基于“數(shù)學(xué)理解”的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)四步曲

趙賢芳

【摘 要】 “數(shù)學(xué)理解”作為一種研究新動(dòng)向越來越受到大家的關(guān)注，為此筆者結(jié)合自己的教學(xué)談?wù)勅绾瘟⒆恪皵?shù)學(xué)理解”改進(jìn)的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)。從教育心理的角度看，基于數(shù)學(xué)理解的概念教學(xué)就是要建立有關(guān)概念的內(nèi)在心理表征并使之構(gòu)成能自動(dòng)轉(zhuǎn)化的網(wǎng)絡(luò)。而從教學(xué)實(shí)際來看，就是把握概念的內(nèi)涵與外延，能從文字角度領(lǐng)會(huì)，能舉實(shí)例來說明，能在實(shí)際運(yùn)用中不斷拓展與升華對(duì)它的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。我們把概念教學(xué)從“數(shù)學(xué)理解”的角度設(shè)計(jì)為四步曲：從生活中感知—從反思中歸納—從探析中明確-從聯(lián)系中定位。

【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué)? 數(shù)學(xué)理解? 概念教學(xué)? 操作? 反思? 圖式

什么是“數(shù)學(xué)理解”？教育學(xué)家布魯納認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念一旦成為個(gè)體心理表征網(wǎng)絡(luò)的一部，那么數(shù)學(xué)知識(shí)就被理解了。這里所謂的“表征”包括動(dòng)作、表象、書面符號(hào)、口頭語言與現(xiàn)實(shí)情境共五個(gè)類別，正是因?yàn)閷W(xué)生用不同的表征方式來表達(dá)數(shù)學(xué)概念并實(shí)現(xiàn)這些表征方式內(nèi)部的轉(zhuǎn)化，所以學(xué)生就獲得了數(shù)學(xué)理解。據(jù)此筆者可以打個(gè)比方，假如有學(xué)生能夠準(zhǔn)確畫出一個(gè)三角形，并在頭腦中建立鮮明的表象，而且能用書面符號(hào)表示它，能用口語說出他的核心特征，并能在許多圖形中準(zhǔn)確地指出哪一個(gè)是三角形，這就說明他能從不同的知覺通道實(shí)現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)化，從而形成三角形的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，那么他就完全理解了什么是三角形。

由上可見，從教育心理的角度看，基于數(shù)學(xué)理解的概念教學(xué)就是要建立有關(guān)概念的內(nèi)在心理表征并使之構(gòu)成能自動(dòng)轉(zhuǎn)化的網(wǎng)絡(luò)。而從教學(xué)實(shí)際來看，就是把握概念的內(nèi)涵與外延，能從文字角度領(lǐng)會(huì)，能舉實(shí)例來說明，能在實(shí)際運(yùn)用中不斷拓展與升華對(duì)它的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。從學(xué)習(xí)的層面分析，數(shù)學(xué)概念的理解就是要在多元智能理論的基礎(chǔ)上，發(fā)揮不同智能類型學(xué)生的特長(zhǎng)，讓他們?cè)谧约荷瞄L(zhǎng)的領(lǐng)域中首先表達(dá)對(duì)概念的理解，然后又從其它感官通道切入深化理解，最終打通這些不同渠道的理解從而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理解。過去我們認(rèn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解應(yīng)該準(zhǔn)確劃一，而事實(shí)上不同的學(xué)習(xí)個(gè)體對(duì)概念進(jìn)行內(nèi)在心理表征的切入角度不全相同，正是這種差異為相互交流與探究提供了契機(jī)，也使得合作學(xué)習(xí)成為有價(jià)值的學(xué)習(xí)方式。所以基于數(shù)學(xué)理解的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要我們對(duì)傳統(tǒng)的師生與生生關(guān)系進(jìn)行重新組構(gòu)，這樣才能在與時(shí)俱進(jìn)中實(shí)現(xiàn)對(duì)陳舊僵化式教學(xué)的顛覆。

