數(shù)學(xué)模型方法指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)

謝明德

【摘 要】本文論述高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的策略，提出教師要樹(shù)立數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，將數(shù)學(xué)建模貫穿于教學(xué)的過(guò)程中，利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模故事提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從多視角通過(guò)一題多解發(fā)散學(xué)生的思維，創(chuàng)新和改編課本的例題、習(xí)題等，以期使學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 一題多解

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）46-0089-02

數(shù)學(xué)建模可以作為部分?jǐn)?shù)學(xué)興趣小組的課外活動(dòng)，同時(shí)也可以作為一種教學(xué)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程。教師作為引領(lǐng)人，要提出合適的、可操作的建模素材，這是數(shù)學(xué)建模的突破口。數(shù)學(xué)模型方法指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教與學(xué)，要求盡可能地創(chuàng)設(shè)或恢復(fù)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的全過(guò)程，也就是說(shuō)，教與學(xué)要從現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)，充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、綜合、歸納、抽象、概括等基本的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)獲得數(shù)學(xué)概念、基本關(guān)系，通過(guò)推演獲得公式、公理和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

一、利用經(jīng)典數(shù)學(xué)建模故事

【例1】人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)在第七章《復(fù)數(shù)》中，針對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念部分，為了解決x2+1=0在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題，引入復(fù)數(shù)i，規(guī)定i2=-1，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了復(fù)數(shù)的相關(guān)理論。

事實(shí)上，復(fù)數(shù)首先是由代數(shù)學(xué)家卡當(dāng)（J. Cardan）在求解方程x（10-x）=40時(shí)引入的，復(fù)數(shù)這個(gè)名詞是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯給出的。但是，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)是不愿意接受的，直到18世紀(jì)末19世紀(jì)初，挪威測(cè)量學(xué)家未塞爾根據(jù)自己的測(cè)量學(xué)知識(shí)，憑直覺(jué)找到了復(fù)數(shù)的幾何表示法：復(fù)數(shù)a+bi與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。這樣一來(lái)，復(fù)數(shù)就找到了一個(gè)現(xiàn)實(shí)模型，而且在測(cè)繪學(xué)上找到了它的應(yīng)用。復(fù)數(shù)模型找到了立足點(diǎn)后，以歐拉為首的一些數(shù)學(xué)家發(fā)展了復(fù)變函數(shù)論這一數(shù)學(xué)分支。在法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西和德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼、維爾斯特拉斯等人的不懈努力下，復(fù)變函數(shù)論取得了飛躍式的發(fā)展，并實(shí)現(xiàn)了廣泛的應(yīng)用，如19世紀(jì)初俄羅斯科學(xué)家儒可夫斯基將復(fù)變函數(shù)理論運(yùn)用到航空工程領(lǐng)域，取得了重大成就。

反思：學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)時(shí)會(huì)感覺(jué)虛無(wú)縹緲，看不見(jiàn)、用不上，缺乏實(shí)踐基礎(chǔ)。教師可以簡(jiǎn)單介紹復(fù)數(shù)理論的歷史故事，引導(dǎo)學(xué)生了解復(fù)數(shù)理論的現(xiàn)實(shí)用處，讓學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的知識(shí)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。溝通數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐活動(dòng)的橋梁是數(shù)學(xué)建模。理論突破和實(shí)踐突破是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力，有時(shí)候先有數(shù)學(xué)理論的突破，需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐才能找到數(shù)學(xué)理論的用武之地;有時(shí)候先有實(shí)踐的需求，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家的建模活動(dòng)才能為實(shí)踐指明方向，同時(shí)可能誕生出一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)分支。例如，微積分理論是牛頓和萊布尼茨在研究物理和數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)創(chuàng)立的，圖論是歐拉在研究哥尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí)創(chuàng)立的，等等。這樣的數(shù)學(xué)建模，高中階段的教師和學(xué)生是難以進(jìn)行的，但是了解相關(guān)的故事有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生樹(shù)立遠(yuǎn)大的理想。

