借助數學文化　滲透數形結合思想

韓茂芳

【摘要】勾股定理被稱為“幾何學的基石”，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，體現了“數”與“形”的互相轉換，表明了數形結合思想在數學教學中有不可忽視的作用。基于此，本文探討了如何在“勾股定理”教學的各個環節滲透數形結合思想，旨在為中學數學教師的教學提供一些新的視角。

【關鍵詞】數形結合思想;勾股定理;教學設計

“數”與“形”是數學知識的兩種表現形式，“數”體現在用數學語言表征數學概念、數學性質與數學定理等，而“形”是實物、圖象與圖形的表征。勾股定理是中國傳統數學文化代表之一，在教學中，為了讓學生更深層次地領悟知識、感悟數形結合的思想，教師可以借助數學文化把數形結合思想融入各個教學環節中。

一、基于滲透數形結合思想的“勾股定理”教學設計

（一）教材分析

“勾股定理”是人教版數學教材八年級下冊的內容，學生已經初步掌握開方、解方程、三角形等相關知識。教師可以結合八年級學生具有較強的好奇心和求知欲的特點，在教學中分層、分階段地滲透數形結合的思想。基于此，教師可以借助數學文化載體，對定理的由來、探索證明方法、應用過程中滲透數形結合思想進行設計，為學生后續學習平面幾何乃至立體幾何做好鋪墊[1]。

（二）教學目標

（1）讓學生主動探索“發現”勾股定理的證明過程，并會用面積法證明勾股定理。

（2）在探索與證明勾股定理的過程中滲透數形結合的思想方法，培養學生發現問題和總結規律的能力。

（3）在學生動手操作過程中，培養學生的合作學習的能力，使學生體會到勾股定理中“數”與“形”的關系，感受到數學中的美。

（三）教學重點、難點

教學重點：探索勾股定理的推導過程。

教學難點：運用數形結合的思想證明勾股定理。

（四）教學過程

【第一環節】實踐操作，提出猜想，導入課題

1.小組合作，感知數與形之間的奧秘

教師課前準備好三張直角三角形紙片（三邊長是勾股數），通過PPT展示以下任務。

（1）用直尺量出直角三角形三邊長度，將數據填入表1。

（2）思考：你發現了什么規律？

預設：學生發現規律較困難時，教師提醒兩直角邊長的平方和與斜邊長的平方的關系。

設計意圖：設計思路改變了傳統的教學模式，直接讓學生主動建構，從“直角三角形紙片”到“測量各邊長度”的過程中，直觀地感知數與形之間的關系。

2.運用現代信息技術，體驗數與形的動態關系

教師操作幾何畫板，設計大小不一的直角三角形;測量三邊長度（軟件操作）。

學生通過觀察進一步激發探索和發現的欲望。

設計意圖：運用幾何畫板動態地展示各種直角三角形，讓學生觀察直角三角形三邊長的關系，潛移默化地將數形結合思想滲透在動靜之中。

3.提出猜想，導入課題

教師引導學生大膽提出猜想結論：如果直角三角形的兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c，則a2+b2=c2。由此導出課題——勾股定理。

【第二環節】探索新知，驗證定理，證明結論

1.借助數學文化，再現發現定理的過程

教師出示PPT展示任務：（1）讓學生拿出課前準備的四個全等的三角形教具;（2）讓學生分組進行拼圖，并鼓勵他們大膽嘗試各種拼法。

預設1：拼成第一種情形（見圖1）或第二種情形（見圖2）。

教師屏幕展示圖1和圖2，并介紹數學文化知識——趙爽弦圖。之后，教師提問：“趙爽是如何證明勾股定理的？”

學生在討論過程中總結出采用面積法得到“大正方形面積=四個全等直角三角形的面積+小正方形的面積”，從而得出結論：a2+b2=c2.