一、源于生活的操作，感知概念意義

數(shù)學(xué)概念具有抽象難懂的特點(diǎn)，但它與學(xué)生的生活實(shí)際緊密相連，所以概念教學(xué)的首要環(huán)節(jié)應(yīng)該是設(shè)置真實(shí)的生活情境，讓學(xué)生從生活情境中感受概念的屬性，同時(shí)要指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考與動(dòng)口表達(dá)，讓學(xué)生在真實(shí)感知的基礎(chǔ)上加深認(rèn)識(shí)，為最終形成對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)服務(wù)。

1. 運(yùn)用合適的操作材料

教師要根據(jù)數(shù)學(xué)概念所涉及的生活實(shí)際選擇操作材料，考慮材料是否適合概念教學(xué)的需求，所選操作材料必須有一定的可操作性，能在課堂上比較便捷地進(jìn)行操作，并能在操作中逼近與得出相關(guān)數(shù)學(xué)概念。比如對(duì)于乘法的意義——代表幾個(gè)相同加數(shù)的和，教師通過畫圖呈現(xiàn)3組蘋果，每組各5個(gè)，讓學(xué)生由此從加法轉(zhuǎn)化為乘法，然后讓學(xué)生也同樣畫一畫4組蘋果、每組3個(gè)，通過對(duì)加法的再認(rèn)識(shí)逐步轉(zhuǎn)化而成為乘法運(yùn)算，但如果不用畫圖的方式，那最好用小棒來代表蘋果，這樣操作起來更為方便。可見，操作材料并不一定需要是真實(shí)的，也可以是虛擬的，但必須是能便捷地幫助學(xué)生達(dá)成概念。

2. 選擇適宜的操作方式

操作方式的好壞與能否構(gòu)建概念的意義密切相關(guān)，操作方式的選擇要有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，形成對(duì)概念的直觀感受。操作方式不僅包括學(xué)生動(dòng)手操作，還包括演示操作以及對(duì)圖形的觀察、比較與具體的計(jì)算。上邊乘法的意義教學(xué)中，教師首先進(jìn)行演示操作，然后讓學(xué)生自行畫圖操作，充分考慮到學(xué)生操作的難度而實(shí)行由扶到放的策略，這種操作方式顯然是可取的。

3. 給以足夠的材料與時(shí)間

在概念教學(xué)過程中，教師要為學(xué)生提供充足的操作材料，并給以足夠的操作時(shí)間，便于學(xué)生通過多方面思考達(dá)成對(duì)概念的比較全面的感知與比較充分的理解。

4. 布置恰當(dāng)?shù)牟僮魅?/p>

操作任務(wù)的布置要考慮到學(xué)生的知識(shí)與能力水平，過高與過低的要求都會(huì)影響學(xué)生參與的積極性。操作任務(wù)必須以概念學(xué)習(xí)為中心，不能搞花架子，走形式主義。

二、立足過程的反思，形成概念定義

學(xué)生圍繞概念意義進(jìn)行的生活化操作只能獲取感性經(jīng)驗(yàn)，要想使感性經(jīng)驗(yàn)理性化，那就必須進(jìn)行積極的自主建構(gòu)，經(jīng)過反思最終形成概念。

1. 用生活化語言描述操

教師設(shè)計(jì)一些梯度性的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生用生活化語言對(duì)操作過程的感性認(rèn)識(shí)進(jìn)行描述與反思，有助于形成對(duì)數(shù)學(xué)概念的多角度體驗(yàn)。比如在部編版《解簡(jiǎn)易方程》的教學(xué)中，為了幫助學(xué)生建立方程的概念，教材提供了一些操作圖片，教師可以讓學(xué)生結(jié)合圖片觀察，再觀察教師的演示操作，然后用生活化的語言描述：杯子的重量是100克;一杯水的總重量與兩個(gè)大砝碼和一個(gè)小砝碼的總重量相同;小砝碼重50克，一個(gè)大砝碼重100克;杯子與水的總重量比兩個(gè)大砝碼要重，比三個(gè)大砝碼要輕……這些描述與方程似乎風(fēng)牛馬不相及，而且雜亂無章，但已經(jīng)為學(xué)生從生活中抽象出方程概念提供了比較、分析的基礎(chǔ)。

