“探索規律”專題的教學誤區及應對策略

丁洪

[摘 要]針對“重演繹，輕歸納”的傳統教學方式，教材設置了“探索規律”的專題教學。掃描和透視教學誤區，提煉和解讀應對策略，不但可以正本清源、厘清本質，提升認識，還能得心應手、張弛有度，助力實踐，最終，實現“探索規律”的課堂凸顯探索的味道，使得學生探索的關鍵能力真正得到提升，探索的必備品格初步形成。

[關鍵詞]探索規律;教學誤區;應對策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）11-0001-04

從本質上看，數學也可以看成是一門探索規律的學科。規律一般可以分為兩種類型，即“顯性的規律”和“隱性的規律”。其中，顯性的規律注重“觀察與比較”，側重運動與變化過程中不變因素的普遍確認;隱性的規律注重“猜想與驗證”，側重事物之間“原因與結果”或“本質與現象”的關系確定。不同版本的教材的編寫都體現了這樣的認知和理解。以蘇教版教材為例，規律探索除了蘊含于例題中、散落在練習里，還有專門設置的相關專題。應該說，“探索規律”專題是對 “重演繹，輕歸納” 傳統教學的一種積極回應，它面世的時間雖然不長，但是意義重大。因此，教師應掃描和透視教學誤區，提煉和解讀應對策略，進而提升“探索規律”專題教學的有效性。

一、教學誤區的掃描和透視

1.結果目標與過程目標的人為割裂

課程標準指出，“課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系。”也就是說，沒有過程的結論猶如空中樓閣，晦澀難懂，尤其是隨著年級的增高，相應的數學規則和結論的表達越發簡潔，如果僅是單調傳輸和單向傳遞，結果可想而知，厭學心理的產生、學習質量的下滑等負面情況將接踵而至;當然，如果教學過程轟轟烈烈，但不引導學生進行必要的觀察、對比和優化，也容易出現所得結論“詞不達意”的狀況，零散而且不系統，同樣不利于學生后續學習和思維發展。這樣看來，過程目標和結果目標的和諧統一是教學的底色和底線，如果人為割裂，則結果覆水難收。

具體到“探索規律”專題的教學，課程標準要求：第一學段是“發現給定事物中隱含的簡單規律”;第二學段是“探求給定事物中隱含的規律或變化趨勢”。考量“發現”和“探索”的詞性，兩者都屬于描述過程目標的行為動詞，這就預示著本專題教學的側重點是引導學生經歷探究的全過程，最終得到樸素的“猜想—驗證”的科學方法論。但是，很多教師往往用短、平、快的方式把結論灌輸給學生，強調了“你就跟著這樣做”，忽視了“你應學著這樣想”，只是把重心放在檢測反饋上，以應試的視角衡量教學的得失。顯然，這種本末倒置的行為只會使學生解決問題時淺嘗輒止，題目的情境稍加變換，他們便會寸步難行，知識遷移、能力素養淪為鏡中月、霧里花，看似有，實則無。

2.自主開放與有序開放的預期背離

課程標準指出，“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程……學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”也就是說，教學需要改變課堂結構，減少不必要的重復，將擠出的時間還給學生，為他們全身心地投入學習創設平臺;需要改變學習方式，讓有意義的接受“牽手”自主探究和合作交流，在多種方式共同作用下，促進學生認知立體和精神豐盈;需要凸顯主體地位，驅使學生調動先擁經驗，自由、舒展和靈動地展現個性思維。

具體到“探索規律”專題的教學，自主開放的情形變多了，活動的效果反而降低了。比如，五年級下冊的“和與積的奇偶性”，很多教學不能完成既定任務，而且探索效果不明顯。究其原因，問題出在加數的個數變成3個及以上的環節中盲目提倡學生自主探索。學生不知道“干什么”，活動已經開始了;也不知道要“干到什么程度”，“被合作”發生了;“你一言我一語”還沒說上幾句話，匯報登場了。可想而知，結果只能是面面相覷。如果能夠將2個非零自然數和的奇偶性活動經驗自然遷移，即“在‘偶數類的基礎上有序增加偶數，和還是偶數;在‘奇數類的基礎上有序增加奇數，加數的個數是3個、5個、7個等奇數個的情況下，和是奇數，加數的個數是2個、4個、6個等偶數個的情況下，和是偶數”，并順勢總結出“和的奇偶性取決于奇數的個數”，“奇偶類”探索和結論與前面一致。顯然，自主開放并不等于完全放手，預期的背離源于過度放大了學生的自主能動性，忽視了板塊知識的整體聯動性，還割裂了探索方法的內在傳遞性。

