數形結合數學思想方法培養的階段性簡析

金正靜

【摘要】數學是人們認識和改造世界的有力工具，數學中最主要的成分始終是思想方法，甚至可以說數學本身就是一種方法.數學中的邏輯推理是受到一系列數學思想方法的控制和引導的，學習數學從根本上講就是獲得數學的思想和方法.實行數學思想方法的教學，既是中國數學教育的特色之一，也是廣大數學教師需要達到的一個高端教學目標.

【關鍵詞】數學思想方法;數形結合;中職數學;數學教學

對于數學思想方法，大家耳熟能詳，相關出版物數不勝數.然而對于廣大數學教師，如何挖掘教材中的數學思想方法，如何有效開展數學思想方法的教學呢？這類文章雖有，但多數只限于操作、領悟、滲透之類，較為空泛，而涉及中職數學的數學思想方法教學的相關研究，更是寥寥無幾.

張奠宙先生認為實行數學思想方法的教學，是中國數學教育的特色之一，值得傳承和發揚.他對數學思想方法做過深入研究并有許多精彩論述.基于張奠宙先生關于分階段培養學生數學思想方法的一些思考，本文以上海中職數學教學為例，對中職生數形結合數學思想方法的階段性培養進行簡析.

1 數學思想方法的界定

數學思想和數學方法既相互聯系又有區別.數學方法是人們從事數學活動時使用的方法.數學思想還沒有成為一個專有名詞，其泛指某些有重大意義的、內容比較豐富、體系相當完整的數學思想，比如數理邏輯思想、函數映射思想、方程思想、概率統計思想等.對于上述思想，表述為方法也可以，比如，用“映射”去將復數問題和向量問題對應時，人們就說“映射方法”.而當討論“映射”的價值，適當的映射的選擇，使得問題的內涵在另一領域中變得更容易解決，實現了化難為易時，人們就謂之“映射思想”了.思想重在指導，方法指向操作，數學思想比數學方法在抽象程度上處于更高的層次.為了將兩種意思整合在一起，于是就有了“數學思想方法”的提法.

2 數學思想方法在數學教學中的地位

數學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然.”這為數學解題教學標明了三個遞進的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是知何由以知其所以然.數學解題教學，不能滿足于一，應該立足于二而求三.當前，教師應在“何由以知其所以然”上下功夫，這樣才有可能在“如何使學生想得到”上有所突破，示以學生思維之道，餞行數學核心素養.

華羅庚先生認為，學習要經過“由薄到厚”“由厚到薄”的過程.以此來審視數學教育，就是要先打好基礎，經由知識點鏈（基本知識的學習）和變式教學（學生解題的強化），把教材讀“厚”;再經過數學思想方法的提煉，最終實現把教材“由厚讀薄”的過程.

張奠宙先生認為，基于數學教學的自身規律，教師需要把握三個層次：學生基礎知識和基本技能的掌握，對學生問題解決能力的培養和學生數學思想方法的掌握.因此，數學思想方法的教學是廣大數學教師需要努力達到的一個高端目標.換而言之，學生在學習數學時，若能達到掌握數學思想方法的層次，就達到了數學學習目標的高層次.

人民教育出版社中學數學室主任章建躍教授也指出，完整的數學學習過程應當體現在“明線”和“暗線”的有機融合中，明線是顯性的知識體系線，暗線是隱性的思想方法線，注重“明線”與“暗線”的融合，是實現數學內容與數學學科核心素養融合的關鍵舉措.章教授在《數學學習和智慧發展》中特別指出教師專業發展的三大基石是理解數學，理解學生，理解教學，尤其指出教師對“內容所反映的數學思想方法”的理解水平決定了其數學教學所能達到的水平和效果.

3 數形結合數學思想方法培養的階段性簡析

古代數學家劉徽在《九章算術注》中主張“析理以辭，解體用圖”，近代數學家華羅庚先生曾說過“數無形，少直觀;形無數，難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休”.

