高中生學習立體幾何的障礙及教學改進策略

【摘 要】在高中數學知識中，立體幾何占據著重要的地位。立體幾何知識的特殊性，決定了學生在學習過程中會遇到與學習其他知識不同的障礙。對這些問題的探討，有助于教師更加全面地了解學生的學習情況，及時改進自己的教學策略。

【關鍵詞】高中數學;立體幾何;障礙;改進策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0025-02

人們感知的現實空間是三維空間，而三維空間中物體的形狀、大小和位置關系就是立體幾何所要研究的對象[1]。立體幾何中，有大量的定義、判定定理、性質定理，有類比法、化歸轉化、分析法、綜合法等重要的思想方法，以及許多可以簡化問題的二級結論[2]。立體幾何具有抽象的知識體系，給高中生的學習造成了一些障礙。

1? ?高中生學習立體幾何的障礙

1.1? 缺乏生活體驗

目前部分學生多專注于課程學習，生活體驗不足，缺乏生活常識，造成了認知障礙。以下面這道題為例：在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中，M是棱A的中點，過點C、M、D作正方體的截面，求截面面積。解決這個問題需要利用面面平行的性質和平面的基本性質，畫出截面與正方體各個面的交線，最后得出截面是等腰梯形。但是，有學生提出質疑，感覺在現實生活中不可能是這樣的。其實這就是由于學生缺乏生活常識導致了對本題的認知障礙，如果平時學生會觀察生活，便能發現在切菜時隨著刀法的不同，切出的菜的形狀也會有所不同。

1.2? 缺乏空間想象能力

在學習立體幾何之前，學生在書本上接觸到的圖形基本都是平面圖形，頭腦里對于圖形的認識都停留在平面上。即使生活中接觸的大部分是立體圖形，但是因為沒有從立體角度思考，學生便不會在意這些問題。長久以來的思維習慣也導致了學生缺乏空間想象能力。如有學生能理解畫立體圖形直觀圖的方法，但是畫出的直觀圖缺乏空間感。

1.3? 對教材基礎知識掌握不到位

立體幾何涉及大量的概念、公式、定理，以及許多經常用到的二級結論，學生只有先掌握這些知識，才能在解題時有的放矢。而現實情況是，很多學生只是知道一個個單獨的知識點，而不能將它們串聯起來形成體系。這就給解題帶來極大的挑戰，題目能否做出來就看自己是否剛好想到了題目里用到的某個關鍵知識點，而不是根據題目特征，分析出解決問題需要用到哪部分的知識。

1.4? 對基本思想方法理解不夠

生活體驗和空間想象能力的缺乏，以及對教材中概念和定理本質的認知不足，導致學生只能死記硬背教師教授的方法，當題目條件稍微變化，或者題目比較靈活時，就不能獨立解決。如在學習的過程中，有學生提出，聽老師分析感覺都很有道理，自己就想不出來。也就是，如果告訴這個學生，解決這個問題需要經過哪幾個關鍵點后，他能夠逐一得到這幾個關鍵點。但如果不給他任何提示，他就不知道如何去找到這幾個關鍵點。

2? ?高中數學立體幾何教學改進策略

2.1? 運用數學教具模型

在學習立體幾何的過程中，可以用到數學教具模型。學生通過觀察立體幾何模型，首先會產生直觀感知，然后通過教師的引導，可以抽象出數學上的概念、公理、定理等。如在最開始引入棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球的概念時，可以先讓學生觀察相關幾何體，然后自己總結出這幾類空間圖形的結構特征。長方體是比較簡單的幾何體，也是學生非常熟悉的。在研究點、線、面的位置關系時，可先讓學生觀察長方體，然后再抽象出幾類關系。此外，教師也可以自制一些簡單、有代表性的模型，幫助學生理解。如面對“三個互不重合的平面可能把空間分成幾個部分”這個問題，學生已經知道兩個互不重合的平面可以把空間分成三個或四個部分。但是現在增加一個平面的情況下，問題的難度增加了許多。首先要考慮平面的基本性質，其次還要研究第三個平面可能會與前兩個平面存在哪些位置關系。學生剛開始接觸平面的知識，畫圖能力和空間想象能力都有所欠缺。在解決這個問題時，教師完全可以自制教具，找到三個矩形硬紙板代表平面，每個紙板沿著中位線剪開一半，這樣就很容易演示兩個平面相交的情況。

2.2? 運用多媒體技術

多媒體技術可以模擬真實的三維空間，為理解和研究立體圖形提供幾何直觀。所以，在立體幾何的教學中，運用多媒體技術是很有必要的。如在引入一些幾何體的概念前，先用PPT展示世界上一些著名建筑的圖片，讓學生感知到立體幾何確實來源于生活，引起學生興趣。在介紹旋轉體時，先通過視頻介紹制陶工藝，讓學生從中感知旋轉體是通過旋轉產生的。在講解動點問題時，借助幾何畫板演示，讓學生感受動點位置不同會引起直線或者平面位置的變化。利用多媒體技術，展示長方體模型，方便學生多角度地研究空間中點、線、面的位置關系。