2. 用數(shù)學(xué)化語言抽象操作

生活化語言是一種原生態(tài)的經(jīng)驗(yàn)性語言，不一定符合數(shù)學(xué)語言的要求，讓學(xué)生將剛才對(duì)操作過程進(jìn)行的描述與反思再進(jìn)一步加工，就可能形成相對(duì)規(guī)范的數(shù)學(xué)化語言，從而為抽象出數(shù)學(xué)概念打下基礎(chǔ)。比如經(jīng)過上述語言表述，從中發(fā)現(xiàn)存在如下關(guān)系：杯子與水的總重量比兩個(gè)大砝碼要重;杯子與水的總重量比三個(gè)大砝碼要輕;一杯水的總重量與兩個(gè)大砝碼加上一個(gè)小砝碼的總重量相同。如果設(shè)水的重量為x克，那么就可以得出：100+x>100+100+50;100+x<100+100+100;100+x=100+100+50。這樣就通過數(shù)學(xué)符號(hào)實(shí)現(xiàn)了對(duì)生活化語言的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，而且這里已經(jīng)出現(xiàn)了不等式與方程，為最終方程概念的建立打下了基礎(chǔ)。

3. 提煉形成概念定義

數(shù)學(xué)化語言比生活化語言更接近概念實(shí)質(zhì)，但是數(shù)學(xué)化語言還有待于進(jìn)一步提煉與總結(jié)。上述等式“100+x=100+100+50”為學(xué)生提供了方程的范例，通過教師指導(dǎo)下的比較：①它100+x>100+100+50和100+x<100+100+100有什么區(qū)別？（它屬于等式）②100+x=100+100+50這個(gè)等式與我們以前學(xué)過的計(jì)算等式有什么區(qū)別？（它含有未知數(shù)）。于是我們可以這樣說：像100+x=100+100+50這樣含有未知數(shù)的等式叫做方程。（教材原話）至此，方程的定義終于閃亮登場(chǎng)，而且水到渠成。

三、基于對(duì)象的探析，明確概念要義

在操作與反思階段，數(shù)學(xué)概念是落實(shí)在過程中的，具有動(dòng)態(tài)的特征，接下來我們要讓學(xué)生形成靜態(tài)的概念，把概念所屬的對(duì)象作為重點(diǎn)來研究以進(jìn)一步架構(gòu)概念的要義，這需要關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，通過有計(jì)劃的提問與舉例進(jìn)一步把探究引向深入：

1. 辨析

辨析一列對(duì)象是否屬于概念所指的對(duì)象，有助學(xué)生明確概念的要義，從而進(jìn)一步使概念的內(nèi)涵逐漸豐富起來。比如讓學(xué)生辨別“你認(rèn)為下列幾個(gè)式子中哪幾個(gè)屬于方程”，在多種不同的算式中，學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)：有一個(gè)式子沒有等號(hào)或者用的是不等號(hào)，因?yàn)椴粚儆诘仁剑圆粯?gòu)成方程;有的等式中沒有未知數(shù)，所以也不是方程;有的等式含有的未知數(shù)有兩個(gè)，一個(gè)是x，一個(gè)是y，但它也屬于含有未知數(shù)的等式，所以是方程。

2. 模仿

概念所屬的對(duì)象有很多，都包括在概念的外延之中，讓學(xué)生模仿寫出更多屬于概念的對(duì)象并加以辨析，有助于進(jìn)一步明確概念的外延范圍。

3. 變式

上述辨析過程中可能已經(jīng)涉及方程的變式，比如方程也可以有超過1個(gè)的未知數(shù)，還可以是分?jǐn)?shù)形式的等式，未知數(shù)可以用x來表示，還可以用a表示，甚至可以用Δ來表示……在保留概念本質(zhì)屬性不變的情況下盡可能更換非本質(zhì)屬性，變式訓(xùn)練的方法將使學(xué)生對(duì)概念要義的把握更為精煉而周到。

四、打造圖式的網(wǎng)絡(luò)，凸顯概念功能

經(jīng)過上述環(huán)節(jié)，學(xué)生會(huì)把新學(xué)到的概念與原有的心理圖式進(jìn)行整合，逐漸形成新的知識(shí)體系。此時(shí)，以內(nèi)在圖式的整合為目標(biāo)，教師的任務(wù)在于幫助學(xué)生構(gòu)建相關(guān)概念間的聯(lián)系。

