學生視角下的波利亞解題策略

應丹蓉

[摘? 要] 波利亞解題策略在應用過程中具有極高的實用價值. 基于新課標培養核心素養這一要求，在教學實踐過程中向學生傳授波利亞解題策略，可以提高學生用數學眼光和思維觀察分析問題的能力. 因此，文章以一道最值問題為例，代入學生視角應用波利亞解題策略，探尋教師應如何引導學生應用波利亞解題策略.

[關鍵詞] 波利亞解題策略;核心素養;最值問題

問題提出

波利亞解題理論把解題過程中“好的解題思路”產生的數學思維過程分成了四個階段：理解題目—制定計劃—執行計劃—回顧[1]. 其對于鍛煉學生解題思路有著很大的促進作用.

但在眾多基于波利亞解題理論的文章中，教師們習慣以自身的視角利用波利亞解題策略解題，然后給一個經典的題目提供多種解法，以向學生展示波利亞解題策略的“好”. 然而，這只是教師們在常年的教學活動中，對教材中每個知識概念，甚至某些題目的巧妙解法的豐富積累，所以在利用波利亞解題策略時，總是能夠“聯系”到相關知識.

筆者在將波利亞解題策略介紹給學生之后，學生應用的情況并沒有達到預期效果. 通過與學生的談話和思考，筆者發現，波利亞解題策略的關鍵是在制定計劃階段尋找與過去所獲得知識之間的聯系. 但一般學生的知識儲備和調用能力不足，難以在短時間內整理出一個有用的解題方法，或者無法確定腦海中的想法能否指引自己通向最終目的，也就不易建立起這種“聯系”，而“要使學生真正理解書本知識，必須有他們自己身體力行的實踐”[2].

因此，筆者就以學生視角利用波利亞解題策略，嘗試體驗學生在解題過程中的思維歷程，探尋學生在利用策略過程中可能遇到的困難. 筆者在教學實踐過程中認識到，制約學生不能利用好“怎樣解題表”解題的原因在于學生無法根據題目條件找到“聯系節點”，無法利用“聯系節點”有意識地發散思維，主動尋找自身知識儲備與題目之間可能存在的聯系. 為此，筆者擬從學生答題步驟分析其心路歷程，并代入學生視角按波利亞解題策略將其還原出來，討論學生該如何應用波利亞解題策略.

教學實例

應用波利亞解題理論可以通過題設中涉及的概念和條件用語的關鍵詞回到相關數學概念的定義中去，以實現思維的發散[3]. 為了更好地代入學生視角，筆者選擇“最值問題”這類在題設中不易找到定義啟示的題型，以更好地闡述在不易找到“聯系”的情況下學生該如何發散思維.

例1：（2017，全國卷，14）函數f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，? 的最大值是______.

下面以學生視角應用波利亞解題策略的四個階段進行解題分析.

第一步，理解題目.

（1）問題是什么？答：函數的最值問題.

（2）未知量是什么？答：未知量為x.

（3）已知條件是什么？答：定義域x∈0，? .

（4）要求的是什么？答：求最大值.

第二步，制定計劃.

能夠想到的類似問題是求函數的最值，可以通過函數的一階導數判斷函數的單調性和單調區間，結合單調性判斷是否有最大值，并求出最大值是多少.

第三步，執行計劃.

解：f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，? ，則f′（x）=2sinxcosx- sinx= （2cosx- ）sinx. 當x∈0， 時，f′（x）>0，函數在該區間內單調遞增;當x∈ ， 時，f′（x）<0，函數在該區間內單調遞減. 所以當x∈0， 時，函數的最大值為f ，即1.

第四步，回顧.

求導公式運用正確，單調區間判斷無誤，結果檢驗準確.

該題為高考填空題，總體上難度并不大，稍作分析便可以找到解題策略. 筆者將該題布置給學生進行波利亞解題策略的應用訓練，絕大多數學生都是采用導數方法求解的，筆者代入學生視角將波利亞解題步驟還原出來.