2.3? 引入合適的生活場景

平面的性質是以基本事實的形式給出，但是為了讓學生經歷知識的發生過程，教師完全可以引入合適的生活場景或借助教室里的物品輔助教學。如用三根手指的指尖就能托住一個紙板，說明不在同一條直線上的三點可以確定一個平面。只需把筆的兩端放在桌面內，那么整支筆就會在桌面內，說明直線上只要有兩個點在平面內，那么這條直線就在平面內。書本可以跟桌面只有一個公共點，但是兩個平面如果有一個公共點，那么它們有且只有一條經過該點的公共直線，這是由平面的性質決定的。數學上的平面是抽象出來的一個概念，可無限延伸，在生活中是找不到的。再如以門和墻面為例，來研究線面平行。打開的門，不管轉動到任何位置，都跟門軸平行，也跟門軸所在墻面平行，由此可得線面平行的判定定理。打開的門，不管轉動到任何位置，跟門軸所在墻面平行，而且始終跟門軸平行，由此可得線面平行的性質定理。

2.4? 讓學生學會識圖與畫圖

在立體幾何中，有三種語言：文字語言、符號語言和圖形語言。由于立體幾何是研究立體圖形，所以跟其他部分相比，立體幾何尤其注重圖形語言。認識和研究空間圖形要經歷四個階段：直觀感知、操作確認、度量計算和思辨論證。簡單來說，就是需要識圖、畫圖、算圖和論圖。那么對學生的要求就是要能夠畫出常見幾何體的直觀圖;反過來，如果給出幾何體的直觀圖，學生也要能夠分析出其中點、線、面的位置關系。在剛開始學習畫圖的時候，教師可以拿一些模型出來，讓學生觀察并討論觀察到的立體圖形與實際的立體圖形相比有什么不同。然后結合課本上對斜二測畫法的介紹，歸納出畫立體圖形的要點。最后，讓學生自己嘗試著畫出立體圖形，并通過實物投影展示學生成果，讓全班一起投票選出最具有立體感的圖，并再次強調畫圖要具有立體感。看得到的線畫成實線，被遮擋的線要畫成虛線，這樣學生的空間感就能逐步形成。有了自己畫圖的體會后，再去識圖，學生也能清楚地知道怎么去看。

2.5? 展現完整的思維過程

立體幾何中需要研究空間直線和平面的位置關系，這部分題目通常以證明題的形式出現。以這道題為例：（如圖1）已知AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上異于A、B的一點，求證：平面PBC⊥平面PAC。面面關系是立體幾何中最高維度的位置關系，想要證明面面垂直，只能用面面垂直的判定定理，關鍵就是在其中一個平面內找到一條直線與另一個平面垂直。而根據面面垂直的性質定理，如果兩個平面垂直，在其中一個平面內垂直于交線的直線，一定垂直于另一個平面。首先找到兩個平面的交線PC，然后在其中一個平面內找到與PC垂直的直線，BC就是滿足要求的直線。這可以用三垂線定理來說明，因為BC垂直于PC在平面ABC內的射影AC，所以BC垂直于PC。但是具體到證明過程，則只能用到教材里的公理和定理。在尋找題解思路的過程中，可以用分析法，要證平面PBC⊥平面PAC，只需證BC⊥平面PAC。要證BC⊥平面PAC，只需證BC與平面PAC內的兩條相交直線都垂直。而通過分析題目條件，不難得到直線BC與平面PAC內的兩條相交直線PA和AC都垂直。接下來，只需要從題設條件出發，用綜合法寫出完整的證明過程即可。

2.6? 梳理教材知識

以蘇教版教材為例，教材中介紹了柱、錐、臺和球的概念，以及相應的表面積與體積公式。一個基本事實和三個推論來確定平面，還有用來判定線在面內，以及兩平面交線的基本事實，等角定理以及平行公理。位置關系主要是研究直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系。在研究這幾類位置關系時，需要理清課本上的定義、判定定理和性質定理。在教學中，可以用圖2來表示以上幾種關系的相互轉化。

2.7? 強化基本思想方法

立體幾何中有兩類特殊的關系：平行和垂直。在研究過直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系后，學生已經掌握證明空間圖形位置關系的基本方法，接下來研究垂直關系，教師完全可以引導學生用類比法自主研究，教師只需要適時點播，指出兩種關系的差異，幫學生正確區分。

立體幾何中的一個重要思想方法是降維，即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題，這在許多計算問題中能夠體現出來。以這道題為例：已知圓錐的底面半徑為2，高為，求該圓錐的內切球表面積。要求圓錐的內切球表面積，就要知道內切球的半徑。球心到圓錐底面和側面的距離都是半徑，球心到底面的距離就是球心與底面圓圓心的距離，而球心到圓錐側面的距離就比較復雜。其實，本題只需要研究圓錐的軸截面，就可以把立體幾何問題轉化為平面幾何問題。圓錐的軸截面是等腰三角形，截球所得是大圓，大圓剛好是等腰三角形的內切圓。接下來就把問題轉化為求等腰三角形的內切圓，用初中學過的平面幾何的方法就能解決。

在新高考的背景下，立體幾何題目的難度也有所提高，不再是固定題型固定套路，這就決定了教師既要鉆研教材、課標，也要研究學生。只有把書本知識與學生實際相結合，精心設計教學過程，才能使學生克服學習中的障礙，真正具備空間想象、邏輯推理以及運用圖形語言和符號語言進行交流的能力。

【參考文獻】

[1]單墫，李善良.高中數學教學參考書·必修第二冊[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

【作者簡介】

王桂芳（1989～），女，漢族，河南周口人，碩士，中學二級教師。