概率論教學中如何培養學生的數學思維

李松 李應祥

【摘要】概率論是高等數學教學中非常重要的一個教學內容，與其他數學知識點不同的是，概率論所研究的內容不是確定性現象，而是隨機現象，因此對于學生而言具有一定的理解難度.現代教育強調發展學生的綜合能力，培養學生的綜合性思維，在高職數學概率論教學中同樣也需要重視對學生數學思維的培養，啟發學生多元化的數學思維，提升學生的數學素養和數學能力.基于此，本文對概率論教學中培養學生數學思維的途徑進行分析探討，希望能夠為相關教育工作者提供教學參考.

【關鍵詞】概率論;高職數學;數學思維;培養

高職院校中的教學較為側重專業實踐，但作為一門必不可少的公共基礎課程，學生應該認識到概率論課程的重要性，其研究的雖然是隨機現象，但在隨機現象中蘊含的是有關統計學的本質規律.學習概率論不僅可以鞏固學生的數學知識基礎，還能夠強化學生的數學思維，促使學生靈活運用概率論的思維方式解決各種數學問題以及實際問題，為學生構建完善的數學知識體系.教師通過對概率論思維方式的培養和提升，還可以為高職院校學生的專業學習奠定基礎，使學生獲得更加全面的發展.

一、概率論教學中數學思維的表現特征

概率論中對隨機現象的判斷和計算與我們的生活息息相關.概率論蘊含的數學思維十分廣泛，如隨機性思維、化零為整思維、概率論思維、辯證思維、發散思維、整合思維等，而這些思維的特征主要表現為以下幾個方面.第一，具有隨機性.概率論的內容與其他知識點有一定的差異性，即概率論研究的是隨機現象的規律，而其他學科研究的是已經確定的事物規律，這一本質從根本上決定了概率論數學思維中的隨機性、偶然性.第二，具有問題性.在概率論教學中問題是持續出現的，當概率問題出現之后，其內涵會指向問題的分析和解答過程，最終得到的結果是思維問題性的體現.第三，具有概括性.概率論探討研究的雖然是隨機現象，但無論是哪一種數學思維，在概率論中的運用都是為了找到事物內部的根本規律和數量關系.在概率論的實踐教學中，若想培養學生的數學思維，教師必須使學生清楚概率論中數學思維的主要特征，并在此基礎上使學生明確思維能力提升的主要方向.

二、概率論中培養學生數學思維的方式

（一）充分調動學生對概率論的學習興趣

都說興趣是學生最好的老師，無論在哪一學科的學習中，興趣都是學生積極學習的驅動力.因此，在高職院校概率論教學中要想培養學生的數學思維，教師就應充分調動學生對概率論學習的積極性，只有學生以端正的學習態度對待概率論的學習，才能夠真正落實數學思維的有效培養.首先，數學教師應做好課程的導入教學.作為概率論課程的初始，利用趣味性的故事或例子可以吸引學生對新知識的注意力，并且高職院校中一部分學生的數學基礎不是很好，針對概率論的學習會表現出一些畏懼感，這時引用相關的案例能夠降低學生對概率學習的畏難情緒，促使學生接受并主動學習概率論知識，為數學思維的培養奠定基礎.其次，學生對概率論的學習興趣還取決于教師對課程的合理安排以及對教學方式的合理運用.在教學中，教師應該結合學生的基礎對整體課程進行規范性的整合，滿足學生的認知要求，當學生在數學學習中獲得充分的滿足感和成就感時，其對數學知識的學習興趣自然而然就會得到提升.另外，教師對于教學方式的選擇應具有創新性，能夠讓學生參與其中，使學生增強課堂活躍性，進而提升數學思維的活力和靈活性.

（二）利用對立事件培養發散思維

在概率論教學中，對立事件的概率計算是其中重要的組成部分.對立事件指的是某一事件的發生概率與其不能同時發生的逆事件的發生概率之間的數量關系，其概率計算公式為P（A）+P（A-）=1.在此基礎上可以對公式進行進一步的變形，即P（A）=1-P（A-），P（A-）=1-P（A）.對立事件概率計算公式的變形說明，某一事件的發生概率與其逆事件發生概率總和為固定值，當該事件的發生概率難以從已知條件中明確時，則可以對其逆事件的發生概率進行計算，然后根據二者的數量關系計算得出事件的發生概率.這一解題思維與數學思維中的發散思維以及逆向思維具有相似性，即在解題過程中遇到不能完全確定的數據或條件時，可以從其逆向角度思考，從而在不同思路的探索中精準找到最恰當的解題策略，更高效地解決問題.因此，在對立事件概率計算教學中，數學教師應加強對其背后深層含義的發掘，不僅要教給學生如何靈活運用計算公式解決概率問題，還要讓學生形成逆向思考的意識，從不同方面、不同角度對問題進行探究，善于采用活躍思維分析不同類型的題目，促使學生的發散思維能力得以提升.此外，概率論中提到的對立事件在現實生活中同樣具有較為廣泛的體現.人們在解決此類問題時同樣可以采用多角度思考的方式，探究不同的解決途徑，這樣既可以實現思維的發散性啟發，又可以在分析過程中獲得更多的能力.利用對立事件可以有效培養學生的數學發散思維，促進學生的全面發展.

