高中生數學建模能力培養研究

王義霞

[摘? 要] 數學建模應當面向全體，一方面可以培養學生的數學素養，另一方面可以通過數學建模去實現學困生的轉化，這樣既可以充分展現數學建模的價值，也可以運用數學建模推動高中數學課堂教學的最優化.

[關鍵詞] 高中數學;建模能力;培養

對數學教學發展越加關注的高中數學教師都知道，在數學學科核心素養的六個要素當中，依然有數學建模. 之所以說是“依然”，是因為數學建模原本就是數學學科教學的重要內容. 數十年之前，包括數學學科在內的基礎教育，曾經興起過一次學科建模的研究熱潮，數學學科作為最重要的基礎學科之一，它的研究認識與研究過程，代表著學科建模研究的水平. 時至今日，數學建模在數學學科核心素養中再度出現，說明數學建模在數學學科教學中的重要地位不可撼動;也因此，在核心素養培育的背景之下，培養學生的數學建模能力，依然是高中數學教學的重要任務. 數學建模能力在基礎教育階段的重要性毋庸置疑，它是培養學生解決問題能力的有效途徑. 這是從教學目的的角度認定數學建模的價值，其實從數學建模本身來看，數學建模的過程也蘊含著重要的價值. 筆者在實際教學中一直高度重視數學建模能力的培養，現借助本文總結一下筆者自己的培養過程，并談談一些心得.

核心素養背景下對數學建模的理解

既然今天的高中數學教學面臨著核心素養培育的需要，那么對數學建模的理解自然要放在核心素養的背景下進行. 那么在核心素養的背景之下，對數學建模又應當如何理解呢？筆者在研究的過程中梳理了這樣幾點認識：

第一，數學建模是數學學科核心素養要素中最具綜合性的素養.

數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析六個要素，筆者以為數學建模在其中起到承上啟下的作用，即學生建立數學模型的過程，實際上就是不同程度地運用于其他數學學科核心素養要素中;而在數學模型建立之后，又或者是運用于問題解決的過程時，也能夠帶動其他數學學科核心素養要素的運用. 因此培養學生的建模能力，對于整個數學學科核心素養而言，其實可以起到牽一發而動全身的作用.

第二，數學建模的過程可以有效地培養學生的學習品質.

在以生為本的年代，對學生學習的判斷會有所變化，比如認為學習是學生自己的事，而這也就意味著學生的學習結果，取決于學生的學習品質. 學習的品質是一個相對復雜的概念，以數學學科為例，學生對數學學科的興趣、學習動機，以及在數學知識建構過程中表現出來的能力，都是學習品質的體現. 數學學習品質又對應著綜合能力，而綜合能力只有在相對綜合的知識建構或者問題解決的過程中才能得以培養，因此顯而易見的一點是，具有綜合性的數學建模就可以培養學生的數學學習品質.

第三，數學建模能力的培養可以引導學生形成正確的學科認識.

經驗表明，絕大多數學生都認為數學學科的學習，就是為了解答無窮無盡的數學題. 盡管習題訓練是高中數學學習不可避免的一個環節，但這并不意味著這是數學學科的真實面貌. 而要讓學生擺脫這樣的認識，數學建模可以發揮重要的作用.

基于核心素養的數學建模能力培養

通過上述梳理可以發現，在高中數學教學中培養學生的數學建模能力是非常重要的，而數學建模能力的培養有一個前提，那就是數學建模意識的培養. 一般認為，建模意識是高中生學好數學、用好數學的前提，建模思想也是幫助高中生深入探索數學應用領域，形成數學創新能力的有力工具. 相應地，高中數學教學中，教師應積極以身示范，圍繞現行教材，加強數學與其他學科之間的聯系，適當輔以建模專題研討，努力培養學生的數學建模意識. 這里可以來看一個例子：

在“空間幾何體的三視圖”（人教版高中數學必修2）的教學中，筆者注意到，學生學習空間幾何體的三視圖的過程，其實就是從視覺角度建立起對空間幾何體的認識的過程，這種認識的形成過程可以理解為數學建模的過程，于是在具體的教學過程中，筆者設計了這樣幾個環節：

環節一：提出問題，打開數學建模的大門.

