借助幾何直觀，促進有效建模

孫麗麗

【摘要】模型素養是學生數學核心素養的重要組成，幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象.如果學生在遇到問題時能夠借助幾何直觀，把問題轉化為直觀的模型，那么學生就能將遇到的數學問題在思想上進行整體的把握、理解，學會通過模型將抽象的問題直觀化.本文旨在探索如何借助幾何直觀促進知識建模的策略研究，繼而提升學生對數學的學習能力，提高學生的數學素養.

【關鍵詞】幾何直觀;建模;課例

一、問題的提出

筆者通過查閱文獻，發現雖然對“如何培養小學生的幾何直觀能力”“如何培養學生的模型思想”有不少的研究，這些研究或闡述了幾何直觀能力的培養方法，或介紹如何培養學生的模型思想，但都沒有從借助幾何直觀方面，對如何培養學生的建模思想進行探討.

從兒童認知發展的角度講，由于小學中高年段的學生還處在形象思維向抽象思維過渡階段，而數學建模又是比較抽象和復雜的，為了解決小學中高年段數學建模吃力的現象，教師可以通過觀察、操作、推理、歸納，借助幾何直觀將復雜的數學問題變得形象，幫助學生直觀地理解數學，并培養學生的立體感、空間感，以及空間建模思維.

二、相關概念的界定

曹培英在《跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》這本書中這樣給“模型”下定義：數學模型乃是針對或參照某種事物系統的特征或數量的相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表達出來的一種數學結構.

2011年版《數學課程標準》中模型思想是十大核心概念之一.它是這樣描述的：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義.

史寧中教授在《數學思想概論》一書中說道，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，通過抽象在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過建模建立數學與外部世界的聯系.

綜上所述，并通過筆者長期在一線教學對模型課例的探索研究，在小學階段應該重視模型思想的建構.為了探索模型教學課例的特點，筆者將小學中高年段相關課例進行了梳理，小學數學中的模型包括計算型模型、概念型模型和應用型模型等.用模型思想研究小學數學，不僅是為了獲得數學結論，而是讓學生從模型的視角去認識、描述、把握數學問題.

三、北師版中高年段關于建模的課例分析

針對教師關于模型課例的實踐探索，筆者對本校28位數學教師對模型的課例進行了問卷調查.通過調查，發現92%的教師都是在教學中根據學生的思維特點，借助幾何直觀促進學生有效建模，90%的教師從教具、學具的使用上和學生的活動實踐入手，幫助學生建構模型思想.

四、課例研究及教學策略

小學中高年段的建模教學最為核心的就是讓學生借助幾何直觀，通過觀察、分析等方式真正經歷建模過程.根據小學生的思維特點，數學教師在教學中要關注表象的作用，引導學生從具體到抽象的過渡，幫助學生更好地把握數學的本質.

（一）引導學生畫圖，幫助學生建模

大家都知道，當面對一個復雜的問題，若能借助直觀圖分析數量關系，問題往往能輕松得到解決.通過畫圖，能把抽象問題具體化、直觀化，從而幫助學生厘清思路，找到數量之間的關系，并在畫圖中逐漸形成模型思想，在數與形的相互轉化中，培養學生的思維能力.

“里程表（一）”是北師版三年級上冊第三單元的內容，對于三年級的學生來說，里程表的內容比較抽象，所以本節課可運用直觀圖和線段圖幫助學生理解.

師：為了更簡潔一點，我們還可以這樣畫.先畫一點，表示北京的位置，用直尺往右畫一條稍長的線，表示一段里程，走到這里是石家莊的位置.

師：它們之間還有一個城市，是哪里呢？（板書：保定）為了方便大家觀察，我們把里程277千米標在上面，（化弧線，標277千米）146千米表示到哪里的距離呢？（保定）

師：像這樣在一條線段上表示里程之間關系的，我們叫它線段圖.

在低年段的學習中，學生已經有了初步的讀圖能力和借助畫圖的方法解決簡單問題的經驗.但對于里程表的問題，信息量大，需要考慮的問題和相關因素比較多，使學生的學習難度增大了很多.在課堂上指導學生畫直觀圖和線段圖，可使學生充分理解圖中所表示出的數量關系，并在圖表的比較中直觀地理解減法的模型，就是總路程中去掉一部分，求另外一部分路程是多少.

本節課是學生初步認識線段圖、理解直觀圖的起始課.學生在初步感知后，體驗到了用線段圖表示數量關系的簡捷.通過本節課的學習，也為后續學習，如分數問題、路程問題等建模內容做好了鋪墊.在日后的學習過程中，我們還可以引導學生通過畫線段圖分析較復雜的數量關系，幫助學生建立直觀模型.