3.合情推理與演繹推理的組合錯位

課程標準指出，“合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成;合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。”也就是說，貫穿于教學過程的推理不可以一概而論，要根據學習的內容和知識的屬性，選擇合適的推理方式或將它們組合運用。否則，“推”而不“理”，“理”而不“順”，舊問題沒解決，反而催生了新問題的產生。

具體到“探索規律”專題的教學，也有一些優秀案例。比如，五年級上冊“釘子板上的多邊形”的教學，首先要求學生算出圖形的面積，并數出邊上釘子的總數，然后將數據對應填入表格，初步引導學生發現“多邊形的邊上的釘子數越多，多邊形的面積就越大”“圖形邊上的釘子數是4，面積是2平方厘米……”“這些多邊形的面積的平方厘米數是它們邊上的釘子數的一半”，并通過“多邊形內只有1枚釘子，它的面積與它邊上的釘子數有什么關系？”的問題，驅動學生概括出“當多邊形內只有1枚釘子時，用n表示多邊形邊上的釘子數，用S表示多邊形的面積，那么S=n÷2”的規律。顯然，這個板塊側重歸納類型的合情推理。當多邊形內只有2枚釘子時，仍然延續這種探索過程，在得到“S=n÷2+1”的規律后，可通過追問“相比較而言，這里加的1在圖形的哪部分？為什么這時候要加1呢？”引導學生解構圖形，發現每一個多邊形都可以分割成兩部分，一部分是內部為1枚釘子的圖形，另一部分是面積為1的圖形。顯然，在這個板塊中，合情推理和演繹推理并重。當然，隨著多邊形內釘子數的增加，面積與它邊上的釘子數的關系，以及多邊形內沒有釘子的探究，相對而言適合經驗遷移，點到為止即可。顯然，這個板塊側重類比類型的合情推理。但是，實際情況事與愿違，很多教師一味追求學生深刻理解知識，往往不自覺地提高演繹推理的比重。

4.具象表征與抽象表達的對接短路

課程標準指出，“建立符號意識有助于學生理解符號的使用，是數學表達和進行數學思考的重要形式。”也就是說，符號對數學學習具有重要意義，可以幫助學生數學地表達自己的觀念，提煉和固化數學的思維過程，使得數、數量關系和變化規律能以簡潔的樣式建構和呈現。但是，需要注意的是，引入符號、使用符號、理解符號以及傳播符號，需要根據學生的實際情況，考慮他們的接受程度，這不是一蹴而就和一朝一夕的事情，只有順其自然，學習才能自然而然。

具體到“探索規律”專題的教學，要求用數學式子表達的有四年級下冊“多邊形的內角和”、五年級上冊“釘子板上的多邊形”、六年級上冊“表面涂色的正方體”和六年級下冊“面積的變化”，這些專題的素材都是數學現象。如果以五年級上冊“用字母表示數”的學習為分水嶺，那么“多邊形的內角和”的規律一般用“多邊形的內角和=（邊數-2）×180°”來表達，不要人為拔高，以免造成不必要的認知障礙;其他規律表達因為有了字母引入，可以用含有字母的式子來表示。另外，不需要用數學式子表達的有三年級上冊“間隔排列”、四年級上冊“簡單的周期”、三年級下冊“有趣的乘法計算”和五年級下冊“和與積的奇偶性”。前面兩個專題關注身邊現象，規律相對簡單，無須抽象表達，口頭講述、擺放學具或畫出圖形即可;后面兩個專題聚焦數學現象，規律相對復雜，無法抽象表達，那數學語言描述、分類舉例解釋也行。顯然，定位好“用什么方式表達規律？”就不會忽視準確性與簡潔性，把握好“規律表達到什么程度？”就不會偏離階段性與適切性。

5.評價導行與評價導思的功能紊亂

課程標準指出，“評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發展和變化。應采用多樣化的評價方式，恰當呈現并合理利用評價結果，發揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。”也就是說，評價首先指向學習過程，教師必須扮演“事前諸葛亮”，對學生可能出現的問題充分預設，并有針對性地做好預案，以增強現場研判的力量和質量;然后評價指向學習結果，這既是過程評價的“后續動作”，也是必要的階段性反思。顯然，過程評價和結果評價缺一不可、各有側重。