【例2】俄國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家伽莫夫（G. Gamow，1904—1968年）曾試圖揭開(kāi)復(fù)數(shù)的奧秘。有一次，他出了一道難題：有一張破舊發(fā)黃的羊皮紙，上面指出了某一無(wú)人島上海盜寶藏的位置，同時(shí)指示出島上僅有兩棵樹(shù)A和B，還有一個(gè)斷頭臺(tái);從斷頭臺(tái)開(kāi)始直線走向A樹(shù)并記下步數(shù)，到達(dá)后向左轉(zhuǎn)90°繼續(xù)直走相同的步數(shù)，然后在停止處釘下一根長(zhǎng)釘;再回到斷頭臺(tái)直線走向B樹(shù)，到達(dá)后右轉(zhuǎn)90°繼續(xù)直走相同的步數(shù)，同樣在停止處釘下一根長(zhǎng)釘;這時(shí)只要在兩釘連線的中點(diǎn)處挖掘，就可以找到寶藏。一位年輕的探險(xiǎn)家幸運(yùn)地得到了這張羊皮紙，于是租了一艘船，乘風(fēng)破浪、披星戴月、滿懷信心地前往該島。他毫不費(fèi)力地找到了那兩棵樹(shù)，然而令他沮喪的是，斷頭臺(tái)卻蕩然無(wú)存了！斷頭臺(tái)所在地的一切痕跡也因年代久遠(yuǎn)而消失于荒煙蔓草之中。找不到這個(gè)斷頭臺(tái)，年輕人無(wú)法找到寶藏，只好失望地空手而歸。

分析：第一步，建立模型。建立實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)理論和方法的聯(lián)系。將問(wèn)題中的樹(shù)、斷頭臺(tái)等抽象為平面上的點(diǎn)，為了確定點(diǎn)的位置可以建立坐標(biāo)系。第二步，求解模型。問(wèn)題中牽涉到旋轉(zhuǎn)，可以用復(fù)數(shù)的乘法和向量的相關(guān)理論加以求解。第三步，轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解。

反思：此問(wèn)題運(yùn)用了向量和復(fù)數(shù)的相關(guān)理論，特別是在處理旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，使用復(fù)數(shù)的乘法處理就十分巧妙;同時(shí)，學(xué)生也能體驗(yàn)到對(duì)復(fù)數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，深化對(duì)復(fù)數(shù)和向量的理解。經(jīng)典的數(shù)學(xué)故事往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的巨大能量，能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值。講好經(jīng)典的數(shù)學(xué)故事有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。

二、多視角下的一題多解

數(shù)學(xué)中的各種公式及其運(yùn)算系統(tǒng)、各類(lèi)方程及其求解方法等都是由對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系抽象出來(lái)的，它們也分別構(gòu)成數(shù)學(xué)模型。人們?cè)诮鉀Q一類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中可采用的共同的計(jì)策構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，也就是方法型數(shù)學(xué)模型。事實(shí)上，人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)選擇性必修1第一章《空間向量與立體幾何》就是一個(gè)典型的方法型數(shù)學(xué)模型，它用向量的理論解決了立體幾何中的平行、垂直、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題。一題多解，運(yùn)用不同的理論知識(shí)加以闡述，能夠幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，發(fā)散數(shù)學(xué)思維。

反思：此題用了三種不同的方法，其實(shí)是建立了三種不同的數(shù)學(xué)模型。所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)不同，有利于學(xué)生建立知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。法一和法三用到了關(guān)系映射反演方法（如圖5所示），這種方法和建立數(shù)學(xué)模型求解是一脈相承的。

三、課本例題、習(xí)題的創(chuàng)新和改編

【例4】人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)（2017年版，2019年修訂）第238頁(yè)例題：摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀機(jī)械設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)。摩天輪最高點(diǎn)距離地面120米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑110米，游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30分鐘，游客甲坐上摩天輪的座艙，求開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度H。

反思：學(xué)生在建模、求解模型的過(guò)程中可以深化對(duì)正弦函數(shù)的理解，得到解析式H（t）=Asin（ωx+φ）+b后進(jìn)一步理解了A、ω、φ、b的物理意義和幾何意義，對(duì)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期性特點(diǎn)有了更深刻的認(rèn)識(shí)，這也有助于理解物理學(xué)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

教科書(shū)第242—248頁(yè)編排了豐富的三角函數(shù)模型的應(yīng)用案例，為數(shù)學(xué)模型方法指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教與學(xué)提供了豐富的教學(xué)素材，同時(shí)也體現(xiàn)了教材編寫(xiě)者對(duì)高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的重視。

總之，數(shù)學(xué)模型方法指導(dǎo)下的教學(xué)需要教師巧妙地設(shè)計(jì)問(wèn)題，提供智力支持和方法指導(dǎo)，而在這個(gè)過(guò)程中教師也能有所收獲，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng);同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽設(shè)想，小心求證，充分點(diǎn)燃學(xué)生的積極性，讓學(xué)生在探索的過(guò)程中培養(yǎng)團(tuán)結(jié)合作的精神和求真務(wù)實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]沈文選，楊清桃.數(shù)學(xué)建模嘗試[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2018.

[3]張思明.理解數(shù)學(xué)[M].福州：福建教育出版社，2012.

注：本文系廣東省教育研究院立項(xiàng)課題“基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：GDJY-2020-A-s124）研究成果。