該解法符合大部分學生做題的思維流程，即在制定計劃時總是傾向于制定可以直接實施的解題方案，避免可能出現新問題的解題路線. 而波利亞解題策略的核心是通過題目條件主動尋找與自身知識儲備之間的聯系，從而制定可能有效的解題方案.

以該題為例，利用sin2x+cos2x=1這一隱含的已知條件，將sin2x轉化為1-cos2x，使得原函數轉變為僅含cosx的函數，通過換元t=cosx即可將原函數轉變為常規的一元二次函數，再利用二次函數的圖像性質輕松得解. 那為什么大部分學生沒有意識到這樣的“聯系節點”呢？

通過與學生交談，筆者總結原因為“對最值概念理解得不夠深刻”. 最值概念源于極值概念，人教版選修2-2第一章第1.3.2節中關于極值的定義如下：

以a，b兩點為例，函數y=f（x）在點x= a的函數值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f ′（a）=0;而且在點x=a附近的左側f ′（x）<0，右側f ′（x）>0. 類似地，函數y=f（x）在點x=b的函數值比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f ′（b）=0;而且在點附近的左側f ′（x）>0，右側f ′（x）<0.

因此，當學生看到題設中的“最值”要求時，第一反應就是通過函數求導判斷函數單調性來求解. 而在教材中關于極值的定義中，實際上同時也給出了圖像來加深學生對于極值概念的認識，它給我們的啟示是在處理極值、最值問題時也可以通過已經學習過的函數圖像性質來求解. 這種“啟示”看起來平平淡淡的，但牢記這一點可以在解最值問題時多一種解題思路，有時候還會有意想不到的效果.

基于此，筆者按照波利亞解題策略重新進行第二步、第三步、第四步的分析，在這個過程中探究學生該如何應用波利亞解題策略. 分析如下：

第二步，制定計劃.

函數最值問題可以通過已學的函數圖像性質進行判斷，從“幾何”的角度進行觀察. 從函數f（x）=sin2x+ cosx-0.75的形式來看，其與二次函數f（x）=ax2+bx+c的形式接近，區別在于sinx與cosx的三角函數名不同，不能直接換元. 而我們學過很多三角函數異名轉換的公式，這里容易想到sin2x+cos2x=1這一轉換公式！因此，該函數可以轉換為f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75，再利用換元即可以變成簡單的一元二次函數.

第三步，執行計劃.

解：已知sin2x+cos2x=1，則原函數可以轉換成f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75= -cos2x+ cosx+0.25，x∈0， . 令cosx=t，t∈[0，1]，原式可寫成f（t）=-t2+ t+0.25（t∈[0，1]），則a=-1，b= ，c=0.25. 該二次函數開口向下，定義域內函數的最大值在對稱軸取得（對稱軸在定義域內），或定義域兩邊界線處的較大值（對稱軸在定義域外）. 該函數的對稱軸t= ，在定義域[0，1]內，所以最大值在對稱軸取得，最大值為f ，即1.

第四步，回顧.

（1）結果檢驗. 換元時考慮了換元可能產生的不等價轉換問題，在換元時定義了新自變量t的定義域. 另外，t= 時，對應的x的取值為 ，恰好也在0， 內，側面驗證了結果的準確性.

（2）解法遷移. 解決此題的方案同樣可以應用到類似的問題的處理中，如指數函數的最值問題f（x）=22x+2x+0.25（x∈[-1，1]）和對數函數的最值問題f（x）=（log x）2+log x+0.25x∈ ，2. 通過換元可以轉換為求解一元二次函數的最值問題.

教學啟示

高中數學概念繁多且相互聯系緊密，學生遇到題目便絞盡腦汁去回想相關概念、公式，其實是變相給自己增加負擔. 波利亞解題策略中也強調在解題過程中嘗試想出類似熟悉的問題，先找到方向（新方向可能出現新問題），最后再回到定義思考該如何解決. 關于教師應如何指導學生應用波利亞解題策略，筆者認為應認識到以下三個方面.

