關于“行列式”與“矩陣”的教學反思

張夢琇 許梅蘭

【摘要】本篇文章主要從教師講授“行列式”與“矩陣”相關內容的情況，學生掌握“行列式”與“矩陣”內容的程度，學生章末測試成績和學生課堂反應等方面，探究學生對“行列式”與“矩陣”相關內容熟練程度的教學反思，有助于幫助教師更好地調整授課方式，避免學生混淆“行列式”和“矩陣”的相關概念、表示方法、性質等.隨后，筆者通過石河子大學2019～2020年度第二學期經濟類專業1-4班線性代數的課堂實例，對學生學習效果進行課后反思，剖析產生“行列式”與“矩陣”相關知識點混淆的原因.最后，筆者結合課后反思，對同行今后的“行列式”與“矩陣”的教學設計給出幾點意見.

【關鍵詞】行列式;矩陣;區別;聯系;教學反思

“行列式”與“矩陣”是線性代數中解決線性方程組問題的重要工具，因此，掌握“行列式”與“矩陣”的相關概念，利用“行列式”與“矩陣”解決線性方程組的相關問題是學好線性代數這門課程的基礎，教師在講授“行列式”與“矩陣”的知識點時，要注意“行列式”與“矩陣”的區別和聯系.結合石河子大學理學院數學系教師的授課經驗，筆者發現學生對于“行列式”與“矩陣”的區別掌握情況較差，多數學生出現相關知識點記錯、混淆等情況，針對這種現象，筆者分別從教師的授課角度與學生的學習角度剖析現象產生的原因，以方便教師今后對這門課程的教學.

一、關于“行列式”與“矩陣”教師的授課情況

1.行列式的講授過程

教師在講授行列式的相關內容時，主要從三個方面介紹行列式：（1）行列式是什么;（2）為什么要學行列式;（3）行列式的應用.第一方面的內容主要從行列式的定義、表示方法和性質入手，在介紹行列式之前，為了引起學生對線性代數這門課程的興趣，筆者從求解二元一次方程組入手，讓學生回憶解決這類問題的方法，在學生回憶解決方法的同時，設置問題：對于這樣一類二元線性方程組，我們是如何求解方程組的解的呢，這類方程組一定有解嗎？筆者先讓學生進行簡短的思考，在學生思考、回答問題后，根據學生回答的情況引入二階行列式，并給出二階行列式定義、表示方法和n階行列式的定義、表示方法，根據行列式的定義我們知道行列式的本質是一個數，因此求解行列式的值是解決行列式問題的關鍵.為了求解行列式的值，主要介紹以下兩種方法：行列式的性質和拉普拉斯展開式定理，要想較好、較快地求解行列式的值，就要熟練掌握行列式的性質和拉普拉斯展開式定理.第二方面的內容主要是讓學生認識到行列式的價值，行列式是“線性代數”求解方程組的工具，它既可以判斷方程個數與未知量個數相等的方程組是否有解，也可以求解這類方程組解的具體數值.第三方面，行列式主要應用在利用克拉默法則求解這類方程組的解和判斷方程個數與未知量個數相等的齊次方程組是否存在非零解上，但利用克拉默法則計算量較大，一般不做特殊要求時，我們不會選擇利用克拉默法則求方程組的解.

2.矩陣的講授過程

在講授矩陣相關內容時，除了介紹矩陣的知識點外，還要注意講述清楚“行列式”與“矩陣”的區別和聯系，主要從以下兩個方面介紹：（1）矩陣的基本知識點;（2）“行列式”與“矩陣”的區別和聯系.在介紹第一部分內容時，要注意矩陣相關知識點的講解，從矩陣的定義入手，介紹矩陣的運算法則及相關的性質，最后介紹矩陣的作用.矩陣不同于行列式，矩陣是一個數表，它具有很強的應用價值.在介紹矩陣的運算法則時，要注意運算法則的適用條件，不是所有矩陣都能進行矩陣運算，要利用矩陣運算條件先進行判斷，再進行矩陣的相關計算;對于矩陣的性質是針對矩陣的運算法則而言的，利用矩陣的性質可以減少矩陣運算的難度;生活中矩陣的應用很廣泛，例如，上課的課表，如果用數字代表課程，課表就是一個典型的矩陣，在“線性代數”中，矩陣是求解一般線性方程的工具，利用矩陣可以判斷方程組是否存在解，若方程組存在解，解的結構又是怎么樣的呢？第二部分主要從概念、運算等角度區別“行列式”和“矩陣”，從概念的本質、表示方式和比較大小三個方面進行介紹.運算主要從加法、減法、數乘、乘法和轉置等角度進行區別.