筆者所設計的問題是：將一個空間幾何體投影到一個平面上，就可以獲得一個平面圖形，但是一個平面圖形是難以把握幾何體的全貌的，那么應當如何把握空間幾何體的全貌呢？這個問題學生比較容易回答：只要從多個角度進行投影，那就可以把握空間幾何體的形狀與大小了. 教師此時可以跟進提出一個問題：從哪些角度進行投影，才能夠高效地把握空間幾何體的全貌呢？

環節二：創設情境解決問題，完成數學建模的過程.

在這個問題的驅動之下，學生會通過自己的想象與推理，初步在大腦當中建構相應的表象. 根據筆者的調查研究，這個時候絕大多數學生都會以長方體作為思維對象，然后思考它的投影，而且學生基本上都會想到可以從三個角度進行投影，于是學生的大腦當中，自然會出現正視圖、側視圖和俯視圖三種圖形——當然這個時候學生還說不出這三個概念，但是對應的表象是會出現的.

基于這一表象，教師下一步要做的努力就是，借助數學實驗或者現代教學手段，去幫助學生鞏固這一表象. 筆者在教學中采用的是現代教學手段，這是因為其相對其他教學手段的教學效率更高，而且還可以促進學生的想象與思維發展——這里所說的想象是指數學學科核心素養中的直觀想象，而思維對應著邏輯推理. 所以說數學學科核心素養是可以得到培育的. 從數學建模能力的培養角度來看，用3D互動動畫展現出從不同角度看長方體的結果，這樣學生就可以從前往后、從左往右、從上往下看出三種不同的結果，而這三種不同的結果是具有一定代表性的，在此基礎上就可以給出三視圖的概念和定義了.

要特別注意的是，當學生基于定義理解三視圖的概念之時，就是一個數學建模的過程. 此時教師要幫助學生進一步純化大腦中形成的三視圖表象，要讓三視圖的概念與表象形成良好的對應關系，三視圖的概念要能夠刺激學生直觀地反映出對應的表象，這樣才意味著三視圖的模型準確形成了.

環節三：遷移運用，鞏固已經形成的數學模型.

空間幾何體的種類是很多的，高中數學教學中研究的常常是規則的空間幾何體，在引導學生進行遷移運用的時候，教師可以創新形式，這樣既可以激發學生的研究興趣，更可以讓學生有效地運用數學模型. 筆者設計的驅動學生進行運用的問題是：如果一個空間幾何體的俯視圖是一個圓，那么這個空間幾何體有可能是什么樣子？這實際上是一個開放性的問題，學生要思考多種可能性，正是因為開放性使得學生的興趣更高，這樣運用三視圖知識的廣度與深度也更能夠得到拓展.

數學教學中數學建模能力的培養反思

筆者在教學中，研究過多個數學建模教學的案例，通過這些案例可以發現，學生在具體的建模過程中，建模能力可以得到充分的培養，而在利用數學模型解決問題的過程中，對所形成的數學模型的認識以及對數學模型的運用場合都會有深刻的認識，這也驗證著學生的建模能力得到了培養.

在數學建模研究的過程中，也有一種聲音，那就是數學建模能力的培養能否提升學生的應試能力. 這是一個非常實際的問題，考試是指揮棒，怎么考教師就會怎么教，這是一個基本的邏輯關系. 大量的研究表明，建模能力能夠推動學生應試能力的養成，這是因為建模能力原本就對應著問題解決的能力，當前的不少數學習題甚至是數學高考題，已經有意識地在培養學生的建模能力，因此數學建模的價值不會因為應試需要而淡化.

同樣，在研究的過程中也發現，高中學生的數學建模能力基本不受其數學學業成績的影響，數學學業成績不理想的學生有同樣的機會擁有較高水平的數學建模能力. 這也就意味著數學建模應當面向全體，一方面可以培養學生的數學素養，另一方面也可以通過數學建模去實現學困生的轉化，這樣既可以充分展現數學建模的價值，也可以運用數學建模推動高中數學課堂教學的最優化.

以上是筆者在高中數學教學中培養學生建模能力的一點淺見，這些認識基本上來自筆者的實踐總結，可能缺乏一些學術價值，還請專家同行批評指正.