具體到“探索規律”專題，有很多教學關注結果評價，忽視過程評價。在過程評價中，又總是拘泥于外在行為——關注“學生做了什么”，忽略了內在數學思維——分析“學生是怎么想的”。比如，四年級下冊“多邊形的內角和”的教學，在四邊形的內角和探究環節，學生習慣性地去測量或撕拼，有的教師“視而不見”，甚至是“不屑一顧”：“你們怎么還用這種老方法，太麻煩了！”對此，評價應該改為“你們能聯系舊知解決問題，真好！”，給予肯定，然后提出：“我們既然已經知道了一個三角形的內角和是180°，你能想辦法將四邊形轉化成三角形，換個角度求它的內角和嗎？”在其他多邊形的內角和探究環節，除了從頂點出發的分割，還出現了從邊上一點或圖形中一點出發的分割，教師可先用“這樣做也能將多邊形分成獨立的三角形，你真會思考！”來肯定學生，然后用“仔細觀察這三種分割方法，你能找到它們之間的聯系和區別嗎？”來驅動學生思考。顯然，不同的評價將會引領學生經歷不同的風景。剖析行為表象、驅動思維生長，才是評價的真諦，才能幫助學生遇見“最美的自己”。

二、應對策略的提煉與解讀

1.精心設計“問題鏈”——規劃探索板塊

“問題鏈”是指教師圍繞課堂教學目標，依據學生的知識經驗和認知水平，結合數學學科的知識內容和能力要求，智慧設計而成的具有層次性、系統性和啟發性，以環環相扣的鏈狀結構呈現，有效實現學生學習能級增益的問題序列。精心設計問題鏈旨在規劃探索板塊，實現知識技能、過程方法和情感態度與價值觀的有效解構和有力重構。比如，三年級上冊“間隔排列”的教學，可以設計“探索不封閉情境中的間隔規律”“探索封閉情境中的間隔規律”“探索兩種情境中間隔規律的聯系”三個板塊。其中，第一個板塊先“收”再“放”，“收”借助“蘑菇與兔子”“夾子與手帕”和“木樁與籬笆”等情境，引導學生經歷數個數、比數量的過程，側重從特殊走向一般的歸納;“放”分為兩個層次，第一層次是基于兩端物體相同，體驗數量雖然在變化，但是“兩端物體比中間物體多1”的規律始終沒有變，是一種針對性的變式訓練，第二層次是基于兩端物體不同，體驗數量雖然在變化，但是“間隔的物體數量相等”的規律始終沒有變，是一種對比式的變式拓展。第二個板塊則完全放手，提供諸如“間隔排列的手鏈”等情境，驅動學生自主經歷數一數和比一比的探索過程，并在對比中建構“間隔排列的物體個數相等”的規律模型。第三個板塊側重對比聯系，可以從封閉的情境自然切換到不封閉的情境，例如將手鏈從某一處剪開后拉直，就可以得到“兩端物體不同的間隔排列”，當然也可以反其道而行之。顯然，“問題鏈”是教師的智慧預設，是課堂的行動指南，更是育人的尺度表征。

2.引導經歷“全過程”——凸顯探索主線

教學講究引導學生經歷知識的生成、生長和生根，探索規律專題也不例外。不過，需要注意的是，探索規律不應該等同于普通知識的教學，它側重的是“猜想—驗證”樸素科學方法論的滲透，這才是它真正的使命、歸宿和價值。比如，六年級上冊“表面涂色的正方體”的教學，首先通過對簡單的正方體表面進行涂色以及分割，了解到小正方體“三面涂色”“兩面涂色”和“一面涂色”的基本事實;其次引導學生自主操作，獲得一些基本數據，并借助問題“觀察填好的表格，你能發現什么規律？”驅動學生有理有據的猜想發生，得出“3 面涂色的小正方體都在大正方體頂點的位置，都是8個。”“ 2面涂色的小正方體的個數都是12的倍數。”“1面涂色的小正方體的個數都是6的倍數。”“6 個面都不涂色的小正方體個數分別是0、13、23、33……”的基本規律;接著引導學生運用含有字母的式子簡潔表征規律，并舉例進一步驗證;最后通過整理和回顧，幫助學生積累“找各種小正方體時，要注意它們在大正方體上的位置。”“各種小正方體的個數與大正方體頂點、面和棱的個（條）數有關。”“要把找、數、算等方法結合起來，并根據圖形的特征進行思考。”的探索經驗。顯然，完整經歷“感知事實、定量描述、猜想規律、建構模型、舉例驗證和經驗內化”的探索過程，能有效助力學生探索意識的充分喚醒、探索路徑的基本塑化和探究能力的初步達成。

