的縮小。通過數據，學生能夠清晰地看見并認識到“圖形大小變，形狀不變”的本質內涵，并能夠根據對應邊的比的變化，理解“對應線段成比例”的數學內涵。

以上環節，教師先讓學生對圖形進行直觀的比較，初步感知圖形放大縮小都不變形的本質，再通過對應邊數據的變化，讓學生精確認識到圖形變大、縮小的比例，最后再讓學生結合數據，精確揭示圖形放大縮小的概念內涵。通過三個層次的教學活動，學生將原本模糊的生活經驗概括為精確的數的概念，由此深刻理解“對應線段成比例”的內涵，提升了學生的學習效率。

三、巧用數形結合探尋問題解決策略

在小學數學教學中，培養學生解決問題的能力是重中之重，數形結合作為一種思想方法，能夠幫助學生探尋有效的問題解決策略。教師巧用數形結合，能夠讓學生在傳統的解決方法之外另辟蹊徑，積極探索并找到多元化的問題解決策略。

比如，有這樣一道習題：計算[12]+[14]+[18]+[116]。很顯然，這道習題具有非常獨特的特征，需要學生找到有效的問題解決策略。為此筆者通過四個層次的設計展開教學：

第一層次：觀察算式的獨特特征

筆者先讓學生仔細審查算式中的加數的特點，找出其中獨特的地方。學生發現，這道算式中的4個加數都是分數，分數的分子都是1，后邊分數的分母總是前一個分數的分母的2倍。

第二層次：用常規算法解決問題

筆者讓學生結合已經學過的知識，思考用什么方法進行計算。學生認為可以運用通分的方法，將4個加數轉化成同分母分數，再進行計算。也有學生提出，將這些分數轉化成小數，然后再進行相加計算。

第三層次：尋找特殊的非常規的解決辦法

為了啟發學生找到非常規的解決方案，筆者特意在算式后添上了兩個分數[132]和[164]，然后引導學生思考：想一想，如果我們用一個面積是1的正方形表示這個算式，你會怎么表示呢？學生經過討論后認為，可以在這個正方形中涂色表示每一個加數，第1個加數是[12]，就將正方形的一半涂色，接著再涂出[14]。就是在正方形一半的基礎上，涂出其中的一半。當學生涂色到[116]時，學生發現正方形還剩下一小塊沒有涂色的空白部分，這一部分正好和[116]相等。這也就是說只要用1-[116]，就可以得到這道題的結果。學生順利找到了解決方法，在此基礎上，筆者又增加了難度：如果加數再增加一個[132]或者[164]，該怎么計算？學生根據已有的解決策略，能夠很快得出答案。

第四層次：建構問題解決策略

學生經過探索，找到了問題解決策略，此時筆者引導學生回顧整個過程，反思使用了什么策略，并進行課堂交流，讓學生理解數形結合的思想方法。學生發現，先用通分再計算的傳統方法比較麻煩，可以通過數形結合的方法構造一個面積是1的正方形，然后通過涂色表示每一個加數相加。通過涂色，學生能夠直觀地看到這一類分數計算題所隱含的規律：每個加數代表正方形的一半，以此類推其中剩下的一半，剩下的面積正好與最后一個加數相同。通過直觀的圖示，學生能夠將順向的求和問題進行轉化，使其轉化為簡單的逆向求差的問題。

以上教學環節，教師借助數形結合，將復雜特殊的分數計算這個“數”轉化為直觀的“形”，引導學生經歷正方形涂色的過程，通過涂色尋找問題解決的策略。學生借助圖形涂色轉換思維角度找到了逆向求差的解決策略，最終使復雜的數學問題順利轉化為簡單的數學問題，實現了高效學習。

總之，教師應深入研究教材，充分挖掘知識背后隱藏的數學思想，將數形結合落實在課堂中，引導學生反復進行體驗和感悟，讓課堂教學更高效。

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作者簡介：陳世輝（1971— ），女，廣西玉林人，大學本科學歷，教育學專業，一級教師，研究方向為小學數學教學。

（責編 雷 靖）