教師出示PPT展示畢達哥拉斯證明勾股定理的圖形，讓學生自己嘗試證明的過程。

設計意圖：讓學生經歷動手操作到“再創造”的過程，感受中外數學家運用數形結合思想證明勾股定理的過程。

2.自主探索，總結證明定理的方法

教師通過課件展示問題：除教材中證明勾股定理的方法，還有什么方法呢？由此拓展學生的思維，引出美國第20任總統加菲爾德證明勾股定理時所采用的圖形是用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼出一個梯形。之后，教師進一步引導學生思考：運用之前學過的方法怎樣來證明勾股定理？

設計意圖：趙爽證法有創意、簡潔、直觀，讓學生進行拼、湊、補等實踐活動，能使他們感受到我國傳統數學文化的精髓。此外，通過學習勾股定理的不同證法，學生能更加深刻地理解數形結合的思想內涵。

【第三環節】鞏固新知，拓展延伸，學以致用

為了更好地幫助學生鞏固知識、提升能力，教師可以設計一系列問題與拓展練習。

1.設問反思，知識建構

教師可以設計以下問題：（1）勾股定理具體內容是什么？（2）在運用勾股定理時需要注意的前提條件是什么？（3）勾股定理主要研究直角三角形的什么關系？

2.多層訓練，夯實基礎

教師利用課件展示練習題：（1）將教材24頁練習改編成搶答方式，設計一些常見的勾股數，已知直角三角形的任意兩邊長，說出另一邊長。（2）因條件有限，不能直接測量池塘的兩點間距離，如何運用今天所學知識解決問題？

設計意圖：為了達到鞏固新知的目的，創造性地設計練習（1）。練習（2）的情境設計遵循數學源于生活并服務于生活的理念，這樣做既能提高學生的學習興趣，又讓學生體會到勾股定理蘊含的數形結合思想的應用價值。

3.拓展延伸，滲透思想

教師提問：“能否運用圖形解釋公式（a+b）2=a2+2ab+b2的幾何意義？”

設計意圖：勾股定理的證明體現了“形”轉化為“數”的過程，為防止學生出現思維定式，教師設計拓展性問題——解釋完全平方公式的幾何意義，讓學生體會到“數”轉化成“形”的魅力，從而理解數形結合思想的本質。

【第四環節】歸納小結，總結思想，作業布置

1.歸納小結，總結思想

師生共同歸納總結，不僅從知識的結構進行梳理，還概括了本節課數形結合思想的運用過程。學生在總結反思過程中感受到數形結合思想貫穿于本節課的始終。

2.作業布置，運用思想

（1）如圖3所示，一根長為10米的竹竿AB，竹竿的頂端A距離垂直地面長為8米，如果頂端A點下滑2米后，變成CD位置，竹竿的底端是否也滑動了2米？

（2）借助網絡收集新的證明勾股定理的方法。

二、對教學設計做進一步思考

（一）在教學過程中有效利用現代信息技術滲透數形結合思想

以“勾股定理”的教學設計為例，教師可以通過運用現代信息技術（幾何畫板），在教學中呈現出不同類型的直角三角形，讓學生在多變的圖形中感受數量的變化，進一步發現不變的數量之間存在的規律。在教學設計中，教師從傳統數學文化的角度展現古今中外數學家運用數形結合思想證明勾股定理的方法，使學生通過再探索、再創造去學習和理解了勾股定理。

（二）在問題解決過程中展現數形結合思想

教師應在解決數學問題過程中，展現數形結合思想的關鍵——呈現問題中的“數”與“形”互為一體，把復雜的問題簡單化。“勾股定理”的教學設計從導入、定理證明及其應用，設計了有層次、有梯度的數學問題，如從學生動手測量、觀察到動手操作拼圖，逐步滲透數形結合的思想。

（三）在教學反思過程中總結數形結合思想方法

關于反思的認識，弗賴登塔爾認為是建構到反思，反思到證明的過程。教師的教學反思主要體現在四個方面：一是挖掘教材中蘊含的數形結合思想;二是在教學活動的各環節滲透數形結合思想;三是數形結合思想的滲透過程伴隨知識的生長過程;四是分析例題設計習題練習，讓學生時刻受到這種方法的熏陶，從而逐步形成數形結合的意識。比如，在“勾股定理”的教學設計中，從“形”的角度看，四個全等三角形的拼湊方法主要采用了活動探究式教學方法;從“數”的角度看，勾股定理結論的呈現就是數形結合的思想。在教學的各個環節，教師應始終遵循反思滲透的原則，以便有效地滲透數形結合思想。

綜上所述，在“勾股定理”的教學過程中滲透數形結合思想方法，教師應遵循學生的思維發展特點，運用現代信息技術動態地展現“形”，在解決問題的過程中靈活運用“數”與“形”的關系，反思數形結合思想的內在價值，從而提升學生解決數學問題的能力，提高學生的綜合素質。

【參考文獻】

孫悅，劉金魁.新課標下初中數學教學案例設計：以“探索勾股定理”為例[J].凱里學院學報，2020（12）：109-111.