1. 解題是被動解決新出現的問題

教師在引導學生解題的過程中，總是“主動”地根據題目條件創造出解決問題所需要的條件，如在本文所舉的例子中，sin2x+cos2x=1常被當成隱含的已知條件直接列出來，將原問題通過換元轉換成簡單的一元二次函數的最值問題. 這種主動地發散思維其實并不符合學生解題過程中的思維活動，而“被動”處理新出現的問題則更符合實際.

本例中，先是通過觀察發現原函數與一元二次函數f（x）=ax2+bx+c的形式更為接近，希望通過二次函數的圖像性質解決此題，但新出現的問題是sinx與cosx的三角函數名不同，導致不能直接通過換元來解決，此時就希望通過已經學過的知識來解決這個“新問題”，這時公式sin2x+cos2x=1便應運而生.

因此，教師多從學生視角考慮一個題目該如何解決，就更能體會到學生在解題過程中需要“被動”處理新問題的困難. 教育的最終目的是培養一個會思考、有靈魂的人，而不是一個只會重復知識的機器. 數學教育的目的不僅僅是傳授知識，還要“發展學生本身的內蘊能力”[4].

2. 數學概念是聯系節點

教材中每個給出的數學概念都會鋪設合理的認知臺階，逐步引導學生理解接受. 教材中概念引入過程同時蘊含了“是什么”和“為什么”兩個要素，教師在教授數學概念時要充分根據教學經驗幫助學生理解每個概念的內涵和外延. 如立體幾何中“二面角”的定義（垂直于兩面交線的直線的夾角），既闡述了什么是二面角，也給出了該如何作出二面角的一種方法. 因而在應用波利亞解題策略過程中，教師要引導學生把數學概念當成聯系節點，

3. 數學公式是工具

對于學生而言，解題時總是在想如何利用學過的概念、公式等解決題目，閱讀完題干后便開始回想所學過的公式和定義，并在腦海中“演練”一般，覺得找到解題思路后便開始動筆. 筆者認為，應該把數學公式當成工具. 之所以當成工具，是因為工具不同其功能屬性也不同，適用于不同的場景. 解題是一個根據題目篩選出所需要工具的過程，如sin2x+cos2x=1就是一個三角函數名相互轉換的工具，而不是抓到哪個用哪個.

把數學公式當成工具是一個有趣的看法，它意味著解題要不斷更換工具解決接連出現的問題，意味著每個公式、定義的選擇都是有“目的”的. 當然，也許一開始并不會一帆風順，因為“工具”被發現之前我們并不知道它的功能，而這就需要教師幫助學生通過不斷使用來強化對數學工具的認識，這樣便可以在解題時得心應手.

結束語

新課標中實施核心素養教學是現階段教育目標的新提法，培養學生核心素養的陣地在課堂，載體是課本以及一個個經典的題目，而關鍵則在于教師.

波利亞解題策略的優勢在于解題的邏輯性強，可以減少錯解或漏解，作為教師，要嘗試代入學生視角來解決數學題目，想學生之所想. 本文中所述代入學生視角應用波利亞解題策略解題的過程，沒有直接指出解題的關鍵條件，而是從學生角度考慮“換元轉換”這一解題思路出現的原因，并引導學生回顧教材中關于極值概念的定義，闡述教材如此定義所給予的啟示.

這種換位思考的教育方式能夠使教師更好地把握教材內容編排中所包含的教育價值，從而實現數學學科的育人功能. 如本文中總結的“被動”解題理論，也可以為學生解決其他問題提供思路，使學生在面對復雜問題時不至于一籌莫展.

參考文獻：

[1]? 波利亞. 怎樣解題：數學思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天譯. 上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]? 章建躍，陶維林. 注重學生思維參與和感悟的函數概念教學[J]. 數學通報，2009，48（06）.

[3]? 朱其超. “回到定義去”的思維策略[J]. 中學數學，2010（15）.

[4]? 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J]. 課程·教材·教法，2017（04）.