（二）關注教具的使用，輔助學生建模

張奠宙先生說過：“數學模型，是指將一類事物或運動過程，用數學概念、公式以及邏輯關系從數量上加以描述，使人們能更深刻、更準確地認識其數量關系，把握其特征，幾何學則是物體外形的數學模型.”小學數學教學有它的特殊性，它需要更多地依靠生活經驗與幾何直觀幫助學生建立模型.

在四年級上冊“圖形中的規律”一課中，我們通過拼擺教具，幫助學生建立小棒根數等于2n+1，3+2（n-1），3n-（n-1）的幾何模型.本節課的內容比較抽象，個別學生并不能充分理解，于是我們通過粉、黃、白三種顏色的小棒進行板書.

以下是教學中的具體片段.

師：如果把每個三角形都按2根小棒計算的話，擺一個三角形需要2根小棒，擺3個三角形就需要3×2根小棒，擺4個三角形就需要4×2根小棒，擺幾個三角形就需要幾乘以2根小棒，但是第一個三角形用了3根小棒，多用了1根小棒，就加1，為了讓大家看清楚，我重新擺一下小棒（1粉2黃2白2黃2白2黃）.

師：誰能用算式表示？

生：2n+1.

接下來，3+2（n-1），3n-（n-1）的幾何模型同樣讓學生動手操作，并用三種顏色的磁力小棒進行擺放，讓學生直觀深刻地理解不同計算公式的含義.在教學中，我們要借助教具的展示，讓學生充分理解數學的本質.

（三）關注學具的使用，強化學生建模

總路程、時間與速度之間的關系是小學階段的數量關系，也是乘法的模型.教學中，我們可以讓學生用折一折紙條的辦法理解這個模型.教材在這一節用兩個特殊長度的紙條來表示松鼠和小兔所走的路程，非常直觀，為后面學生能順利使用線段示意圖做鋪墊.用紙條表示兩個小動物走的路程，以此啟發學生用折一折的方法理解題意，松鼠用了4分鐘，就啟發學生平均折成4段，兔子用了3分鐘，就平均折成3段，再比一比一段的長度，建立“速度=路程÷時間”的幾何直觀模型.再通過畫對應的線段圖，引導學生將紙條的表示形式抽象成線段，升華了直觀圖.把速度具體化、直觀化，深化了速度、路程和時間之間的模型結構.

（四）借助立體圖形，建立數學模型

立體圖形不像其他的數學概念、公式等，需要大量數據來描述支撐，而是具有其獨有的特征——立體圖形本身就是極好的模型.

以“長、正方體表面積”一課為例，其主要教學思路就是讓學生在腦海中建立這樣的立體圖形模型，并構建出這個立體圖形的平面直觀圖，進而形成具備邏輯關系的公式，從而解決類似的實際問題.

在本節課之前，學生已經掌握了正方體的11種平面展開圖，因正方體的特殊性，六個面是完全一樣的正方形，因此，本節課的重點是會計算長方體的平面展開圖.課前，教師準備了一個大的長方體模型教具，旨在讓學生建立形象直觀的模型.幾乎所有學生都能通過長方體的特征，通過直觀演示法，給出求長方體表面積的方法：因為長方體相對面的面積相等，則可以求出其中三個面的面積之和再乘2.但是在自己求解的過程中，對于求哪三個面的面積以及如何求這三個面的面積，部分同學出現了問題.于是，教師給出了長方體的平面展開圖，進一步通過直觀演示，找到了對應的六個面，并總結出了相應的計算公式.

常規的教學到這即可結束，但教師仍在繼續拓展：請學生思考是否還有其他的求解方法.有學生表示，可以用轉化法，把長方體的表面積轉化為長方體的側面和上下兩個底面積之和，再次將圖形回歸至立體.但是很明顯，這種方法因不少同學想象力不足，無法在頭腦中構建出這個模型.但是到這已足夠，了解這些，可為六年級學習圓柱表面積做鋪墊.

本節課的主要教學思想就是構造一個由立體圖形到立體圖形中的平面圖形，再到立體圖形這樣的循序漸進的過程，逐步構建長方體表面積計算的數學模型，進而培養和發展學生初步的空間想象能力.

利用幾何直觀能讓學生將直觀的圖形語言和抽象的數學語言有機地結合起來，使形象思維和抽象思維結合起來，充分展現問題的本質，突破數學理解上的難點.通過圖形的直觀性質闡明數與數之間的聯系，能將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化、相互滲透，為學生數學建模的學習開辟了一個重要的途徑.

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準：2011版[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]朱峰，許光新.對建構數軸模型的認識與思考[J].中小學數學，2016（3）：44-48.

[5]朱貴璽.小學數學建模教學應注意的三個問題[J].教學與管理（小學版），2017（3）：29-31.

[6]徐鳳霞.小學數學“數學建模”教學策略及應用[J].好家長，2018（29）：72.