二、關于“行列式”與“矩陣”學生的學習情況

1.學生對行列式的學習情況

筆者從三個方面介紹學生對行列式的掌握情況：（1）行列式的基本概念：學生能熟練地掌握行列式的本質，行列式的實質是一個數，根據行列式的定義，我們知道行列式是一個行數和列數相等的數表，根據規則計算出來的一個數值，這個數值就是行列式的本質，行列式是一種特殊數表的值，它要求這個數表的行數和列數相等，但多數學生利用行列式的定義求解行列式的值時，會有慣性思維，主要體現在高階行列式的計算上，由于二階、三階行列式的計算我們采用對角線法則求解行列式的值，隨著行列式行數和列數的增加，對角線法則不能解出高階行列式的值，多數同學將對角線法則推廣到高階行列式上，這說明多數學生沒有真正理解行列式的定義，因此在講授行列式的定義時，要注意強調行列式概念中容易出現錯誤的地方;（2）行列式值的計算過程：行列式值的計算是學習行列式這部分內容的關鍵，利用行列式的性質和拉普拉斯展開式定理是求解行列式的值的重中之重，學生對行列式性質和拉普拉斯展開式定理的內容掌握得不錯，但利用行列式的性質和拉普拉斯定理求解行列式的值的熟練程度不夠，在求解高階行列式的值時，多數學生無從下手，學生觀察行列式特點的能力較差，課后總結解題方法和舉一反三的能力較差，多數學生一看到行列式的題，就利用行列式的性質開始化簡，這樣做題消耗時間多，遇到較復雜的行列式、計算量較多的行列式，他們經常會出現錯誤，從而徒勞無功，在求解行列式的值時，教師應培養學生觀察行列式，總結行列式的特點，結合行列式的特點，選擇合適的方面進行求解，而不是盲目解題;（3）行列式的應用：學生利用克拉默法則判斷未知量的個數和方程組個數相等的方程組解的情況掌握得不錯，但利用克拉默法則求解方程組時，多數學生會出現計算錯誤，不細心，由于利用克拉默法則求解方程組的計算量較大，多數學生不愿意采用此方法進行計算.

2.學生對矩陣的學習情況

學習行列式后，多數學生對矩陣的基本概念掌握得較快，但同樣會出現這樣的問題，學生容易用行列式的表示方法來表示矩陣，行列式用“| |”表示，而矩陣用“（）”或者“[ ]”表示，在教師講授過程中，要注意區別“行列式”與“矩陣”，它們二者有本質上的不同.在學生搞清楚二者本質后，對矩陣的加、減、數乘和轉置運算掌握得不錯，容易出錯的就是矩陣的乘法運算，學生對于矩陣乘法運算所出現的問題，主要體現在兩個方面：第一，學生根據定義能判斷什么樣的矩陣可以進行乘法運算，但少數學生不能準確地確定積矩陣的行數和列數;第二，學生在確定積矩陣的行數和列數后，不知道如何確定積矩陣的元素.因此，教師在講授這部分內容時，要引導學生探究矩陣乘法的應用價值，用生活中的實例來方便學生理解矩陣乘法的概念，例如，已知一個廠商一年內每個月的銷售量和每月的平均銷售單價求一年的銷售額，這個問題的實質就是矩陣的乘法，同時要注意二者的聯系，方陣的行列式運算，它的實質就是行列式的計算.