數和形是研究數學的兩個側面，數是數量關系的體現，形是空間形式的體現.將這兩個側面統一起來，數形結合的實質就是把抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機結合，實現抽象思維和形象思維的和諧統一，更好地把握問題的本質，將所要解決的問題化難為易.

數軸和坐標系的建立，使數和形在宏觀上可以有機結合，數形結合是中職數學中最重要、最基本的數學思想方法.在中職數學中，學生能體會到數形結合數學思想方法的章節是集合、不等式、函數、直線和圓、向量、復數等，其中函數既是中職數學的重要內容之一，又是集中體現數形結合數學思想方法的章節.在這幾章的教學中，教師應當依據課程內容合理布點，有針對性地進行數形結合數學思想方法的滲透，使學生養成數形結合的意識.然而在實際教學中，數形結合數學思想方法的教學差強人意，主要表現在數形結合數學思想方法的教學沒有前后一致、貫穿始終的主線，沒有必要的根基.教師在數形結合數學思想方法教學上著墨不夠，通常只是走過場，在教學過程中不能螺旋上升，數學思想方法教學的計劃性、系統性、層次性、過程性顯得不足.

數形結合數學思想方法的教學以數學內容為載體，隨著數學內容的變化處于動態變化過程中，教師必須明確數形結合數學思想方法教學所處的階段及該階段的教學層次與教學要求.學生只有經歷感知、理解、應用、提升的過程，才能形成功能強大的數形結合數學思想方法認知結構，切實發展數學能力，提高數學素養.基于張奠宙先生分階段培養學生數學思想方法的相關研究，我們以集合、不等式、函數的數形結合數學思想方法教學為例，根據學生的認知規律，把中職生數形結合數學思想方法的形成過程分為以下四個階段.

3.1 隱性的操作感受階段

該階段屬于“順向思維”階段.這一階段，學生剛學習了一些數學概念、定理等基礎知識，掌握了一些基本技能，盡管這些基礎知識和基本技能的后面蘊藏著數學思想方法，但是學生的注意力往往聚焦在基礎知識的顯性一面.教師在這個階段的主要教學策略是“讓學生探索、構建與掌握知識和技能”，至于背后的數學思想方法應屬于“無聲語言”，由學生自己在探索、構建與掌握知識中感悟.

在學習第一章“集合”時，我們常常借助韋恩圖、數軸圖來處理集合的一些運算問題，以形助數，化抽象為具體，簡化所要解決的問題.

例1 U={xx<10，x∈N*}，AU，BU，且（瘙綂UA）∩B={6，9}，A∩B={3}，（瘙綂UA）∩（瘙綂UB）={1，7，8}，求集合A，B.

解 利用韋恩圖，如圖1，把元素放入下圖中的相應位置，從而得到A={2，3，4，5}，B={3，6，9}.

圖1

例2 已知集合A=（1，2），B=（-∞，3]，求瘙綂RA∩B.

解瘙綂R（A）=（-∞，1]∪[2，+∞），利用數軸圖，如圖2，很直觀地可以得到（瘙綂RA）∩B=（-∞，1]∪[2，3].

圖示法是集合的一種重要表示方法，在例1的求解過程中，我們借助韋恩圖很好地詮釋了集合A，B中的元素，問題變得簡單明了.在例2的求解過程中，我們以數軸的“形”來融合“數”，這樣有助于啟迪思路，理順解題線索.這樣的例子還有很多，在此不一一列舉.

圖示法直觀表示背后蘊藏著的數形結合數學思想方法，屬于“隱性的操作感受階段”，它的主要目的是借用形象的幾何直觀，幫助學生理解數量關系.教之道在于度，學之道在于悟.在數集的教學中，教師不需要拋出“數形結合”這個詞，只需讓學生自主建構.在一次次利用圖示法解決數集問題后，學生就能初步體會數形結合的基本指導思想，即用“形”的直觀來化解“數”的抽象，尋求解題思路，化難為易，從而達到出奇制勝的目的.

