基于自然生成的高考復習教學設計的若干原則

【摘要】自然生成的教學設計，能體現出知識形成的一個過程，能體現教學的自然規律，能激發學生思維，展現學生內在學習動力及活力。高三復習過程中，通過自然生成的高考復習教學設計的若干原則，有利于達到教學的優效。

【關鍵詞】高考? 教學設計? 自然生成

【基金項目】本文為福建教育學院資助的福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）《核心素養視角下“自然生成”數學教學實踐研究》的研究成果，編號為：JSZJ20086。

【中圖分類號】 G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）34-0141-02

近日，筆者對一道解三角形試題進行深入探究，從問題中的圖形結構特點出發，探究多元化解題策略，取得一定的研究成果。那么我們如何對這道題進行教學呢？特別是高考復習課如何實施自然生成的教學設計？需要遵循哪些原則？數學是過程，數學教學設計要體現過程[1]。下面筆者結合這道解三角形題的教學，來闡述基于自然生成的高考復習教學設計的若干原則，供大家參考。

1.自然生成的教學設計要順應學生的思維路徑

開門見山，筆者拋出一道改編的解三角形試題：

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a+b=5，∠ACB=。若點D為線段AB的中點，∠ACD=，求a，b。

學生進行小組討論，筆者設計以下幾個問題，讓學生回答：

問題1 本題解題目標是求a，b的值，就是求兩個量，你會怎么做？

生1：可以找出關于a，b的兩個等量關系，其中有一個是條件a+b=5，還有一個隱含的條件待我們尋求，直接找出有點困難。

問題2 是不是可以對某些已知的量進行轉化？

生1：我知道∠ACB=可轉化為邊的等量關系c2=a2+b2+ab。

問題3 這樣是不是變成找出關于a，b，c的三個等量關系，那是不是還要再找一個等量關系呢？

這時教師順應學生的思維引入本節課的主題：從不同的角度分析，尋求圖形中隱含的等量關系。

2.自然生成的教學設計要符合自然規律

為達到自然生成，教學設計就應符合學生的認識規律，就應符合知識形成的內在規律[2]。本題解題目標為尋求等量關系，可利用算兩次原理搭建。

問題4 為搭建關于a，b，c的另一個等量關系，我是不是可以從某個三角形元素出發建立等量關系？

生2（解法一）：是的， 我是通過角B的余弦值分別在△BCD與△ABC中算兩次尋求等量關系的。

由條件知，c2=a2+b2+ab，∠C=，又∠ACD=，則∠BCD=。在Rt△BCD中，cosB=。在△ABC中，cosB=。即=，整理得c2-3a2-b2=0。

這時結合a+b=5，關于a，b，c的三個不同等量關系找到，因此求出a=，b=。

這時，學生3，4，5也贊同，但他是從另外一個量出發的。

生3（解法二）：角A的余弦值分別在△ACD與△ABC中算兩次尋求等量關系。解法與解法一相仿。

這時課堂氣氛開始活躍起來了，學生開始自然而然從不同角度及不同量算兩次，得出以下幾種解法。

生4（解法三）：圖形中具有“△ACD與△BCD共邊，且∠ADC+∠BDC=π”的結構。因此，我們可以運用sin∠ADC=sin∠BCD搭個等量關系使之達到解題目標。解法如下：在△ACD中，= ①，在△BCD中， =②，又D為AB的中點，所以AD=BD，又∠ADC+∠BDC=π，所以sin∠ADC=sin∠BDC。結合①、②知b=2a。

生5（解法四）：圖形中具有“△ACD與△BCD共邊，且∠ADC+∠BDC=π”的結構。我們也可以運用cos∠ADC+cos∠BCD=0搭個等量關系使之達到解題目標。解法與解法三相仿。

3.自然生成的教學設計要激發學生的潛力

師問：一定要從角的角度思考嗎？可以從其他的元素出發嗎？

生6（解法五）：由所給條件的結構中∠ACD及∠BCD的角度已確定，又D為AB的中點，因此，聯想到用兩個三角形面積的比值來確定a，b及CD的數量關系。解法如下：S△ACD=b·CDsin∠ACD=b·CD。S△BCD=a·CD。因為D為AB的中點，所以S△ACD=S△BCD，所以b·CD=a·CD，即b=2a。

生7（解法六）：由所給條件的結構中D為AB的中點，因此，聯想到用平面向量來確定a、b及CD的數量關系，處理方法就是對向量恒等式進行平方。解法如下：因為D為AB的中點，所以=

+，于是=

+

+2

·，即-a2=（a2+b2-ab），知ab=2a2。

生8（解法七）：由所給條件的結構中D為AB的中點，因此，聯想到用中線長公式來確定a，b及CD的數量關系。解法如下：因為D為AB的中點，所以由中線長公式得a2+b2=2CD2

+。

4.自然生成的教學設計要有培養學生創新意識

師問：這題本身是平面幾何問題，能否從平面幾何相關知識解題呢？

生9（解法八）：由所給條件的結構中D為AB的中點，由此，運用中線倍長的作輔助線方法來確定a，b的數量關系。解法如下：延長CD至E，使得CD=DE，連結AE，BE，可知四邊形ACBE為平行四邊形，所以∠AEC=∠BCE=，在Rt△AEC中，∠ACE=，則b=2a。

5.自然生成的教學設計要打破學生定向思維

生10（解法九）：由所給條件的結構中∠BCD=，容易想到建立平面直角坐標系，用解析幾何法來確定a，b的數量關系。解法如下：以C為原點，CD，CB的所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，此時，B（0，a），A（b，-b），注意到D為AB的中點，且在x軸上，所以a+-

b=0，即b=2a。

6.結束語

本節課以“尋求圖形中隱含的等量關系”之內容為主體組織教學。為實現教學目標，結合學生的實際情況，這節課運用自然生成的教學設計五個原則展開教學。在內容上通過一個典型例題，以“試題問題化、問題模型化、解模規范化、解題技能化”為主要表達形式，學生在通過獨立思考、合作交流的過程中，實現靈活應用結論分析問題、解決問題目的，從而提高學習興趣，激發學習欲望和探究精神[3]。

參考文獻：

[1]裴光亞.數學是過程[J].中學數學， 2002（8）：22-24.

[2]陳景文，杜成北.基于數學核心素養下自然生成的公式教學研究——以“兩角差余弦公式”教學設計為例[J].福建中學數學，2017 （5）：24-27.

[3]朱永廣.例談數學問題的模型化解題思路[J].數學通報，2006（10）：30-33.