3.推理演繹“巧聯結”——豐富探索認知

雖然“探索規律”專題是針對世弊應運而生的產物，但不能從一個極端走向另一個極端，即只重視“跟著感覺走”的直覺思維，忽視了必要的理性思維培養，畢竟單一的思維形式略顯單薄，難以支撐探索規律的全部內涵。比如，三年級下冊“有趣的乘法計算”的教學，是否能用“兩頭一拉，中間相加”表征“兩位數×11”這類算式規律的全部內涵？是否能用“積的末兩位等于兩個乘數個位上的數相乘”“積的末兩位前面的數等于乘數十位上的數乘比它大1的數的積”表征“同頭尾合十”這類算式規律的全部內涵？諸如此類，都是值得深思的問題。應該說，初步探究得出如此結論，可以算作是階段性成果，但是如果把這種形式的結論當成最終的數學建構，顯然有失偏頗、不接地氣。不妨讓探索規律先“生動”起來，讓學生通過觀察、比較和分析，歸納或類比出形式化的見解，只要“合情”就肯定和悅納;接著讓探索規律再“深刻”起來，引導學生分析形式化背后的數學實質，即從算法的推理走向算理的推演，適度和必要的“合理”闡釋，不但不會拖累“合情”流暢，反而能為“合情”表征注入底氣和活力。顯然，兩類推理不應該刻意回避對方，人為造成“老死不相往來”的現狀，只要按需側重、適度融合和有機聯結，就能立體架構探索過程，豐富學生的探索認知和體驗。

4.規律表達“重實質”——注重探索優化

因為認知特征、表征形式、抽象水平等實際情況的存在，規律表達一般呈現多姿多彩、因人而異的生態樣式，有的是口頭表達，有的是舉例說明，還有的是抽象建模，這些都是學生的自然流露，是可以被理解和尊重的，體現了個體經驗的內在自洽。比如，六年級下冊“面積的變化”的教學，學生通過具體的測算活動，得到正方形、三角形和圓形變化前后的基本數據，即“長度比”和“面積比”，然后通過問題“比較每個圖形放大后與放大前的長度比和面積比，你能發現什么規律？”驅動學生尋找兩者之間的顯性聯系。學生的表達一般有三種類型：第一種是白描型，“正方形放大后與放大前的邊長比是3∶1，面積比是9∶1”“三角形放大后與放大前的邊長比是2∶1，面積比是4∶1”“圓形放大后與放大前的邊長比是4∶1，面積比是16∶1”，學生關注的只是具體形狀，思維在淺層水平游走;第二種是歸納型，“兩個比的后項都是1，面積比的前項是長度比前項的平方。”學生漸漸超越具體情況走向一般概括，思維水平有所提升;第三種是建模型，借助“如果把一個圖形按n∶1的比例放大，放大后與放大前圖形的面積比是（ ）∶（ ）”引領學生嘗試用含有字母的比表達規律，建構形如“n2∶1”的數學模型，促使學生的思維水平有更進一步的提升。顯然，這樣的規律表達從局部到整體、從粗糙到精致、從生動到深刻，形式雖然多樣，但都緊扣實質，有效催生了數學思維的梯度優化和良性發展。

5.評價導向“多維度”——激活探索智趣

評價是把雙刃劍，用得好可以幫助探索，否則可能阻礙探索。實踐表明，要想發揮評價的正向功能和積極影響，往往需要明確評價方向、選擇評價手段和考量評價標準，并在此基礎上，實施多維度的評價策略。比如，四年級上冊“簡單的周期”的研究盆花規律環節，在學生給出圖形、文字和符號三種表征方式時，教師可以用“感謝你們的精彩表現，真會思考！”來點評，情感維度的評價能增強學生探索的信心;當出現“豎著擺”能清楚表征規律時，可以用“還能換個角度思考問題，為你點贊！”來點評，方法維度的評價促進了結構對應;當計算得出第19盆花的顏色時，可以用“第7組第一個確定了位置，每組的第一個都是藍花，確定了顏色。思考有序！”來點評，操作維度的評價明確了程序要點。在探索總結環節，對比算式中被除數對應總量，除數對應“每組有幾個”，商對應“有這樣的幾組”，以及“余數是幾，顏色與每組的第幾個對應相同”，可以用“一一對應思考問題，規律特征自然顯現，真會學習！”來點評，思想維度的評價達成了模型建構。在自我創造環節，出現了不同規律的作品，至少擺兩組才能清晰表達規律，可以用“周而復始，不期而遇，真會創造！”來點評，素養維度的評價內化了活動經驗。顯然，評價可以激活學生興趣，驅動他們“愿意學”，還可以激活學生潛力，驅動他們“學得透”，進而實現探索的“智趣”相融。

綜上所述，對于“探索規律”專題教學，教師需要“另眼相看”，不能忽視它的獨特性;需要“緊扣目標”，不能忽視它的功能性;需要“塑化路徑”，不能忽視它的基礎性;需要“發展思維”，不能忽視它的價值性;等等。唯有如此，認識上才能正本清源、厘清本質，實踐時才能得心應手、張弛有度，最終，讓“探索規律”的課堂真正凸顯探索的味道。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）。]

（責編 金 鈴）