3.2 正面的認識和理解階段

數學教材里不正面闡述數學思想方法.在學生經歷了一個“隱性的操作感受階段”后，限于學生自身的知識儲備和能力范圍，若教師不對其進行必要的點撥，則他們很可能無法正面認識知識背后的一些數學思想方法.這就需要教師直擊要害，反映本質，直接點明背后蘊藏著的一些數學思想方法，并對學生進行有針對性的強化訓練，這個階段稱為“正面的認識和理解階段”.這個階段的特點是具有明顯的導向性，是將內隱的數學思想方法外顯傳輸的階段，是學生有意識地學習數學思想方法的重要提升階段.

在這個階段，教師需要恰時恰點地揭示數學思想方法，使學生形成認知.許多數學內容，書本上是按形式化的方法安排的，而教師在實際教學時要以揭示數學思想方法為主線設計，下面舉例來闡述.

例3 已知集合A={（x，y）y=x+1}，集合B={（x，y）y=-x+3}，求A∩B，說明它的幾何意義，并在直角坐標系中表示出來.

解 A∩B=（x，y）y=x+1，y=-x+3=（x，y）x=1，y=2={（1，2）}.如圖3，集合A表示一次函數y=x+1的圖像， 圖3即直線l1上的點的集合;集合B表示一次函數y=-x+3的圖像，即直線l2上的點的集合.A∩B表示直線l1和直線l2的交點，其坐標（1，2）為二元一次方程組的解.

函數是中職數學課程里的核心概念之一，借助圖像分析函數的性質是學習函數的基本思想方法，是數形結合數學思想方法的集中體現.例3表明方程思想和函數思想密切相關：方程y-f（x）=0的全體解就是函數y=f（x）的圖像上所有點的坐標（反之亦然）.

例4? 解不等式-x2+2x-2>0.

解 原不等式兩邊同乘-1，得x2-2x+2<0.一元二次不等式x2-2x+2<0所對應的一元二次方程x2-2x+2=0的判別式Δ<0，所對應的一元二次函數y=x2-2x+2的二次項系數為正，拋物線開口向上，函數圖像位于x軸上方.如圖4，由圖像得，不等式x2-2x+2<0的解集為空集，即原不等式-x2+2x-2>0的解集為空集.

例4表明函數與不等式可以相互轉化：對函數y=f（x），當y>0時，就轉化為不等式f（x）>0，借助函數的圖像可解決不等式問題.

在上述兩例的講授過程中，教師有必要正面揭示其背后所隱藏的在直角坐標系下“以數論形”的數形結合數學思想方法：利用坐標系建立了二元有序實數組與平面點集之間的一一對應，把代數問題整體性地映射成幾何問題（反之亦然）.這種數學思想方法在后續冪函數、指數函數、對數函數和三角函數等的學習中教師都會陸續地加以正面表述，使學生明確其內涵，不斷積累.

總之，在點集的運算和一元二次不等式的教學階段，教師要抓住思維教學的時機，正面表述并強調數形結合數學思想方法，幫助學生多維度、多視角、多層次地思考問題，體會問題解決的本質和真諦.

3.3 主動運用的訓練積累階段

數學教育形態的靈魂就是數學思想方法，數學思想方法的教學應根據教學內容多層次、遞進式展開.在主動運用數學思想方法的訓練積累階段，教師要以強化學生運用這種數學思想方法的意識為依據設計課堂教學，發揮數學思想方法的引領作用，對學生加強訓練，并讓學生反復經歷這個思維過程，使學生有結構、有邏輯地思考，提高解題的層次.

指數函數、對數函數的全部內容都融合了數形結合數學思想方法，這里教師無須在口頭上強調，而是讓學生在訓練中體驗和積累.

例5 若方程ax=x+a（a>0，a≠1）有兩個解，求a的范圍.

解 設指數函數h（x）=ax，一次函數k（x）=x+a，其中a>0，a≠1.方程h（x）=k（x）有兩個解，表明函數h（x）的圖像和函數k（x）的圖像有兩個交點.由圖5可知，當01時，圖像有兩個交點，符合題意.故a>1.

