在深度學習中逼近數學本質

王靜?唐斌

【摘 要】在小學數學課堂中實現深度學習，能夠有效地避免知識淺層化、表面化，促使學生真正理解知識的本質和內涵。教師必須精心設計各個教學環節，才能引導學生在掌握數學基本知識、形成基本技能的基礎上，進一步感受數學思想，學習有“根”的數學。這樣，學生的數學學習才能不斷向縱深發展，數學素養才能獲得提升。

【關鍵詞】深度學習 數學本質 模型思想

數學的深度學習，是指運用分析與綜合、抽象與概括等方法，深度參與課堂，深刻經歷知識的形成過程，深層理解學習內容，從而提高數學思維品質的學習行為。數學的深度學習不僅關注顯性數學知識的學習，更注重隱性數學思想的滲透。

本文以北師大版數學教材三年級下冊“分一

分（一）”的教學為例，談談如何引導學生進行深度學習，逼近數學本質。

一、深度解讀教材，規劃深度學習的路徑

本課是小學生認識分數的第一階段，也是后續學習分數、百分數及運用相關知識解決問題的基礎。教材結合具體的問題情境——“分蘋果”“分圖形”等喚醒學生蘊含分數知識的生活經驗，并充分利用實物操作、合作探究等手段，幫助學生理解分數的意義、建立初步的分數概念。

分數和整數有很大區別，它不僅能夠表示“量”，更能夠反映整體與部分之間的包含關系。北師大版的教材過于強調“平均分”，忽視了“包含除”，即整體與部分的包含關系。想要學生真正建立“分數”的概念，教師在教學“一個物體的幾分之一”時，必須從“幾分之一個”抽象到“它的幾分之一”，幫助學生淡化“物體個數”這一非本質屬性，強化“幾份中的一份”這一本質屬性。

本課的核心任務是讓學生經歷由分數的感性認識到理性認識的建構過程，通過多層次的數學化建構過程，讓學生對分數概念的內涵、分數概念的本質有充分的認識。在教學過程中，教師可以讓學生經歷多次不同的操作活動，引導學生自主探究、合作交流，主動歸納、提升，在“做數學”中感悟數學知識，從而建構出分數的數學模型。

在設計本課時，筆者摒棄了傳統對“分數”的定義：把一個整體平均分成若干份，其中的1份或幾份就是這個整體的幾分之幾，而是采用這樣的語句來描述分數：如1/2，表示把一個整體平均分成2份，2份中的1份就是這個整體的1/2。力求讓學生深刻體會分數表示“包含”關系的內涵。筆者圍繞“分數”概念的形成，致力于分數模型的建立，規劃學生的學習路徑如下（見圖1）。

二、創設有趣的問題情境，激發學生深度參與的興趣

分物活動在日常生活中很常見，因此教學設計可首先以“分蘋果”的情境導入，拉近數學知識與學生實際生活的聯系。為進一步激發學生的學習熱情，筆者設計了用擊掌游戲表示分得的結果。

師：把4個蘋果平均分給2人，每人得幾個？

生：擊掌2下。

師：把2個蘋果平均分給2人，每人得幾個？

生：擊掌1下。

師：把1個蘋果平均分給2人，每人得幾個？

（生一片嘩然，不知如何擊掌）

師：半個蘋果怎么表示呢？

小學生的思維正處于從形象思維向抽象思維的過渡階段。抽象思維的發展，很大程度上借助于生動形象的事例。生活中生動豐富的教學資源，是課程與教學內容的重要補充。教師可以將一個個知識點轉化為一個個與現實生活密切相連的、生動活潑的事例。本課引入環節創設了真實、有趣的問題情境，有效地激發了學生對數學問題的探究欲望，增強了學生的學習興趣。學習內容由易到難，由淺入深，最后的問題“半個蘋果怎么表示呢”，成為教學新知的出發點和認知沖突的生長點，有利于吸引學生深度參與。

三、組織生動的實踐活動，助推學生深度探究

1.認識“1/2”

一個蘋果平均分給2人，每人得到半個，這是學生具備的生活經驗。但是這“半個”用以前學過的整數已經無法表示了，該怎么辦呢？由此引發學生認知沖突，推動學生思考：怎樣表示？如果這時教師直接告知“半個可以用分數1/2表示”，學生則只能知其然，卻不知其所以然，有悖于深度學習的初衷。基于這種考慮，筆者設計了以下環節。

師：原來的蘋果是1個，這里的半個蘋果可以稱為1塊（見圖2），“1個”和“1塊”都有1，這2個“1”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。

師：那這2個“1”有什么聯系嗎？

生：“1個”里面有2個“1塊”。

師：哦……原來可以把這1個蘋果看成2個一塊，半個蘋果就是2塊中的1塊了。

師：2塊中的1塊可以說是2份中的1份，2份中的1份用分數1/2表示。

在這個環節中，筆者沒有直接告訴學生一半可以用1/2表示，而是以2個“1”的問題建立一半與1/2之間的聯系，讓學生追溯到1/2的產生，初步意識到1/2中“2”和“1”的由來，為接下來深入研究1/2做了有效的鋪墊。