三、針對“行列式”與“矩陣”的教學反思

在2019-2020年度第二學期的授課過程中，經濟類1-4班的學生在章末測試和期末考試中，多數學生出現行列式與矩陣表示方法的混用，用“| |”表示矩陣，沒有從本質上搞清楚“行列式”與“矩陣”的概念和表示方法的不同.另外，方陣的行列式運算的性質與行列式性質的混用，例如，多數學生看到|2A|，知道這道題考的是方陣的行列式運算，直接就在測試卷子上寫|2A|=2|A|，出現這樣錯誤的同學很多，占四個班學生的80%以上，這些學生沒有考慮行列式符號里面的研究對象是什么，A是指矩陣，2A表示矩陣A的每個元素都與數字2相乘，這樣我們知道“| |”里面的元素每一行（或每一列）都有公因數2，再做行列式的運算時，我們把公因數2提出來時要考慮矩陣的行數（或列數），若題目已知矩陣A的階數為3，則|2A|=8|A|.少數學生的試卷上還會出現行數和列數不等的行列式等，針對上述現象，教師要做以下課后反思：（1）針對學生概念不扎實、表示方法亂用，教師應在課堂上做出強調，強調“行列式”與“矩陣”二者概念、表示方式和運算上的不同，注重學生對“行列式”與“矩陣”基礎知識的掌握情況，例如，什么是行列式，什么是矩陣，用什么表示行列式、表示矩陣，這些看似不常見的問題，往往多數學生會在基礎知識上丟分;（2）在“行列式”與“矩陣”的應用上，“行列式”與“矩陣”解決線性方程組的類型不同，行列式適用于解決未知量個數與方程個數相等的線性方程組，而矩陣適合求解一般的線性方程組，利用矩陣求解方程組，判斷方程組解的情況應用更廣、使用價值更高;教師在講述求解線性方程組時，要嘗試以學生為主，讓學生自己探究適用行列式求解線性方程組的使用條件及什么樣的線性方程組適合用矩陣的方法求解;（3）在求解方陣的行列式運算時，多數學生沒有搞清楚哪一塊是矩陣，哪一塊是行列式，在講授方陣的行列式運算時，要先強調“數”與“行列式”相乘及“數”與“矩陣”相乘的區別，然后，從方陣的行列式運算的本質入手進行說明.為了提高線性代數教師的授課質量，教師應該學會從學生的角度出發，設想學生會遇到的問題，再考慮合適地解決方法，從而提高教師的工作效率.

四、針對“行列式”與“矩陣”的教學意見

根據自身的教課經驗，筆者特提出以下五點教學建議：

（1）強調“行列式”與“矩陣”的區別，并注重它們的聯系，教師要進行課程的學情分析，分析、考慮學生已有的知識，學生在學習“矩陣”這一章內容時，他們已經學習了“行列式”的相關內容，在已有學習行列式經驗的基礎上易出現記錯、記混的情況，容易出現用已有的行列式的表示形式表示矩陣，認為二者都和一些數字有關，沒有從本質上區別“行列式”“矩陣”和數字三者的關系.

（2）強調“行列式”與“矩陣”二者的應用價值，教師要培養學生自己探究問題的能力，結合生活中的實例，探究行列式與線性方程，矩陣與線性方程的關系，讓學生通過生活中的實際問題，結合問題的數學背景找到問題與“行列式”“矩陣”的關系，學會用“行列式”與“矩陣”的相關知識解決問題.

（3）多數學生不細心、不踏實，遇到較復雜的行列式的計算題就放棄求解行列式的值，教師要注重培養學生觀察“行列式”和“矩陣”特點的能力，只有觀察好“行列式”與“矩陣”的特點，才能選擇合適的解題方法，有效地解決問題.

（4）注重“行列式”與“矩陣”知識點的聯系性，教師要在強調區別的同時，注重各章節知識的銜接性，在教課過程中做好各章節知識的過渡工作.

（5）線性代數中矩陣的知識，貫串在各個章節，教師要注重矩陣基礎知識的講解，只有打好“地基”，才能建造穩固的“大樓”.

教師在教學過程中，不僅要注重教學方式、學生的課堂反應情況，更要注重課后反思工作.教師要結合學生課堂的反應情況，對知識點的掌握情況和學生運用所學知識解決問題的情況，來充實自身的教學經驗，這樣才能提高教師的工作效率.教師要學會從學生的角度考慮問題，剖析問題產生的原因，在教學過程中，注重與學生課上、課下的互動，不要認為有些知識點是很簡單就一語帶過，例如，行列式的概念、表示方法等，這些看似很容易的知識點，往往多數學生都會出錯，因此，教師要總結經驗，通過書寫課后反思提高自己的教學水平.

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