在此例中，先把方程（尤其是含參數的指數、對數、三角等復雜方程）兩邊的代數式視作兩個常見函數的解析式，然后在同一坐標系下作出兩個函數的圖像，就可以將確定方程解的個數這一代數問題轉化成確定兩函數圖像交點的個數這一幾何問題，化抽象為具體，數形結合數學思想方法在這里大放異彩.

圖6例6 若函數f（x）=loga（x+1），x∈（-1，0）滿足f（x）>0，則a的取值范圍是（? ）.

A.（0，1） B.（0，1]

C.（1，+∞）D.（0，+∞）

解 借助函數圖像來分析，函數f（x）=loga（x+1）的圖像由對數函數f（x）=logax的圖像向左平移一個單位得到.由在（-1，0）內f（x）>0可知，函數f（x）=loga（x+1）在（-1，0）內的圖像位于x軸上方，所以底數a應滿足0

“圖”個直觀，“形”個方便，數形結合使抽象的函數問題直觀化、形象化，有利于學生把握數學問題的本質和真諦.在指數函數和對數函數的學習階段，教師需對數形結合數學思想方法濃墨重彩地加以點撥，以增強學生運用數形結合數學思想方法的意識.

3.4 感悟文化修養的階段

重要的數學思想方法大多以數學文化作為載體，數學思想方法的教學伴隨著人們對數學的欣賞.數學是理性思維和想象的結合，是一門美的科學.數和形的結合充分體現了數學的統一美，數學上的對稱美、輪換美、簡潔美、和諧美、奇異美等形式在圖形上的體現更為直觀、更為動人.

從深層次來說，數學教育的本質目標是數學育人.因此在感悟文化修養這一階段，教師需要進行適當的總結，將數形結合數學思想方法提升為學生的文化感悟，乃至文化修養.

在數學家李尚志教授心中，數學如中國詩詞一般美麗.李教授認為數學即詩，詩即數學，因此他常常用詩來描述數學.在學完冪函數、指數函數、對數函數后，教師需讓學生仔細研讀李教授的下面這首詩，學生將別有一番感受.晨霧茫茫礙交通，蘑菇核云蔽長空;化石歲月巧推算，文海索句快如風.指數對數相輝映，立方平方看對稱;解釋大千無限事，三族函數建奇功.在李教授的心中，數學與大千世界紛呈的自然、社會現象已經交融在一起了.

在學習了冪函數、指數函數、對數函數后，我們會覺得三角函數的圖像更是一座美麗的數學山峰.在進行三角函數的教學時，教師可以借助計算機軟件，進行三角函數圖像的演示，以增加美感.教師可以引導學生從真、善、美三個層面進行欣賞.首先是三角函數之真.正余弦函數是比較神奇的函數，代表著世界的某種本質，那種認為正余弦函數不過只是個數學表達式的觀點就過于膚淺了.正余弦函數是最自然、最簡單的周期運動的體現，一個點做勻速圓周運動，這個點的位移隨時間的變化曲線就是cos x或sin x曲線.其次是三角函數之善.三角函數是波浪的數學模型，蘊含著豐富的人生哲理.晝夜循環潮起伏，冬春更替草枯榮.正余弦曲線和我們的人生何其相似，在巔峰時接踵而來的也許就是低谷，而在低谷時要堅信馬上就能看到光明.人在某個時間段總會出現低谷期，不順心的事情接踵而來.這沒有什么，我們要相信終究會再次到達頂峰.再次是三角函數之美.不同函數有不同的美，各種美千姿百態.一次函數之美美在簡單明快;二次函數之美美在大起大落;指數函數之美美在一飛沖天;三角函數之美，則涵蓋了周期美、對稱美、起伏美、統一美，堪稱完美.

以數學知識的發生發展過程為載體，遵循學生頭腦中數學思想方法的形成規律的數形結合數學思想方法的教學需分階段進行.數學思想方法的教學不能游離于提出問題和解決問題的過程之外，不能離開具體的教學活動，那種把數學思想方法教學變成空洞說教和華麗術語堆砌的做法實不可取.中職數學教師應當把數學思想方法滲透在日常教學中，要堅持，以收滴水穿石之功，如此對學生數學學科核心素養的培養才能真正落到實處.

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