1. 構(gòu)建縱向聯(lián)系

概念的縱向聯(lián)系指的是同一知識(shí)框架中思維內(nèi)容有關(guān)聯(lián)的概念間的聯(lián)系。比如“任意三角形——等邊三角形——等腰三角形”是以邊的長(zhǎng)度關(guān)系來區(qū)分的一組三角形的概念，而“直角——銳角——鈍角”則是以角的大小來區(qū)分的三個(gè)角的概念。縱向聯(lián)系的概念在教學(xué)時(shí)間上一般較近，也有較遠(yuǎn)的，比如：“三角形——四邊形——多邊形”，它們都從屬于“線段首尾相連組成的封閉圖形”。

構(gòu)建概念的縱向聯(lián)系時(shí)需要注意聯(lián)系在形式的區(qū)別，否則就可能出現(xiàn)內(nèi)涵與處延的失誤，比如從屬于三角形的概念有：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、任意三角形、等腰三角形、正三角形。前三個(gè)概念是三角形按角分的結(jié)果，而后邊三個(gè)則是按邊長(zhǎng)來分的三角形的概念。我們不能把三角形分成上述六類，因?yàn)橛兄丿B，另外正三角形只是等腰三角形的一個(gè)特例，不能認(rèn)為他們是互為獨(dú)立的兩個(gè)概念。所以我們可以用思維導(dǎo)圖表示如下：

2. 拓展橫向聯(lián)系

橫向聯(lián)系是新概念與不同知識(shí)框架內(nèi)的其它概念間的聯(lián)系。比如“除法、分?jǐn)?shù)、比”這三個(gè)概念，除法代表一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)代表一個(gè)數(shù)，而比則是比較兩個(gè)量的特殊算式，他們不但在數(shù)學(xué)邏輯上完全不同，而且在具體應(yīng)用場(chǎng)合也不全相同，但是他們有著重要的聯(lián)系：比值與分?jǐn)?shù)值在計(jì)算時(shí)運(yùn)用的就是除法。所以除法所具有的性質(zhì)在分?jǐn)?shù)與比中也存在，比如商不變的性質(zhì)，再比如“被除法與除數(shù)交換位置后所得商與原來的商互為倒數(shù)”這對(duì)分?jǐn)?shù)、比來說也存著同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系、再比如“數(shù)學(xué)中沒有除法分配律，但是如果把被除數(shù)拆成兩數(shù)之和，那么除法的運(yùn)算結(jié)果等于這兩個(gè)數(shù)分別除以除數(shù)所得商之和。這些都可以在分?jǐn)?shù)與比中進(jìn)行類似拓展。

經(jīng)過上述縱橫聯(lián)系，概念在頭腦中形成的圖式就形成了網(wǎng)絡(luò)，而網(wǎng)絡(luò)中的概念圖式是有序的，它們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)大廈中各就各位、各司其職，便于學(xué)習(xí)者進(jìn)行理解、記憶與提取。

綜上所述，我們把概念教學(xué)從“數(shù)學(xué)理解”的角度分成四步，其過程可以簡(jiǎn)要概括為“從生活中感知-從反思中歸納-從探析中明確-從聯(lián)系中定位”，這四步要解決達(dá)到的結(jié)果是“見識(shí)過了——說得出了——明白了——找得到了。”假如把數(shù)學(xué)概念體系看作一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念作為坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，它的屬性包括他所在的象限、所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)等，如何找到這個(gè)特殊的點(diǎn)呢？“見過了”就會(huì)有印象，但往往不知道怎么去找，“說得出”可能也認(rèn)得出，但還是不知道他的位置，“明白了”所在位置的特征也只是獲取了尋找這個(gè)點(diǎn)的線索，“找得到了”才是真正有價(jià)值的結(jié)果。

盡管“數(shù)學(xué)理解”可以為小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)注入新鮮血液，然后真正要實(shí)現(xiàn)教學(xué)的自由、和諧與高效，還需要教師不斷深入學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)理論，才能引領(lǐng)學(xué)生站得更穩(wěn)、走得更遠(yuǎn)。

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