（三）利用隨機現象的本質培養隨機性思維

高職階段學習的概率論與高中時期學習的概率知識相比，其深度和廣度都有所提升，并且高等數學中的概率論教學與微積分、線性代數等知識有較強的聯系，對學生而言學習難度更高.因此，數學教師在教學過程中應讓學生清晰地明確概率論研究隨機現象的本質，在教學過程中全程灌輸隨機性思維，并指導學生用隨機性思維分析問題和解決問題.在以往的數學知識學習中，問題的答案都是固定且唯一的，在這種確定事件下，學生通常會形成固定思維，即認為所有的問題都有明確的答案，但實際上許多問題都不是單一性的，而是充滿偶然性的，如果還以之前的數學觀念去看待這些問題，就會出現理解偏差，對問題的解決造成制約性影響.面對不確定的隨機現象，其影響因素也是不確定的，多種因素的共同作用使其概率性表現出不確定的差異性.在數學研究中對此類概率進行推算通常需要進行大量重復性的實驗.概率論教學中有一個非常經典的實驗案例就是“拋硬幣”，隨意拋硬幣后一般只有兩種結果，非正即反，除了這兩種情況之外沒有其他可能，但在拋起落地之前誰都不能確切地說出到底是哪一面向上.這時就出現了概率問題，當多次重復地對硬幣進行拋擲并記錄其結果后，可以從數據中發現其正面和反面的出現概率都接近50%.此結果說明即使不確定現象的發生結果是無法提前預知的，但當其經過大量隨機實驗后就會呈現出一定的必然性概率結果.無論是多么隨機的事件都可以通過相關的計算和實驗來確定其內部存在的必然性，因此在數學學科的學習過程中，學生應掌握隨機性的思維意識，對待各種數學問題可以從隨機角度進行思考，充分了解其表面的偶然規律，發掘其內在的必然結果.

（四）利用全概率公式培養化整為零思維

在概率論的所有計算公式中，全概率公式是比較重要的計算公式之一，其具體指的是：設事件組A1，A2，…，An，…為樣本空間Ω的一個完備事件組，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，…，則對任何事件B，有P（B）=∑+∞i=1P（Ai）P（BAi），這一公式的適用范圍是隨機試驗的過程具有并列結構特征，其本質思想是把選取的樣本空間按照一定的劃分標準將復雜概率事件分為不同的互不相容的事件，若干劃分事件又組成一個完整的和事件，再根據概率的加法公式對整個復雜事件的概率進行計算.由全概率公式的定理和基本思想可以明確，其是對整體和部分觀念的有機融合應用，與化整為零的思維方式比較相似.因此，在概率論的教學過程中，教師應有意識地教授學生化整為零思維，讓學生充分理解整體和部分的互相轉化關系，從整體出發對部分知識進行整合，從部分出發對整體知識進行細化，無論從宏觀還是從微觀都實現對知識內容的完整把握.在數學學科的學習中經常會遇到綜合性的問題，將各種知識點融合在一起，其理解難度以及解答難度都相對較高，對學生而言具有一定的學習難度，而通過引導學生形成化整為零的思維，可以簡化學生的問題解決過程，促使學生將復雜問題進行分解細化，逐層或逐步解決部分問題，最終完成對整個問題的解答，有效拓展學生的數學思維能力.

（五）利用概率論思維培養批判性思維

在概率論教學中，教師可以基于概率論思維培養學生的批判性思維，因為概率論思維具有問題性、概括性等特征.在求解概率論問題時，學生通常要進行大量的試驗和計算，對結果的判斷常常需要大量的辯證思考，這個過程使學生的思維得到訓練，進而促使其形成批判性思維.批判性思維指的是以疑問、批判的態度面對各種問題，脫離既定思想的限制，對得到的條件和結果不斷提出質疑，并在此基礎上對其進行批判性評價，最終得出相應的結果.批判性思維需要學生具有獨立思考的個體意識，能夠從不同角度給予問題不一樣的見解.在概率論教學中，教師以概率論思維為基礎進行教學可以促使學生不斷對所獲得的隨機現象結果進行批判性思考并對結果的真實性進行質疑，從而使學生在不斷地質疑過程中實現思維的拓展，在思考的過程中實現數學能力的發展和創新.培養批判性思維不僅可以讓學生形成問題意識，為學生重構數學知識體系，還能激發學生思考的積極性，啟發學生的多項思維能力，提高學生的數學綜合能力，增強學生對問題思考的深入性.

三、結束語

綜上所述，概率論是高職院校學生必須學習的重要基礎課程，既是學生學習微積分、線性代數等數學知識的基礎和拓展，也是學生解決實際生活中隨機問題的關鍵.概率論涵蓋多種思維方式，教師對教學觀念和教學方式的合理應用可調動學生的學習積極性，為學生數學思維的培養奠定堅實的基礎.教師應該根據概率論的教學特征以及學生的實際情況對概率論課程進行合理整合，利用對立事件公式培養學生的數學發散思維，利用隨機現象本質培養學生的隨機性思維，借助全概率公式培養學生的化整為零思維，此外，利用概率論思維也可以培養學生的批判性思維，使其積極探究概率論學科的內涵，全面提高學生的數學思維.

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