對蘋果的1/2有了初步感知后，筆者馬上出示非平均分的情況（見圖3）。

師：淘氣用深色部分表示的是這個蘋果的1/2嗎？

生（很快回答）：淘氣畫的不是蘋果的1/2，因為他沒有把蘋果平均分成2份。

學生初步意識到，1/2中的2份必須是平均分成的2份。

認識了蘋果的1/2后，筆者放手讓學生自主探究，分別涂出正方形、房子和花瓶三種圖形的1/2（見圖4、圖5、圖6）。

在學生匯報的過程中，筆者引導他們發現：同樣的正方形，不同的涂法，可以出現不同的圖形;不同的圖形，不同的涂法，但是只要涂出2等份中的1份，就可以用分數1/2表示。直逼“分數”概念的本質——整體與部分的關系。筆者這樣逐步引導學生在對比中找到共性，在操作中感受1/2，體會分數的意義。

2.認識“幾分之一”

知識進入個體內心世界，主要靠體驗與反思。在接下來的練習中，筆者呈現了下面4個圖形。

師：深色部分都是圖形的1/2嗎？為什么？

這里學生在肯定圖7和圖9時，不僅鞏固了對1/2的理解，更重要的是把抽象的“數”與具體的“形”之間建立起一種對應關系，感受到“數形結合”的數學思想;在否定圖8和圖10的同時，又再一次反思了1/2這個分數的本質。學生體會到表示1/2的方法多種多樣，但是最關鍵、最核心的是二等分，1/2可以理解為“二分之一”，它能夠表示整體與部分的包含關系。此環節的設計讓學生能夠從不同的角度認識1/2，在頭腦中豐富1/2的表象，從而建構1/2的意義，再次為認識分數奠定基礎。

1/2的認識是理解其他分數的一個基礎，1/2這個突破口打開后，筆者呈現了下面兩個圖形。

師：你能用分數表示上面兩幅圖的深色部分嗎？

在學生匯報時，筆者反復強調“幾份中的一份”：1/4是把正方形平均分成4份后，4份中的1份;1/8是把正方形平均分成8份后，8份中的1份。學生體會到“幾份”是整體，“一份”是部分，這些分數表示的是整體與部分之間的一種包含關系。

3.認識“幾分之幾”

三年級的學生仍然以具體思維為主，教師在教學中要盡量為學生提供大量的感性材料，讓學生進行動手操作活動。動手實踐操作能夠幫助學生形成真實的、豐富的數學知識體驗。視學習為“做”的過程，“經歷”的過程。學生在學習數學知識時，不能僅僅被動接受，更要去主動建構。在這節課中，動手操作對學生建構分數模型有著非常積極的促進作用，它可以直接促使學生對所學知識進行深度探究。

在接下來的環節，筆者組織學生進行“折一折，涂一涂”的活動，讓他們根據自己的喜好創造出更多的分數。“把正方形平均分成4份，涂色部分有3份，4份中的3份可以用3/4來表示……”學生在實踐操作、分析思考、全班交流等一系列活動中，體會到“折”就是把整體平均分，“涂”就是在確定部分有幾份。這樣的設計讓學生在玩中學，在做中學，在合作交流中學，親身經歷分數的形成過程，找到分數形成的本源，對分數的意義進行深度探究。

四、揭示內在的知識本質，加強學生深度理解

在學生知道1/2、1/4、3/4這樣的數就是分數，已經建立了分數的表象，初步理解了分數的意義后，筆者進一步引導學生再比較，再思考，再概括。

師：你們能把所有的分數都說完嗎？試一試吧。

生：沒辦法全部說完，分數太多了。

師：分數的個數是無窮無盡的，任何一個分數都可以用這個模型來表示。其中分數線表示平均分，分母是幾就表示分幾份，分子是幾就表示有這樣的幾份（見圖13）。

這里，筆者使用更抽象和更有普遍意義的“幾分之幾”的模型，通過模型將抽象知識變為了形象的數學語言，促進了學生對分數意義的深度理解。

五、設計層遞性的實踐練習，促進學生深度運用

教學中要使學生感受數學與現實生活的聯系，初步學會運用所學的數學知識和方法解決一些簡單的實際問題。因此接下來的練習，筆者選取了學生常見的生活場景。

（1）把1個蛋糕平均分給4個小朋友，每個小朋友分到這個蛋糕的幾分之幾？

（2）又來了4個小朋友，要重新分，每個小朋友分到這個蛋糕的幾分之幾？

（3）班上同學過生日，大家平均分一個大蛋糕，你吃到這個蛋糕的幾分之幾？

（4）爸爸買了一個大西瓜回家，你們全家人平均分，你吃到這個西瓜的幾分之幾？

（5）生活中你還在哪里見過分數？能試著說說這個分數的意思嗎？

在這個環節中，學生用建立起來的分數模型再次解決了生活中的問題，體會到了數學模型的實際價值，意識到了所學知識的作用，真正做到了學以致用。

本課把握分數概念的支撐點——平均分，初步建立分數表象;緊扣分數概念的著力點——整體與部分，進一步抽象和概括;挖掘分數概念的生長點——平均分的對象，深入理解分數意義;構建出分數模型——直逼分數本質。

學生的深度學習源于教師有深度的課堂教學設計。思想決定高度，理念決定深度。教師只有對課標、教材進行深入挖掘后，精心設計教學的各個環節，從情境創設、操作探究、實踐運用等方面為學生設計有深度的學習活動，在教授學生數學知識的同時，注重數學方法、數學思想的融入，學生才能真正實現深度學習，發展數學核心素養。

（作者單位：四川省成都市武侯實驗中學附屬小學）

責任編輯：趙繼瑩

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